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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理


切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段
[学习目标] 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线 上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等; (2)若已知两条切 线平行,则圆上两个切点的连线为直径; (3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得 到一个等腰三角形; (4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补; (5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。

直线 AB 切⊙O 于 P,PC、PD 为弦,图中几个弦切角呢?(四个) 4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。 6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定 ⊙O 中,AB、CD 为弦,交 PA·PB=PC·PD. 连 结 AC 、 BD , 证 : 理 于 P. △APC∽△DPB.

相交弦定 理的推论

⊙O 中, 为直径, AB CD⊥AB PC =PA·PB. 于 P.

2

用相交弦定理.

1

切割线定 理

⊙O 中,PT 切⊙O 于 T, PT =PA·PB 割线 PB 交⊙O 于 A

2

连 结 TA 、 TB , 证 : △PTB∽△PAT

切割线定 理推论

PB、 为⊙O 的两条割线, PD PA·PB=PC·PD 交⊙O 于 A、C

过 P 作 PT 切⊙O 于 T,用 两次切割线定理

圆幂定理

⊙O 中,割线 PB 交⊙O 于 P'C·P'D = r - 延长 P'O 交⊙O 于 M,延 2 A,CD 为弦 OP' 长 OP'交⊙O 于 N, 用相交 2 2 PA·PB=OP -r 弦定理证;过 P 作切线用 r 为⊙O 的半径 切割线定理勾股定理证

2

8.圆幂定理:过一定点 P 向⊙O 作任一直线,交⊙O 于两点,则自定点 P 到两交点的两条线段之积 为常数| 圆幂定理。 |(R 为圆半径) ,因为 叫做点对于⊙O 的幂,所以将上述定理统称为

【典型例题】 例1.如图1,正方形 ABCD 的边长为1,以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O,过 A 作半圆切线,切 点为 F,交 CD 于 E,求 DE:AE 的值。

图1 解:由切线长定理知:AF=AB=1,EF=CE 设 CE 为 x,在 Rt△ADE 中,由勾股定理







2

例2.⊙O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E,若 AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么 CE=_________cm。

图2 解:由相交弦定理,得 AE·BE=CE·DE ∵AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm, , ∴ ,

即 ∴CE=3cm 或 CE=4cm。 故应填3或4。 点拨:相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。 例3.已知 PA 是圆的切线,PCB 是圆的割线,则 解:∵∠P=∠P ∠PAC=∠B, ∴△PAC∽△PBA, ∴ , ________。

∴ 。 又∵PA 是圆的切线,PCB 是圆的割线,由切割线定理,得





即 , 故应填 PC。 点拨:利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。

3

例4.如图3,P 是⊙O 外一点,PC 切⊙O 于点 C,PAB 是⊙O 的割线,交⊙O 于 A、B 两点,如果 PA: PB=1:4,PC=12cm,⊙O 的半径为10cm,则圆心 O 到 AB 的距离是___________cm。

图3 解:∵PC 是⊙O 的切线,PAB 是⊙O 的割线,且 PA:PB=1:4 ∴PB=4PA 又∵PC=12cm 由切割线定理,得 ∴ ∴ , ∴ ∴PB=4×6=24(cm) ∴AB=24-6=18(cm) 设圆心 O 到 AB 距离为 d cm, 由勾股定理,得

故应填



例5.如图4,AB 为⊙O 的直径,过 B 点作⊙O 的切线 BC,OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D, (1)求证: ; (2)若 AB=BC=2厘米,求 CE、CD 的长。

图4 点悟:要证 证明: (1)连结 BE ,即要证△CED∽△CBE。

4

(2) 。 又∵ ,

∴ 厘米。 点拨:有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件。

例6.如图5,AB 为⊙O 的直径,弦 CD∥AB,AE 切⊙O 于 A,交 CD 的延长线于 E。

图5 求证: 证明:连结 BD, ∵AE 切⊙O 于 A, ∴∠EAD=∠ABD ∵AE⊥AB,又 AB∥CD, ∴AE⊥CD ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB=90° ∴∠E=∠ADB=90° ∴△ADE∽△BAD ∴ ∴ ∵CD∥AB

∴AD=BC,∴

5

例7.如图6,PA、PC 切⊙O 于 A、C,PDB 为割线。求证:AD·BC=CD·AB

图6 点悟:由结论 AD·BC=CD·AB 得 证明:∵PA 切⊙O 于 A, ∴∠PAD=∠PBA 又∠APD=∠BPA, ∴△PAD∽△PBA ∴ 同理可证△PCD∽△PBC ∴ ∵PA、PC 分别切⊙O 于 A、C ∴PA=PC ∴ ∴AD·BC=DC·AB 例8.如图7,在直角三角形 ABC 中,∠A=90°,以 AB 边为直径作⊙O,交斜边 BC 于点 D,过 D 点 作⊙O 的切线交 AC 于 E。 ,显然要证△PAD∽△PBA 和△PCD∽△PBC

图7 求证:BC=2OE。 点悟:由要证结论易想到应证 OE 是△ABC 的中位线。而 OA=OB,只须证 AE=CE。 证明:连结 OD。 ∵AC⊥AB,AB 为直径 ∴AC 为⊙O 的切线,又 DE 切⊙O 于 D ∴EA=ED,OD⊥DE ∵OB=OD,∴∠B=∠ODB 在 Rt△ABC 中,∠C=90°-∠B ∵∠ODE=90° ∴ ∴∠C=∠EDC ∴ED=EC ∴AE=EC ∴OE 是△ABC 的中位线 ∴BC=2OE

6

例9.如图8,在正方形 ABCD 中,AB=1,

是以点 B 为圆心,AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 所在圆的切线,交边 DC 于点 F,G

是边 AD 上的任意一点(点 E 与点 A、D 不重合) ,过 E 作 为切点。 当∠DEF=45°时,求证点 G 为线段 EF 的中点;

图8 解:由∠DEF=45°,得 , ∴∠DFE=∠DEF ∴DE=DF 又∵AD=DC ∴AE=FC 因为 AB 是圆 B 的半径,AD⊥AB,所以 AD 切圆 B 于点 A;同理,CD 切圆 B 于点 C。 又因为 EF 切圆 B 于点 G,所以 AE=EG,FC=FG。 因此 EG=FG,即点 G 为线段 EF 的中点。

【模拟试题】 (答题时间:40分钟) 一、选择题 1.已知:PA、PB 切⊙O 于点 A、B,连结 AB,若 AB=8,弦 AB 的弦心距3,则 PA=(



A. B. C. 5 D. 8 2.下列图形一定有内切圆的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知:如图1直线 MN 与⊙O 相切于 C,AB 为直径,∠CAB=40°,则∠MCA 的度数( )

图1 A. 50° B. 40° C. 60° D. 55°

7

4.圆内两弦相交,一弦长8cm 且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为( ) A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在△ABC 中,D 是 BC 边上的点,AD △ABC 的外接圆的交点,那么 DE 长等于( A. ,BD=3cm,DC=4cm,如果 E 是 AD 的延长线与 ) B.

C. D. 6. PT 切⊙O 于 T,CT 为直径,D 为 OC 上一点,直线 PD 交⊙O 于 B 和 A,B 在线段 PD 上,若 CD =2,AD=3,BD=4,则 PB 等于( ) A. 20 B. 10 C. 5 D.

二、填空题 7. AB、CD 是⊙O 切线,AB∥CD,EF 是⊙O 的切线,它和 AB、CD 分别交于 E、F,则∠EOF= _____________度。 8.已知:⊙O 和不在⊙O 上的一点 P,过 P 的直线交⊙O 于 A、B 两点,若 PA·PB=24,OP=5, 则⊙O 的半径长为_____________。 9.若 PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 割线交⊙O 于 B、C,若 BC=20, ,则 PC 的 长为_____________。 10.正△ABC 内接于⊙O,M、N 分别为 AB、AC 中点,延长 MN 交⊙O 于点 D,连结 BD 交 AC 于 P, 则 _____________。

三、解答题 11.如图2,△ABC 中,AC=2cm,周长为8cm,F、K、N 是△ABC 与内切圆的切点,DE 切⊙O 于点 M,且 DE∥AC,求 DE 的长。

图2

8

12.如图3,已知 P 为⊙O 的直径 AB 延长线上一点,PC 切⊙O 于 C,CD⊥AB 于 D,求证:CB 平分 ∠DCP。

图3

13.如图4,已知 AD 为⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,过 B 的割线 BMN 交 AD 的延长线于 C,且 BM=MN=NC,若 AB ,求⊙O 的半径。

图4

9

【试题答案】 一、选择题 1. A 2. C 二、填空题 7. 90

3. A

4. B

5. B

6. A

8. 1

9. 30

10.

三、解答题: 11.由切线长定理得△BDE 周长为4,由△BDE∽△BAC,得 DE=1cm 12.证明:连结 AC,则 AC⊥CB

∵CD⊥AB,∴△ACB∽△CDB,∴∠A=∠1 ∵PC 为⊙O 的切线,∴∠A=∠2,又∠1=∠2, ∴BC 平分∠DCP 13.设 BM=MN=NC=xcm 又∵

∴ 又∵OA 是过切点 A 的半径,∴OA⊥AB 即 AC⊥AB 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得, 由割线定理: ∴ ,又∵

∴半径为



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