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(6)导数的运算法则


一、复习目标
掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则, 了解复合 函数的求导法则, 会求某些函数的导数.

二、重点解析
在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时, 要熟记 常见函数的导数公式及运算法则. 对复合函数的求导, 要搞清复合关系, 选好中间变量, 分清每 次是对哪个变量求导, 最终要把中间变量换成自变量的函数.

三、知识要点
1.函数的和、差、积、商的导数: (u?v)?=u??v?; (uv)?=u?v+uv?; (cu)?=cu?(c 为常数); ( u )?= u?v-uv? (v?0). v v2

2.复合函数的导数 设函数 u=?(x) 在点 x 处有导数 u?x=??(x), 函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y?u=f ?(u), 则复合函数 y=f(?(x)) 在点 x 处 有导数, 且 y?x=y?u· x. 或写作 f?x(?(x))=f?(u)??(x). u? 即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变量的导 数, 乘以中间变量对自变量的导数. 典型例题 1 求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; 1 (3)y=( x+1)( -1). x 解: (1)y?=(2x2+3)?(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)? =4x(3x-2)+(2x2+3)?3 =18x2-8x+9. 法2 y?=(6x3-4x2+9x-6)?=18x2-8x+9. (2)y?=(x2sinx)?+(2cosx)? =(x2)?sinx+x2(sinx)?+2(cosx)? =2xsinx+x2cosx-2sinx.

典型例题 1
1 求下列函数的导数: (3)y=( x+1)( x -1). 1 1 解: (3)y?=( x+1)?( -1)+( x+1)( -1)? x x =(x 1 - 1 = 2 x (x -1)+(x +1)(- 2 x ) 1 1 1 1 = 2 x-1- 2 x- - 2 x-1- 2 x1 1 =- x+1 . =2 x 2x x 2x x 1 -1= 1 - x , 法2 ∵y=1- x + x x 1 x+1 1 1 =. ∴y?=( - x )? =2x x 2x x 2 x x
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 - 2 -1)+(x +1)?(x 1 2 1 - 2 -1)? +1)(x

典型例题 2
已知 f(x) 的导数 f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a≥2, 求不等式 f(x)<0 的解集. 解: ∵f?(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, ∴可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)

=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).

典型例题 3
设曲线 y=e-x(x≥0) 在点 M(t, e-t) 处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围 成的三角形面积为 S(t). (1)求切线 l 的方程; (2)求 S(t) 的最大值. 解: (1)∵y?=(e-x)?=-e-x,
∴切线 l 的斜率为 -e-t, 切线 l 的方程为 y-e-t=-e-t(x-t), 即 e-tx+y-e-t(t+1)=0. (2)令 y=0, 得 x=t+1; 令 x=0, 得 y=e-t(t+1). =2 ∴S(t)= 1 (t+1)?e-t(t+1) 1 (t+1)2e-t(t≥0). 2 1 又S?(t)= 2 e-t(1-t)(1+t), 令 S?(t)>0, 得 0≤t<1; 令 S?(t)<0, 得 t>1. ∴S(t) 在 [0, 1) 上为增函数, 在 (1, +∞) 上为减函数. ∴S(t)max=S(1)= 2 . e

典型例题 4
求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程. 解: 由 y=x3+3x2-5 知 y?=3x2+6x, 设切点为 P(x0, y0), 则 y? | x=x0=3x02+6x0, 曲线在点 P 处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切线过点 M(1, -1),
∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6x0-1.

而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5, ∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. ∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.

已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有相同的切线. (1)求实数 a, b, c 的值; (2)设函数 F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的单调区间, 并指出函数 F(x) 在该区间上的 单调性. 解: (1)∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴2?23+2a=0. ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8. ∴f?(2)=6?22-8=16. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0), ∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. 综上所述, 实数 a, b, c 的值分别为 -8, 4, -16. (2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. ∴F(x)=2x3+4x2-8x-16. ∴F?(x)=6x2+8x-8. 由 F?(x)>0 得 x<-2 或 x> 2 ; 3 2 由 F?(x)<0 得 -2<x< 3 . ∴F(x) 的单调区间为: (-∞, -2)、 (-2, 2 ) 和 ( 2 , +∞), 并且 F(x) 在 (-2, 2 ) 上是减函数, 在 3 3 3 (-∞, -2) 上是增函数, 在 ( 2 , +∞)上也是增函数. 3

典型例题 5

典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x?(0, +∞), 设 0<x1< 2 . 记曲线 a y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 1 1 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a ; ②若 x1< a , 则 x1<x2< a . 1 1 (1)解: f?(x)=( x -a)?=(x-1)? =-x-2=- x2 . 1 (x-x )+ 1-ax1 . ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 1 x
1 1

(2)证: 依题意, 在切线 l 的方程中令 y=0, 得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1), 其中 0<x1< 2 . a ∴ax1<2, ∴2-ax1>0. 又 x1>0, ∴x2=x1(2-ax1)>0. 1 1 1 1 1 ①当 x1= a 时, x2=-a(x1- a )2+ a 取得最大值 a ,∴0<x2≤ a . 1 1 ②当 x1< a 时, ax1<1, ∴x2=x1(2-ax1)>x1. 又由①知 x2< a , 1 ∴x1<x2< a .

课后练习 1
1 + 1 ; (2)y=cos( 1 x2-4); 2 1+ x 1- x (3)y=(sinx)cosx. 2 . 2 -1, ∴y?=-2(1-x)-2(1-x)? = 解: (1)∵y= 1-x =2(1-x) (1-x)2 (2)y?=-sin( 1 x2-4)( 1x2-4)? =-xsin( 1 x2-4). 2 2 2 求下列函数的导数: (1)y= (3)∵y=(sinx)cosx=ecosx?lnsinx, ∴y?=(ecosx?lnsinx)? =ecosx?lnsinx(cosx?lnsinx)? =(sinx)cosx[-sinx?lnsinx+cosx(lnsinx)?] cosx(-sinx?lnsinx+cosx? 1 ?cosx) =(sinx) sinx =(sinx)cosxsinx(cot2x-lnsinx) =(sinx)1+cosx(cot2x-lnsinx)

课后练习 2
(1)求 y=(x2-3x+2)sinx 的导数. (2)求 y=ln 3 1+x2 的导数. 解: (1)y?=(x2-3x+2)?sinx+(x2-3x+2)(sinx)? =(2x-3)sinx+(x2-3x+2)cosx 1 (2)∵y= 3 ln(1+x2), ∴y?= 1 ? 1 2 ?2x 3 1+x 2x = 3(1+x2) .

课后练习 3
设 f(x)=aex+bln(2+x), 若 f?(1)=e, 且 f?(-1)= 1 , 求函数 f(x) 的解 e 析式. 解: 由已知 f?(x)=[aex+bln(2+x)]? =(aex)?+[bln(2+x)]? b =aex+ 2+x 1 ∵f?(1)=e, f?(-1)= e , ae+ b =e, ∴ a 3 1 解得 a=1, b=0. e +b= e . ∴f(x)=ex.

课后练习 4
求函数 f(x)=ln(1+x)- 1 x2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值. 4 1 解: f?(x)= 1+x - 1 x, 对于 x?[0, 2], 2 令 f?(x)>0 得 0≤x<1; 令 f?(x)<0 得 1<x≤2. ∴f(x) 在 [0, 1) 上为增函数, 在 (1, 2] 上为减函数. ∴f(1)>f(2). 1 又∵f(0)=0, f(1)=ln2- 4 , f(2)=ln3-1>0, ∴f(0)=0 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最小值; f(1)=ln2- 1 为函数 f(x) 在区间 [0, 2] 上的最大值. 4

课后练习 5
试求经过原点且与曲线 y= x+9 相切的切线方程. x+5 x0+9 解: 由已知可设切点为 (x0, ), 其中, x0?-5. x0+5 x+5-x-9 =- 4 (x?-5), ∵y?= (x+5)2 (x+5)2 - 4 2 (x0?-5). ∴过切点的切线的斜率为 (x +5) 0 x0+9 又∵切线过原点, x0+5 4 ∴ x =2 . 解得 x0=-3 或 x0=-15. (x0+5) 0 当 x0=-3 时, y0=3. 此时切线的斜率为 -1, 切线方程为 x+y=0. 1 当 x0=-15 时, y0= 3 . 此时切线的斜率为 - 25 , 切线方程为 5 x+25y=0.

课后练习 6
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.
解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f?(x)=6x2-8.

∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
∴4b+c=0. 又g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.

课后练习 7
设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线 在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0. 若函数在 x=2 处取得极值 0, 试确定函数的解析式. 解: 由已知, P 点的坐标为(0, d). ∵曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0, ∴12?0-d-4=0. 解得: d=-4. 又切线斜率 k=12, 故函数在 x=0 处的导数 y?|x=0=12. 而 y?=3ax2+2bx+c, y?|x=0=c, ∴c=12. ∵函数在 x=2 处取得极值 0, ∴y?|x=2=0 且当 x=2 时, y=0. 12a+4b+12=0, 故有 8a+4b+20=0. 解得 a=2, b=-9. ∴y=2x3-9x2+12x-4.

课后练习 8
已知 a>0, 函数 f(x)=x3-a, x?(0, +∞), 设 x1>0, 记曲线 y=f(x) 在点 (x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 轴的交 1 1 1 点为 (x2, 0), 证明: ① x2≥a 3 ; ②若 x1>a 3 , 则 a 3 <x2<x1.
(1)解: 由已知 f?(x)=3x2. ∴切线 l 的方程为 y-(x13-a)=3x12(x-x1). x13-a 2x13+a (2)证: 依题意, 在切线方程中令 y=0, 得 x2=x1- 3x 2 = 3x 2 , 1 1 1 1 1 1 1 3+a-3x 2a 3 ) = 1 (x -a 3 )2(2x +a 3 ) ≥0, ①∵x2-a 3 = 2 (2x1 1 1 3x1 3x12 1 ∴x2≥a , 当且仅当 x1=a 时取等号. 1 1 x13-a ②若 x1>a 3 , x13-a>0, 则 x2-x1=- 3x 2 <0, 且由①, x2≥a 3, 1 ∴a <x2<x1. 注: (2)①亦可利用导数或基本不等式证明.
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