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江苏省泰州二中2013届高三期初(暑期)检测数学试题

江苏省泰州二中 2013 届高三期初(暑期)检测数学试题
必做题部分(满分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。
1、若 A ? {x ? Z | 2 ? 2x ? 8}, B ? {x ? R | log 2 x ? 1},则 A ? B =__________。

2 、 设 p :| 4x ? 3 |? 1; q : (x ? a)(x ? a ?1) ? 0 , 若 p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
_______________。
z2 3、已知复数 z1 ? 1? i , z2 ? 1? i ,那么 z1 =_________。

sin? ? 1? cos2 ?

4、若角? 的终边落在射线 y ? ?x(x ? 0) 上,则 1? sin 2 ?

cos? =____________。

5、在数列{an } 中,若 a1

? 1, a2

?

12 2 , an?1

?

1 an

?

1 an?2

(n ? N *)
,则该数列的通项为



6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运

次,成绩如下表(单位:环)如果甲、乙 甲 10 8

999

佳人选应是



乙 10 10 7 9 9

动会的预选赛,他们分别射击了 5 两人中只有 1 人入选,则入选的最

7、在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于 1 的概率是



x2 ? y2 ? 1

8、已知对称中心为原点的双曲线

2 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准

方程为___________________。

9、阅读下列 程序:
Read S ? 1

Fo r I from 1 to 5 step 2
S ? S+I

Print S

End for

End

输出的结果是



10、给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是



①若

c o s?

?

c o s? ,则?

??

?

2k? , k ? Z

;②函数

y

?

2c o s2(x ? ? ) 3

的图象关于

? x= 12 对 称 ; ③ 函 数

y ? cos(sinx)(x ? R) 为偶函数,④函数 y ? sin | x |是周期函数,且周期为 2? 。

? 11、若函数 y ? mx 2 ? x ? 5 在 ?2, ??) 上是增函数,则 m 的取值范围是________ ____。

b 12、设 a, b ? R, a 2 ? 2b2 ? 6 ,则 a ? 3 的最大值是_________________。

13、已知

f

(x)

?

a

?

1 2x ?1 是定义在 (??, ?1]

[1, ??) 上的奇函数, 则 f (x) 的值域为

.

2

2

14、已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 ,设向量 PC ? 2PA ? PB ,则 PC 的最小值是



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15、(本小题满分 14 分)
设函数 f (x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2cosx,1),n ? (cosx, 3 sin 2x), x ? R ,
(1)求 f (x) 的最小正周期;

(2)在 ?ABC中, a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边, f ( A) ? 2, a ? 3,b ? c ? 3(b ? c) 求 b, c 的值。
16、(本小题满分 14 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC , E

为 PB 的 中

点.
(1)求证: PD∥面 AEC ;

(2)求证:平面 AEC ? 平面 PDB .

17、(本小题满 分 14 分)

某 商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖

出一件产品

需向税务部门上交 a 元( a 为常数,2≤a≤5 )的税收。设每件产品的售价为 x 元(35 ≤x≤41),根据市场调查,日销售量

与 ex (e 为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为 40 元时,日销售量为 10 件。

(1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值。 18、(本小题满分 16 分)

x2 2y2

如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已 知点 A 为椭圆 9 ? 9 ? 1



右顶点, 点 D(1, 0) ,点 P, B 在椭圆上, BP ? DA .

(1)求直线 BD 的方程;

(2)求直线 BD 被过 P, A, B 三点的圆 C 截得的弦长;

(3)是 否存在分别以 PB, PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.
19、(本小题满分 16 分)
? ? 已知数列 ?an ?中, a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ? n ? N ? 在直线 x ? y ?1 ? 0 上。

(1)求数列?an ?的通项公式;

f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ?n ? N,且n ? 2?,

(2)若函数

n ? a1 n ? a2 n ? a3

n ? an

求函数 f (n) 的最小值;

bn
(3)设

?

1 an

, Sn 表示数列?bn ?的前 n

项和。试问:是否存在关于 n

的整式

g?n? ,使得

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn?1 ? ?Sn ?1?? g?n? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在,写出 g?n? 的解析式,并加

以证明;若不存在,试说明理由。 20、(本小题满分 16 分)

f ?x? ? ax ? ln?? x?, x ? (?e,0), g(x) ? ? ln(?x)

已知

x ,其中 e 是自然常数, a ? R.

(1)讨论 a ? ?1时, f (x) 的单调性、极值;

| f (x) |? g(x) ? 1

(2)求证:在(1)的条件下,

2;

(3)是否存在实数 a ,使 f (x) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由。

必做题答案 一、填空题:

1、{3}

[0, 1 ] 2、 2

3、 i

4、0

5、 an

?

1 n

7 7、 8

x2 ? y2 ?1 8、 2

9、2,5,10 10、1,2,4

12、1 二、解答题:

[? 3 , ? 1) (1 , 3] 13、 . 2 2 2 2

14、2

6、甲

0?m? 1

11、

4

设 AC BD ? O ,连接 EO,因为 O,E 分别是 BD,PB 的中点,所以 PD∥EO …………4 分

16.(1)证明:

而 PD ? 面AEC, EO ? 面AEC ,所以 PD∥面 AEC …………………………………………………7 分

(2)连接 PO,因为 PA ? PC ,所以 AC ? PO ,又四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD …………10 分

而 PO ? 面 PBD , BD ? 面 PBD , PO BD ? O ,所以 AC ?面 PBD ……………………………13 分

又 AC ? 面 AEC ,所以面 AEC ? 面 PBD ……………………………………………………………14 分

k 17、解(1)设日销售量为 ex

,



k e40

? 10,?k

?

10e40

,

则日售量为

10e40 ex

件.
-------2



L(x) ? (x ? 30 ? a) 10e40 ? 10e40 x ? 30 ? a

则日利润

ex

ex ----------------------------4 分

L' (x) ? 10e40 31? a ? x

(2)

ex - ------------------------------------------------7 分

①当 2≤a≤4 时,33≤a+31≤35,当 35 <x<41 时, L' (x) ? 0 ∴当 x=35 时,L(x)取最大值为10(5 ? a)e5 -----------------------------------10 分

②当 4<a≤5 时,35≤a+31≤36, 令L' (x) ? 0, 得x ? a ? 31,

易知当 x=a+31 时,L(x)取最大值为10e9?a -----------------------------------13 分

L( x)max
综合上得

?

??10(5 ? a)e5, (2 ? a ???10e9?a , (4 ? a ? 5)

?

4)
- ---------

------------------------14



18、.解: (1)因为 BP ? DA ,且 A(3,0),所以 BP ? DA=2,而 B, P 关于 y 轴对称,所以点 P 的横坐标为 1,

从而得 P(1, 2), B(?1, 2) ……………………………………………………………………………………3 分

所以直线 BD 的方程为 x ? y ?1 ? 0 ………………………………………………………………………5 分

(2)线段 BP 的垂直平分线方程为 x=0,线段 AP 的垂直平分线方程为 y ? x ?1,

所以圆 C 的圆心为(0,-1),且圆 C 的半径为 r ? 10 ……………………………………………………8 分

又圆心(0,-1)到直线 BD 的距离为 d ? 2 ,所以直线 BD 被圆 C 截得的弦长

为 2 r2 ? d 2 ? 4 2 ……………………………………………………………………………………10 分

19、解:(1)由点 P (an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,

即 an?1 ? an ? 1,------------------------------------------2 分

且 a1 ? 1 ,数列{ an }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列

an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2) , a1 ? 1 同样满足,所以 an ? n ---------------4 分

f (n) ? 1 ? 1 ? ? ? 1

(2)

n?1 n? 2

2n

f (n ?1) ? 1 ? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2n ?1 2n ? 2 ---------------------6 分
f (n ?1) ? f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 0 2n ?1 2n ? 2 n ?1 2n ? 2 2n ? 2 n ?1

所以

f

(n)

是单调递增,故

f

(n)

的最小值是

f

(2)

?

7 12

-----------------------10



bn
(3)

?

1 n

Sn
,可得

?1?

1 2

?

1 3

???

1 n

Sn


? Sn?1

?

1 (n n

?

2)
-------12



nSn ? (n ? 1)Sn?1 ? Sn?1 ? 1,

(n ?1)Sn?1 ? (n ? 2)Sn?2 ? Sn?2 ? 1
……
S2 ? S1 ? S1 ? 1

nSn ? S1 ? S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn?1 ? n ? 1 S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn?1 ? nSn ? n ? n(Sn ?1) ,n≥2------------------14 分

g(n) ? n
故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立----16 分

(3 )假设存在实数 a ,使 f ?x? ? ax ? ln?? x? 有最小值 3, x ? ?? e,0?

f '?x? ? a ? 1
x

a
①当

?

?1 e

时,由 于

x

? ??

e,0?,则

f

'?x?

?

a

?

1 x

?

0

?函数 f ?x? ? ax ? ln?? x? 是 ?? e,0?上的增函数

? f ?x?min ? f ?? e? ? ?ae ?1 ? 3

a ? ?4 ? ?1

解得

e e (舍去) ---------------------------------12 分

a ? ?1

?e? x? 1

f '?x? ? a ? 1 ? 0

②当

e 时,则当

a 时,

x

此时 f ?x? ? ax ? ln?? x? 是 减函数


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