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第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 课时活页训练


1.函数 y=-x2 的单调减区间是( ) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 答案:A 2.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)为增函数, 当 x∈(-∞,-2]时,函数 f(x)为减函数,则 m 等于( ) A.-4 B.-8 C.8 D.无法确定 解析:选 B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反.由题意得函 m 数的对称轴为 x=-2,则 4 =-2,所以 m=-8. 3.设(a,b),(c,d)都是函数 f(x)的单调增区间,且 x1∈(a,b), x2∈(c,d),x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 解析:选 D.根据单调性定义,所取两个自变量是同一单调区间内 的任意两个变量时,才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的 大小. 4.函数 f(x)在 R 上是增函数,若 a+b≤0,则有( ) A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 解析:选 C.应用增函数的性质判断. ∵a+b≤0,∴a≤-b,b≤-a. 又∵函数 f(x)在 R 上是增函数, ∴f(a)≤f(-b),f(b)≤f(-a). ∴f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b). 5.下列说法中正确的有( ) ①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函 数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数;

1 ③函数 y=-x在定义域上是增函数; 1 ④y=x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 A.函数单调性的定义是指定义在区间 I 上的任意两个值 x1, x2, 强调的是任意, 从而①不对; ②y=x2 在 x≥0 时是增函数, x≤0 1 时是减函数,从而 y=x2 在整个定义域上不具有单调性;③y=-x在 1 整个定义域内不是单调递增函数.如-3<5,而 f(-3)>f(5);④y=x 的单调递减区间不是(-∞, 0)∪(0, +∞), 而是(-∞, 0)和(0, +∞), 注意写法. 6.已知函数 y=f(x),x∈A,若对任意 a,b∈A,当 a<b 时,都 有 f(a)<f(b),则方程 f(x)=0 的根( ) A.有且只有一个 B.可能有两个 C.至多有一个 D.有两个以上 解析:选 C.由题意知 f(x)在 A 上是增函数.若 y=f(x)与 x 轴有交 点,则有且只有一个交点,故方程 f(x)=0 至多有一个根.

7.函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的单调递增区间 是________. 解析:结合函数单调性定义,知 y=f(x)在(-∞,1]上递增,在(1, +∞)上递增. 答案:(-∞,1]和(1,+∞) 8.已知函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么 f(a2-a+1) 3 与 f(4)的大小关系为________. 1 3 3 解析:∵a2-a+1=(a-2)2+4≥4, 3 ∴f(a2-a+1)≤f(4). 3 答案:f(a2-a+1)≤f(4)

b 9.若函数 y=- x 在(0,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是 ________. 解析:设 0<x1<x2,由题意知 b b b(x1-x2) f(x1)-f(x2)=-x +x = x · >0, 1 2 1 x2 ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0. ∴b<0. 答案:(-∞,0) 10.试判断函数 f(x)=x2-2ax+3 在(-2,2)内的单调性. 解:f(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,对称轴为 x=a. ∴若 a≤-2,则 f(x)=x2-2ax+3 在(-2,2)内是增函数; 若-2<a<2, 则 f(x)=x2-2ax+3 在(-2, a)内是减函数, 在[a,2) 内是增函数; 若 a≥2,则 f(x)=x2-2ax+3 在(-2,2)内是减函数. 1+x 11. 求证: f(x)= 在(0,1]上是减函数, 在[1, +∞)上是增函数. x 证明:设 x1<x2,则 Δx=x2-x1>0, 1+x2 1+x1 Δy=f(x2)-f(x1)= - x2 x1 ( x2- x1)( x1x2-1) = x1 x2 (x2-x1)( x1x2-1) = . ( x1+ x2) x1x2 当 0<x1<x2≤1 时,0<x1x2<1, ∴ x1x2<1,f(x2)-f(x1)<0,即 Δy<0. 当 x2>x1≥1 时, x1x2>1, ∴f(x2)-f(x1)>0,即 Δy>0. 因此所给函数在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. x(2-x) 12.求函数 f(x)= 的单调区间. |x-1|-1 解:当 x-1≥0 且 x-1≠1,即 x≥1 且 x≠2 时, x(2-x) 函数 y= =-x, (x-1)-1 它在[1,2)和(2,+∞)上递减. 当 x-1≤0 且 x-1≠-1,即 x≤1 且 x≠0 时, x(2-x) 函数 y= =x-2, -(x-1)-1

它在(-∞,0)和(0,1]上递增. ∴增区间是(-∞,0)和(0,1]; 减区间是[1,2)和(2,+∞).


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