当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省盐城中学2015届高三上学期1月月考数学试题


江苏省盐城中学 2015 届高三上学期 1 月月考 数学试题(2015.01)
【试卷综析】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷难易适中, 没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选题和确定测试重点上都认真 贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命题原则,重视对学生运用所学的基础知识和 技能分析问题、解决问题能力的考查. 试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 160 分. 【题文】一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上) 【题文】1.已知集合 A ? ?? 2,?1,0,1?,集合 B ? x | x 2 ? 1 ,则 A ? B = 【知识点】集合运算. A1 【答案】【解析】 { 0 } 解析:∵集合 A ? ?? 2,?1,0,1?, B ? x | x ? 1 = {x | - 1 < x < 1} ,
2

?

?



?

?

∴ A ? B = { 0 } ,故答案为 { 0 } . 【思路点拨】本题考查交集及其运算,解答本题关键是理解交集的定义,由定义进行运算求出交集.

3?i ( i 为虚数单位),则 | z | 的值为 2?i 【知识点】复数运算. L4
【题文】2.已知复数 z ? 【答案】【解析】 2 解析:∵复数 z=



3?i 3?i 9 ?1 (i 为虚数单位),则 z = = = 2 2?i 2?i 4 ?1

【思路点拨】利用两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模,计算求得结果. 【题文】3.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的和为 5 的概率是 【知识点】等可能事件的概率.K1 【答案】【解析】 .

1 5

解析:根据题意,从 5 个数中一次随机取两个数,

其情况有(1、2),(1、3),(1、4),(1、5),(2、3),(2、4),(2、5),(3、4),(3、 5),(4、5),共 10 种情况, 其中这两个数的和为 5 的有(1、4),(2、3),共 2 种; 则取出两个数的和为 5 的概率 P=

2 1 = . 10 5

1 故答案为 . 5
【思路点拨】根据题意,列举从 5 个数中一次随机取两个数的情况,可得其情况数目与取出两个数的和为 5 的情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 【题文】4.阅读下面的流程图,若输入 a ? 10 , b ? 6 ,则输出的结果是 ▲ .



1第

【知识点】程序框图.L1 【答案】【解析】2 解析:当 a=10,b=6,x=4,满足进行循环的条件,执行循环体后,a=8,b=5,

当 a=8,b=5,x=3,满足进行循环的条件,执行循环体后,a=6,b=4, 当 a=6,b=4,x=2,不满足进行循环的条件,故输出的结果为 2, 故答案为:2 【思路点拨】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值,模拟程序 的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
? 【题文】5.在 ?ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ,则 b =





【知识点】余弦定理.C8 【答案】【解析】7 解析:在△ABC 中,由余弦定理可得 b =
2

?3 3 ?

2

+2 -2× 3 3
2

×2cos150°=49,∴b=7, 故答案为:7. 【思路点拨】由余弦定理可得 b = 3 3
2

? ?

2

+2 -2× 3 3 ×2cos150°=49,∴b=7,由此求得 b 的值.
2

【题文】6.已知圆柱的底面半径为 1,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的体积为 【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的体积.G1 【答案】【解析】 2? 解析:根据题意,圆柱的底面半径 r=1,母线长 l=2r=2
2 2





∴圆柱的体积为 V=Sl=π r l=π ×1 ×2=2π . 故答案为:2π . 【思路点拨】根据题意,求出圆柱的母线长 l,再求圆柱的体积 V. 【题文】7.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a4 ? 16 ,则 a2 ? a4 ? ? ? ? ? a2n ? 【知识点】等比数列的前 n 项和.B4 ▲ .

【答案】【解析】


4 4n ?1 3

?

?

解析:根据 a4 ? a1q3 ? 16 ,解得 q=2,所求和即以 a2 为首项,公比为 4 的等
2第

比数列求和, 【思路点拨】根据等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a4 ? 16 ,求得数列的首项与公比,即可求和. 【题文】 8.函数 f ( x ) ?

1 ? a ( x ? 0) , 则 “ f (1) ? 1 ” 是 “函数 f ( x) 为奇函数” 的 3 ?1
x



条件. (用

“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”填写) 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案】【解析】充要 解析:若 f(x)=

1 +a 是奇函数, 3 ?1
x

则 f(-x)=-f(x),即 f(-x)+f(x)=0,

1 1 1 3x 3x ? 1 ∴ ?x +a+ x =2a+ + =0,即 2a+ =0, 3 ?1 3 ?1 1 ? 3x 3 x ? 1 1 ? 3x
∴2a-1=0,即 a=

1 . 2 1 +a=1, 2

若 f (1) ? 1 ,即 f(1)= 解得 a=

1 .∴“f(1)=1”是“函数 f(x)为奇函数”的充要条件. 2

故答案为:充要. 【思路点拨】根据函数奇偶性的定义,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【题文】9.已知 x ? 0, y ? 0, n ? 0, nx ? y ? 1, 【知识点】基本不等式.E6 【答案】 【解析】4 解析:∵ x ? 0, y ? 0, n ? 0, nx ? y ? 1, ,

1 4 ? 的最小值为 16, 则 n 的值为 x y







骣 1 4 1 4 y 4n + = ( nx + y) 琪 + = n +4 +2 ? 琪 x y x y x y 桫

n + 4 + 4 n ,当且仅当 y = 2 nx 时取等

号.∴ n + 4 + 4 n = 16 ,解得 n = 4 . 故答案为:4. 【思路点拨】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出.
? 【题文】10.在 ?ABC 中, ?A ? 90 , AB ? 1 , AC ? 2 ,设点 P, Q ,满足 AP ? ? AB,

AQ ? (1 ? ?) AC, ? ? R .若 BQ ? CP ? ?2 ,则 ? 的值是
【知识点】向量在几何中的应用. G12 【答案】 【解析】 由于 BQ ?CP





2 解析:由题意可得 AB ? AC 3

0 ,因为 AP ? ? AB, AQ ? (1 ? ?) AC, ? ? R ,
AC

(1 - l ) AC - AB ? 轾 l AB 犏 犏 ( AQ - AB)( AP - AC) = 轾 臌 臌
3第



= 0 - (1 - l ) AC - l AB + 0 = - 4(1 - l ) - l ? 1 - 2 ,
解得 l =

2

2

2 2 ,故答案为: . 3 3

【思路点拨】由题意推出 AB ? AC

0 ,根据 BQ ? CP ? ?2 ,通过向量的转化求得 l 的值.
2

【题文】11.设 A(1,0), B(0,1) ,直线 l : y ? ax, 圆 C : ?x ? a? ? y 2 ? 1 .若圆 C 既与线段 AB 又与直线 l 有 公共点,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 【知识点】直线和圆的方程的应用. H4 【答案】 【解析】[1 ? 2 ,

1? 5 ] 2

解析:∵圆 C : ?x ? a? ? y 2 ? 1 的圆心 C a,0 在 x 轴上,且圆的
2

( )

半径等于 1,当圆心在 A 点左侧时,点 A,B 所在直线方程为 x + y - 1 = 0 , 由圆心(a,0)到直线 x + y - 1 = 0 的距离等于 1,得

| a - 1| =1, 2

即 | a - 1|= 2 ,解得 a=1﹣ 2 或 a=1+ 2 (舍) , 当圆心在 A 的右侧时,圆交线段 AB 于 A 时,a 有最大值,此时 a=2.

1∴圆 C : ?x ? a? ? y 2 ? 1 与线段 AB 有公共点的 a 的范围是 轾 犏
2



2, 2 .

要使圆 C : ?x ? a? ? y 2 ? 1 1 与直线 l: y = ax 有公共点,则
2
4 2

| a2 | a 2 +1

? 1,

即a ? a

1 ,∴ a 4 ﹣a 2 ﹣ 1? 0 ,
2

解得: 0 ? a ?

1? 5 1? 5 1? 5 ,∴ ? . ?a? 2 2 2

∴圆 C 既与线段 AB 又与直线 l 有公共点 d 的实数 a 的取值范围是 ?1 ? 2,

? ? ?

1? 5 ? ?. 2 ? ?

故答案为: ?1 ? 2,

? ? ?

1? 5 ? ?. 2 ? ?
2

【思路点拨】根据圆的圆心坐标和半径,首先分析得到使圆 C : ?x ? a? ? y 2 ? 1 与线段 AB 有公共点的 a 的范围,再由圆心到直线 y = ax 的距离小于等于圆的半径得到实数 a 的取值范围,取交集后得答案. 【题文】 12 .若 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? ?

?log2 ?x ? 1?, x ? [0,1) ,则函数 x ? 3 ? 1 , x ? [ 1 , ?? ) ?

1 g ? x ? ? f ? x ? ? 的所有零点之和为 2
【知识点】函数的零点. B9






4第

【答案】 【解析】 2 ? 1 ∴当 x<0 时, f x = í

解析:∵函数 f(x)是奇函数,

( )

ì ? - log 2 ( 1 - x) , x ? [ 1, 0) , ? 1 - x - 3 , x ? [ ? , 1) ?

作出函数 f ?x ? 在 R 图象如图:

1 1 =0,即 f ( x) = , 2 2 1 由图象可知函数 f ( x) = 有 5 个根,不妨设为 x=a,b,c,d,e.且 a<b<c<d<e, 2
由 g ?x ? ? f ?x ? ? 则 a,b 关于 x=﹣3 对称,d,e 关于 x=3 对称,0<c<1,

a +b d +e = -3, = 3 ,∴a+b=﹣6,d+e=6, 2 2 1 1 ∵0<c<1,∴由 f(c)= ,得 log 2 ( c +1) = , 2 2
则 即 c+1= 2 2 ? 2 ,∴c= 2 ? 1 , ∴零点之和为 a+b+c+d+e=﹣6+6+ 2 ? 1 = 2 ? 1 .故答案为: 2 ? 1 . 【思路点拨】根据函数的奇偶性求出函数 f ?x ? 的表达式,根据函数表达式作出函数的图象,由图象可知函 数的对称性,利用数形结合求出函数 g x 的所有零点即可. 【题文】13.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上且焦距为 2, A1 A2 为左右顶点,左 准线 l 与 x 轴的交点为 M , MA2 : A1 F1 ? 6 : 1 , 若点 p 在直线 l 上运动, 且离心率 e ? 的最大值为 ▲ .
1

( )

1 , 则 ta n ?F1 PF2 2

【知识点】椭圆的简单性质.H5
页 5第

【答案】 【解析】

5 20

解析:由焦距为 2,则 c=1,

左准线 l 与 x 轴的交点为 M , MA2 : A1 F1 ? 6 : 1 , 则6 a- c =a+ 由于离心率 e ?

(

)

a2 ,代入 c=1,解得,a=2 或 3, c

1 ,则 a>2c=2,则 a=3. 2

则 l:x=﹣9, 设 P(﹣9,y) , (y>0) ,则|MF1|=8,|MF2|=10,

10 8 2 2 2 y y y 则 tan?F1 PF2 =tan(∠F2PM﹣∠F1PM)= = = ? 80 80 80 80 1 + 2 1+ 2 y + 2 y× y y y y
当且仅当 y =

5 . 20

80 5 5 即 y = 4 5 时,取得最大值 .故答案为: . y 20 20

【思路点拨】由椭圆的性质可得 c=1,运用准线方程和离心率公式和两点距离公式,结合条件,可得 a=2, 再设 P(﹣9,y),(y>0),运用两角差的正切公式,结合基本不等式即可求得最大值. 【题文】 14.若函数 f ?x ? ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线, 则实数 a 的取值范围是 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 【答案】 【解析】 ? ? ?,2 ? ? ? ? 2 ? ▲ .

? ?

1? e?

? ?

1 1 ? ,2 ? 解析: f ?( x) = + a , ( x > 0) . x e ?

∵函数 f ?x ? ? ln x ? ax 存在与直线 2 x - y = 0 平行的切线, ∴方程

1 + a = 2 在区间 x ? ( 0, x

) 上有解.即 a = 2 -

1 在区间 x ? ( 0, x

) 上有解.

∴a<2. 若直线 2 x - y = 0 与曲线 f ?x ? ? ln x ? ax 相切,设切点为 x0 , 2 x0 .

(

)

ì 1 +a = 2 ? 1 ? x0 则í ,解得 x0 = e .此时 a = 2 - . e ? ? ? 2 x0 = ln x0 + ax0
综上可知:实数 a 的取值范围是 ? ??, 2 ? ? ? ? 2 ? , 2 ? .

? ?

1? e?

? ?

1 e

? ?

故答案为: ? ??, 2 ? ? ? ? 2 ? , 2 ? .
页 6第

? ?

1? e?

? ?

1 e

? ?

【思路点拨】函数 f ?x ? ? ln x ? ax 存在与直线 2x-y=0 平行的切线,即方程 f ? ? x ? ?

1 ? a =2 在区间 x

x ? ( 0,

) 上有解,并且去掉直线 2 x - y = 0 与 f ( x) 相切的情况,解出即可.

【题文】二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 【题文】15. (本小题 14 分) 已知 PA ? 菱形 ABCD 所在平面,点 E 、 F 分别为线段 BC 、 PA 的中点. (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: BF ∥平面 PDE .

【知识点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.G4 G5 【答案】 【解析】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析. 解析: (Ⅰ) PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,

? PA ? BD ,又

ABCD 是菱形,? AC ? BD , 又 PA, AC ? 平面 PAC ,PA

AC ? A ,? BD ? 平

面 PAC ,又 PC ? 平面 PAC ,

? BD ? PC .
(Ⅱ)取线段 PD 的中点 G ,连结 EG, FG , 则 FG ∥ AD ,且 FG ?

1 1 AD ,又 BE ∥ AD ,且 BE ? AD , 2 2

? FG ∥ BE , FG ? BE ,? 四边形 BEGF 是平行四边形,
? BF ∥ EG ,
又 BF ? 平面 PDE , EG ? 平面 PDE ,

? BF ∥平面 PDE .
【思路点拨】(Ⅰ)由 PA ? 平面 ABCD ,可得 PA ^ BD ,又由 ABCD 是菱形,可得 AC ^ BD ,进而由 线面垂直的判定定理得到 BD ⊥平面 PAC ,进而 BD ? PC ;(Ⅱ)取线段 PD 的中点 G,连结 EG,FG,由

1 1 AD ,又由 BE ∥ AD ,且 BE ? AD ,进而四边形 BEGF 是平行 2 2 四边形,进而 BF ∥EG,再由线面平行的判定定理得到 BF ∥平面 PDE 。
中位线定理可得 FG ∥ AD ,且 FG ? 【题文】16. (本小题 14 分) 已 知 ?A B C 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , a ?
页 7第

2 , 向 量 m ? (?1,1) ,

n ? (cosB cosC, sin B sin C ?
(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)当 sin B ? cos(

2 ) ,且 m ? n . 2

7? ? C ) 取得最大值时,求 B 和 b . 12

【知识点】正弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.C8 F3 C7 【答案】 【解析】 (Ⅰ) A ?

?
4

,(Ⅱ) B ?

?
3

,b ?

3

解析: (Ⅰ)由 m ? n ? ? cos(B ? C ) ? 又 A ? (0, ? ) 则 A ? (Ⅱ) sin B ? cos(

2 2 ? cos A ? ?0 2 2

?
4

7? ? ? ? C ) ? sin B ? cos( B ? ) ? 3 sin( B ? ) 12 6 6 3? ? 7? ) 则 B ? 时 sin B ? cos( ? C ) 最大 又 B ? (0, 4 3 12 b a ? 由正弦定理 得b ? 3 sin B sin A
所以 B ?

?

3

,b ?

3
7? ? C) 为 12

【思路点拨】 (Ⅰ)通过向量的垂直,两角和与差的三角函数化简表达式,利用三角形的内角和,转化 A 的三角函数值,然后求 A 的大小; (Ⅱ)通过 A 的大小,推出 C 与 B 的关系,化简 sin B ? cos(

B 的三角函数的形式,通过 B 的范围求出不等式取得最大值时,求角 B 的大小,利用正弦定理求出 b 的值, 【题文】17. (本小题 14 分) 如图①,一条宽为 1km 的两平行河岸有三个工厂 A 、 B 、C ,工厂 B 与 A 、C 的直线距离都是 2km,BC 与河岸垂直, D 为垂足.现要在河岸 AD 上修建一个供电站,并计划铺设地下电缆和水下电缆,从供电站 向三个工厂供电.已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为 2 万元/km、4 万元/km. (Ⅰ)已知工厂 A 与 B 之间原来铺设有旧电缆(原线路不变) ,经改造后仍可使用,旧电缆的改造费用是 0.5 万元/km.现决定将供电站建在点 D 处,并通过改造旧电缆修建供电线路,试求该方案施工总费用; (Ⅱ)如图②,已知供电站建在河岸 AD 的点 E 处,且决定铺设电缆的线路为 CE 、 EA 、 EB ,若

?DCE ? ? (0 ? ? ?

?
3

) ,试用 ? 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求总施工费用 y 的最小值.

【知识点】在实际问题中建立三角函数模型;根据实际问题选择函数类型.B10 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 5 + 3 ; (Ⅱ)总费用的最小值为 (4 2 ? 2 3) 万元。
页 8第

解析: (Ⅰ)过 D 作 DE ? AB 于 E ,地下电缆的最短线路为 DE, AB, CD

该方案总费用为 1 ? 4 ? (Ⅱ) CE ? EB ?

3 ? 2 ? 2 ? 0.5 ? 5 ? 3 (万元) 2

1 , ED ? tan ? , AE ? 3 ? tan? cos ? 1 1 3 ? sin ? ?4? ? 2 ? ( 3 ? tan ? ) ? 2 ? 2 ? ?2 3 则y? cos ? cos ? cos ? 3 ? sin ? 3 sin ? ? 1 设 g (? ) ? 则 g ' (? ) ? cos ? cos 2 ? 1 ? 由 g ' (? ) ? 0 得 sin ? 0 ? , ? 0 ? (0, ) 3 3
列表

g (? ) min ? g (? 0 ) ? 2 2 , 则 ymin ? 4 2 ? 2 3
此时 ED ? tan? 0 ?

2 4 2 4

因此施工总费用的最小值为 (4 2 ? 2 3) 万元,其中 ED ?

【思路点拨】(Ⅰ)由已知可得△ABC 为等边三角形.因为 CD⊥AD,所以水下电缆的最短线路为 CD.过 D 作 DE⊥AB 于 E,可知地下电缆的最短线路为 DE、AB.由此能求出该方案的总费用.(Ⅱ)因为∠DCE= ? ,

0 ?? ?

1 3 ? sin ? ? 2 3 ,令 , ED ? tan ? , AE ? 3 ? tan? , 则 y= ? 2 ? 3 cos ? cos ? 3 ? sin? 3 sin ? ? 1 g (? ) ? ,则 g ' (? ) ? ,由此能求出施工总费用的最小值. cos ? cos 2 ?

?

,所以 CE ? EB ?

【题文】18. (本小题 16 分)

x2 y2 若椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 、 F2 是它的左、右焦点,椭圆 C 过点 (0,1) ,且离心率为 a b

e?

2 2 . 3

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设椭圆的左右顶点为 A 、 B ,直线 l 的方程为 x ? 4 , P 是椭圆上任一点,直线 PA 、 PB 分别交直 线 l 于 G 、 H 两点,求 GF 1 ? HF2 的值; (Ⅲ)过点 Q(1,0) 任意作直线 m (与 x 轴不垂直)与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,与 y 轴交于 R 点

RM ? ? MQ , RN ? ? NQ .证明: ? ? ? 为定值.



9第

【知识点】椭圆的应用;平面向量数量积的运算;直线与圆锥曲线的综合问题.H5 H8 F3

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

65 x2 ? y2 ? 1; (Ⅱ) ; (Ⅲ)见解析 9 9

x2 ? y2 ? 1 解析: (Ⅰ) 9
(Ⅱ)设 p( x0 , y0 ) ,则 G (4,

7 y0 y ) , H (4, 0 ) x0 ? 3 x0 ? 3

GF1 ? HF2 =

65 9

(Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , R(0, t ) 由 RM ? ? MQ 得 ( x1 , y1 ? t ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 )

? ? x1 ? ? ? 1? ? (? ? ?1) 代入椭圆方程得 所以 ? ?y ? t ? 1 1? ? ?

?2 ? 9t 2 ? 9(1 ? ? ) 2
2 2


2

同理由 RN ? ? NQ 得 ? ? 9t ? 9(1 ? ? ) 由①-②得 ? ? ? ? ?



9 4
y M P B F1 Q F2 N R H x G

A



10 第

【思路点拨】 (Ⅰ)根据已知条件列出 a,b,c 的方程组解之即可; (Ⅱ)设 p( x0 , y0 ) ,则 G (4,

7 y0 ), x0 ? 3

H (4,

y0 ( Ⅲ ) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , R(0, t ) , ) ,直接利用向量的数量积公式计算即可; x0 ? 3

? ? x1 ? ? 9 ? 1? ? (? ? ?1) 代入椭圆方程,利用韦达定理及 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,求出 ? ? ? ? ? , ? 4 ?y ? t 1 ? 1? ? ?
即可得出结论. 【题文】19. (本小题 16 分) 已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ,其中 a ? R . x2 ?1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) 在 [0,??) 上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题 中的应用.B11 B12 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 2 x ? y ? 0 ; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ) a ? ?1 或 0 ? a ? 1 解析: (Ⅰ) 2 x ? y ? 0 (Ⅱ) f ' ( x) ?

? 2( x ? a)(ax ? 1) ( x 2 ? 1) 2

① a ? 0 时 f ( x) 在 (??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递增

1 1 a a 1 1 ③ a ? 0 时 f ( x) 的单调递增区间 ( ? a, ) ,单调递减区间 (?? ,? a ), ( ,?? ) a a (Ⅲ)①由(2) a ? 0 时不符合题意
② a ? 0 时 f ( x) 的单调递增区间 (?? , ), (? a,?? ) ,单调递减区间 ( ,? a ) ② a ? 0 时 f ( x) 在 (0,?a) 上递减,在 (?a,??) 上递增,则当 x ? (0,??) f ( x) min ? f (?a) ? ?1 当 x ? ?a 时,

2ax ? a 2 ? 1 ? ?2a 2 ? a 2 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 故 f ( x) ? 0
则 f (0) ? 0 解得 a ? ?1
页 11 第

③ a ? 0 时 f ( x) 在 (0, ) 上递增,在 ( ,?? ) 上递减 则 f ( x) max ? f ( ) ? a ? 0 且 x ?
2

1 a

1 a

1 a

1 时 f ( x) ? 0 a

则 f (0) ? 0 解得 0 ? a ? 1 ,综上 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 【思路点拨】(Ⅰ)当 a=1 时,先对函数求导,然后求出 f'(0),即取消在原点处的切线斜率,可求得曲 线 y=f(x)在原点处的切线方程 (Ⅱ)先对函数求导,然后根据导数的符号可判断函数的单调区间 (III)由(Ⅱ)中函数的单调区间,可求出函数的最值取得的条件,然后可求 a 的范围。 【题文】20. (本小题 16 分) 已知无穷数列 {an } 的各项均为正整数, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)若数列 {an } 是等差数列,且对任意正整数 n 都有 S n 2 ? ?S n ? 成立,求数列 {an } 的通项公式;
2

(Ⅱ)对任意正整数 n ,从集合 {a1 , a2 ,

, an } 中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得 , an 一起恰好是 1 至 Sn 全体正整数组成的集合.

数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1 , a2 , (ⅰ)求 a1 , a2 的值; (ⅱ)求数列 {an } 的通项公式.

【知识点】等比数列的通项公式;等差数列的前 n 项和.D3 D2 【答案】 【解析】(Ⅰ) an ? 1 或 an ? 2n ? 1 ;(Ⅱ) an ? 3n?1 解析:(Ⅰ)设无穷等差数列 {an } 的公差为 d ,则

Sn ? na1 ?

n(n ? 1) ?d d ?? ? d ? n ? n ? ? a1 ? ?? 2 2 ?? ? ?2

所以

d d d d S n 2 ? n 2 [ n 2 ? (a1 ? )] 又 ( S n ) 2 ? n 2 [ n ? (a1 ? )] 2 2 2 2 2 d 2 d d d 2 则 [ n ? (a1 ? )] = [ n ? (a1 ? )] 2 2 2 2 2 ?d d ? ? 4 ?2 d d 2 ? 所以 ?a1 ? ? (a1 ? ) 则 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 2 2 ? d ? ?d (a1 ? 2 ) ? 0 ?
(Ⅱ)(i)记 An ? {1,2, 对于 S2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 , 有 A2 ? {1,2,

, Sn } ,显然 a1 ? S1 ? 1

, S2 } ? {1, a2 ,1 ? a2 ,|1 ? a2 |} ? {1,2,3,4}

故 1 ? a2 ? 4 ,所以 a2 ? 3 (ii)由题意可知,集合 {a1 , a2 ,


, an } 按上述规则,共产生 Sn 个正整数.而集合 {a1 , a2 , , an , an?1} 按上
12 第

述规则产生的 S n ?1 个正整数中,除 1,2, 共 2Sn ? 1 个数.

, Sn 这 Sn 个正整数外,还有 an?1 , an?1 ? i,| an?1 ? i | (i ? 1,2, , Sn ) ,

所以, Sn?1 ? Sn ? (2Sn ? 1) ? 3Sn ? 1

1 1 ? 3( S n ? ) 2 2 1 n ?1 1 1 n 1 所以 S n ? ( S1 ? ) ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 2 2 1 n 1 1 n ?1 1 n ?1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ? 3 ? ? ( ? 3 ? ) ? 3 而 a1 ? 1 也满足 an ? 3n?1 2 2 2 2
又 S n ?1 ? 所以,数列 {an } 的通项公式是 an ? 3n?1 【思路点拨】 (Ⅰ)写出等差数列{an}的前 n 项和,结合对任意正整数 n 都有 S n 3 = ( S n ) 3 成立列式求取首项 和公差,从而得到两个无穷等差数列的通项公式; (Ⅱ) (1)由题意利用用集合相等求得 a1,a2 的值; (2 ) 有题意可知,集合 {a1 , a2 ,

, an } 按上述规则共产生 Sn 个正整数,而集合 {a1 , a2 , , an } 按上述规则共产生
1 1 ? 3( S n ? ) 求得 Sn,然后由 Sn-Sn-1 求通项. 2 2

Sn+1 个正整数中,除 1,2,…,Sn 这 Sn 个正整数外,还有 an+1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,…,Sn)共 2Sn+1 个数.∴ Sn?1 ? Sn ? (2Sn ? 1) ? 3Sn ? 1 .结合 S n ?1 ?



13 第


赞助商链接
相关文章:
...2018届江苏省盐城中学高三上学期1月月考化学试题及...
2017-2018届江苏省盐城中学高三上学期1月月考化学试题及答案 - 高三年级阶段性检测 化学试题 命题: 王建党 可能用到的相对原子质量:H 1 35.5 选择题(共 40 ...
2018届江苏省盐城中学高三上学期1月月考物理试题及答案...
2018届江苏省盐城中学高三上学期1月月考物理试题及答案 精品 - 高三年级阶段性检测 物理试题 (卷面总分:120 分 考试时间:100 分钟) 一. 单项选择题: (本题...
江苏省盐城中学2015届高三上学期12月月考试题 数学 Wor...
江苏省盐城中学 2015 届高三上学期 12 月阶段检测 高三年级数学试题(2014.12)审题人:朱启东 命题人:钱俊 一、 填空题: 1.已知集合 A ? ?x 0 ? x ? 3...
江苏省盐城中学2015届高三10月月考数学(理)试题含解析_...
江苏省盐城中学2015届高三10月月考数学(理)试题含解析 - 高三年级阶段性检测 数学试题(理) 命题人:陈健 审核人:蒋涛 【试卷综析】突出考查数学主干知识 试卷...
2017-2018届江苏省盐城中学高三上学期1月月考试题语文 ...
2017-2018届江苏省盐城中学高三上学期1月月考试题语文 试题及答案 - 高三年级阶段考试语文试卷(01.02) 语文Ⅰ 试题 (满分 160 分,考试时间 150 分钟) 组卷:...
...中学2016届高三上学期阶段考试12月份月考数学试题
高三数学-盐城中学2016届高三上学期阶段考试12月份月考数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省盐城中学高三年级阶段考试 数学 I 试题 (2015.12.11) ...
江苏省盐城中学2014-2015学年高一上学期10月月考数学试...
江苏省盐城中学2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷 Word版含解析_数学_...学年江苏省盐城中学高一(上)10 月月考数 学试卷参考答案与试题解析 一、填空...
江苏省盐城中学2014-2015学年高一下学期月考.2015年6月
江苏省盐城中学2014-2015学年高一下学期月考.2015年6月 - 高一年级阶段性检测 英语试题(2015.06) 出题人:胡九阳 钟云 第一部分 听力 (共两节,满分 20 分)...
江苏省盐城中学2015届高三10月月考数学(文)试题含解析_...
江苏省盐城中学2015届高三10月月考数学(文)试题含解析 - 盐城中学 2015 届高三第一次阶段考试数学试题(文) 命题人 审核人 【试卷综析】突出考查数学主干知识 ...
2018届江苏省盐城中学高三上学期期末考试数学试题(图片...
2018届江苏省盐城中学高三上学期期末考试数学试题(图片版,无答案) - 页 1第 页 2第 页 3第 页 4第 页 5第 页 6第
更多相关文章: