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高二数学导数的应用


导 数 的 应 用
--------利用导数证明不等式
教学目标:1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力; 教学重点:利用导数证明不等式 教学难点:利用导数证明不等式 教学过程: 一、复习回顾 1、利用导数判断函数的单调性; 2、利用导数求函数的极值、最值; 二、新课引入 引言:导数是研究函数性质的一种重要工具.例如:求函数的单调区间、求函 数的最大(小)值、求函数的值域等等.然而,不等式是历年高考重点考查的内容 之一.尤其是在解答题中对其的考查,更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决 一些不等式问题时,如能根据不等式的特点,恰当地构造函数,运用导数证明或判 断该函数的单调性, 出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都 成立,可得该不等式恒成立,从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.然后 用函数单调性去解决不等式的一些相关问题,可使问题迎刃而解. 因此,很多时侯 可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题. 下面具体讨论导数 在解决与不等式有关的问题时的作用. 三、新知探究 1、利用导数得出函数单调性来证明不等式 x2 例 1:当 x>0 时,求证:x ? <ln(1+x) . 2 证明:设 f(x)= x ?

x2 x2 ' -ln(1+x) (x>0), 则 f (x)= ? . 2 1? x

' ∵x>0,∴f (x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上递减,

所以 x>0 时,f(x)<f(0)=0,即 x ?

x2 -ln(1+x)<0 成立. 2

小结:把不等式变形后构造函数,然后用导数证明该函数的单调性,达到证明不等 式的目的. 随堂练习:课本 P32:B 组第一题第 3 小题 2、利用导数解决不等式恒成立问题(掌握恒成立与最值的转化技巧;构造函数证 明不等式) 1 例2.已知函数 f ( x) ? ae x ? x 2 2 (1)若 f(x)在 R 上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若 a=1,求证:x>0 时,f(x)>1+x 解:(1)f′(x)= aex-x, ∵f(x)在R上为增函数,∴f′(x)≥0对x∈R恒成立,
用心 爱心 专心 1

即a≥xe-x对x∈R恒成立 记g(x)=xe-x,则g′(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x, 当x>1时,g′(x)<0,当x<1时,g′(x)>0. 知g(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数, ∴g(x)在 x=1 时,取得最大值,即 g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即 a 的取值范围是[1/e, + ∞) 1 (2)记 F(X)=f(x) -(1+x) = e x ? x 2 ? 1 ? x ( x ? 0) 2 x 则 F′(x)=e -1-x, 令 h(x)= F′(x)=ex-1-x,则 h′(x)=ex-1 当 x>0 时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 又 h(x)在 x=0 处连续, ∴h(x)>h(0)=0 即 F′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又 F(x)在 x=0 处连续, ∴F(x)>F(0)=0,即 f(x)>1+x. 小结:当函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立,从而把 不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题.不等式恒成立问题,一般都会涉及 到求参数范围,往往把变量分离后可以转化为 m ? f (x) (或 m ? f (x) )恒成立,于是 ,从而把不等式恒成立问题转化为 m 大于 f (x) 的最大值(或 m 小于 f (x) 的最小值) 求函数的最值问题.因此,利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重 要方法. 例 3. (2004 年全国)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x, g ( x) ? x ln x (1)求函数 f (x) 的最大值;
a?b ) ? (b ? a) ln 2 . 2 分析:对于(II)绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函 数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系,想一想大小关系又与 函数的单调性密切相关,由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数,利 用导数研究函数的单调性,借助单调性比较函数值的大小,以期达到证明不等式的 目的.证明如下:

(2)设 0 ? a ? b ,证明 : 0 ? g (a) ? g (b) ? 2 g (

证明:对 g ( x) ? x ln x 求导,则 g ' ( x) ? ln x ? 1 . 在 g (a) ? g (b) ? 2 g (
a?b ) 中以 b 为主变元构造函数, 2
2

设 F ( x) ? g (a) ? g ( x) ? 2 g ( a ? x ) ,则 F ' ( x) ? g ' ( x) ? 2[ g ( a ? x )] ' ? ln x ? ln a ? x .
2 2

当 0 ? x ? a 时, F ' ( x) ? 0 ,因此 F (x) 在 (0, a ) 内为减函数. 当 x ? a 时, F ' ( x) ? 0 ,因此 F (x) 在 (a,??) 上为增函数. 从而当 x ? a 时, F (x) 有极小值 F (a ) .

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2

因为 F (a) ? 0, b ? a, 所以 F (b) ? 0 ,即 g (a) ? g (b) ? 2 g (
2

a?b ) ? 0. 2

又设 G( x) ? F ( x) ? ( x ? a) ln 2 .则 G ' ( x) ? ln x ? ln a ? x ? ln 2 ? ln x ? ln( a ? x) . 当 x ? 0 时, G ' ( x) ? 0 .因此 G (x) 在 (0,??) 上为减函数. 因为 G(a) ? 0, b ? a, 所以 G (b) ? 0 ,即 g (a) ? g (b) ? 2 g (
a?b ) ? (b ? a ) ln 2 . 2

综上结论得证。 对于看起来无法下手的一个不等式证明,对其巧妙地构造函数后,运用导数研 究了它的单调性后,通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单 解决. 四、课堂小结 1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当 的函数,然后用导数判断该函数的单调性或求出最值,达到证明不等式的目的; 2、利用导数解决不等式恒成立问题,应特别注意区间端点是否取得到; 3、学会观察不等式与函数的内在联系,学会变主元构造函数再利用导数证明不等 式; 总之,无论是证明不等式,还是解不等式,我们都可以构造恰当的函数,利用 到函数的单调性或最值,借助导数工具来解决,这种解题方法也是转化与化归思想 在中学数学中的重要体现. 五、思维拓展
设函数

f ( x) ? e x

2

?2 x

? 2 x?? ( x) ? xf ( x) ?? ( x) ? g ?( x) . ,g ,h

(1)求

(2)判断函数 h( x)在(0?? ?) 上的单调性; f (x) 的最值; ,?

(3)对任意的 a,b∈R+,且 a ? b ,比较 af (a) ? bf (b)与(a ? b) f ?

?a?b? ? 的大小. ? 2 ?

22. (1)

f ?( x) ? (2 x ? 2)e x
x 2 ?2 x

2

?2 x
2

? 2? ,∴ f ?(0) ? 0 ,
?2 x

又 [ f ?( x)]? ? 2e

? (2 x ? 2) 2 e x

? 0 ,∴ f ?(x) 是 R 上的递增函数.

∴ x ? (???? ) 时, ,0

f ?( x) ? 0?? ? (0?? ?) 时, f ?( x) ? 0 , ;x ,?

f (x) 有最小值 f (0) ? 1. 无最大值.
(说明:此小题若考生不求二阶导数,而是对 x 的取值范围进行讨论得出相应结果,则也给予 相应的分值) (2)∵ h( x) ?

g ?( x) ? f ( x) ? xf ?( x) ,∴ h?( x) ? f ?( x) ? f ?( x) ? x[ f ?( x)]? ,

,? ,? 由(1)可知当 x ? (0?? ?) 时, h?( x) ? 0 ,∴ h(x) 在 (0?? ?) 上为增函数.

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3

(3)记 F ( x) ?

? x?b? xf ( x) ? bf (b) ? ( x ? b) f ? ,x ,? ??? ? (0?? ?) , ? 2 ?

则 F ?( x) ?

? x?b? ? x?b? 1 f ( x) ? xf ?( x) ? f ? ? ? ( x ? b) f ?? ? ? ? f ( x) ? xf ?(x) ? 2 ? ? 2 ? 2

? x ? b ? x ? b ?? x ? b ? ? x?b? ? f? f ? ?? ? ? h( x) ? h? ?, 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
∴ F ?(b) ? h(b) ? h(b) ? 0? 当 x ? (0?b) 时,F ?( x) ? 0 , x ? (b?? ?) 时,F ?( x) ? 0 , , 当 , ,? ∴ F ( x)(0?? ?) 在 (0?? ?) 上有最小值 F (b) ? 0 , ,? ,? 而 a ? (0?? ?) 且 a ? b ,∴ F (a) ? 0 ,即 af (a) ? bf (b) ? (a ? b) f ? ,?

?a?b? ?. ? 2 ?

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4


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