当前位置:首页 >> 数学 >>

二分法求方程的根2


3.1.2 用二分法 求方程的 近似解

上节回忆

1、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否 有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线 (2) f(a)· f(b)<0

思考:区间[a,b]上零点是否是唯一的?

练习:
函数 f ( x ) ? 有零点?
A .( ? 1 , 0 )
3

上节回忆
x ? x ? 1 在下列哪个区间内

( C)
B .( 1 , 2 ) C .( 0 ,1 ) D .( 2 , 3 )

思考:如何得到一个更小的区间,使得零 点还在里面,从而得到零点的近似值, 如何缩小零点所在的区间?

游戏规则: 给出一件商品,请你猜出 它的准确价格,我们给的提示 只有“高了”和“低了”。给 出的商品价格在100 ~ 200之间 的整数,如果你能在规定的次 数之内猜中价格,这件商品就 是你的了。

这能提供求确定

函数零点的思路吗
思路:用区间两个端点的中点, 将区间一分为二??

研讨新知
2

我们已经知道,函数 y ? x ? 2 x ? 1 在区间(2,3) 内有零点;进一步的问题是,如何找到这个 零点呢?
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 我要说 可以得到零点的近似值. 我要问
我来说

对于一个已知零点所在区间[a,b],取
其中点 c ,计算f(c),如果f(c)=0,那么 c 就是函数的零点;如果不为0,通过比较

中点与两个端点函数值的正负情况,即可 从而将范围缩小了一半,以此方法重复进
行??

判断零点是在(a,c)内,还是在(c,b)内,

四大数学思想:等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论

问题3.不解方程,如何求方程x2-2x-1=0 的一个正的近似解(精确到0.1)?y

画出y=x2-2x-1的图象,如图 可得:方程x2-2x-1=0 x 一个根x1在区间(2,3)内, -1 0 1 2 3 另一个根x2在区间(-1,0) 内 由此可知:借助函数f(x)= x2-2x-1的图象, 我们发现f(2)=-1<0,f(3)=2>0,这表明此函数 图象在区间(2,3)上穿过x轴一次,可得出方 程在区间(2,3)上有惟一解.

y=x2-2x-1

四大数学思想:等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论

学生活动 思考:如何进一步 讨论 有效缩小根所在的区间?

2 2 2 2 2

+

+ + 3 2.5 + + 3 2.5 2.25 + + 3 2.25 2.375 2.5 + + + 3 2.25 2.375 2.5 由于2.375与2.4375的差的绝对值 2.4375 。

3

y

y=x2-2x-1

- - -

x
-1 0 1 2 3 2.25 2
2.5

2

2.5

3

小于0.1,所求近似解为2.4375。

数离形时少直观,形离数时难入微!

1.简述上述求方程近似解的过程 解:设f (x)=x2-2x-1,设x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4

?思考: 通过这种方法,是否可以得 到任意精确度的近似值?给 这种方法起个名字?
精确度为0.01,即零点值与近似值 的差的绝对值要小于或等于0.01

设函数的零点为 x , a =2.375,
0

b =2.4375,
.

则 a ? x ? b. 0

如图 由于 所以
0

.

a

x0

.

b

a ? b ? 2.375 ? 2.4375 ? 0.0625 ? 0.1,

x ? a ? b ? a ? 0.1, x ? b ? b ? a ? 0.1,
0

所以我们可将此区间内的任意一点作为函数 零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零 点的近似值. 所以方程的近似解为

x ? 2.4375

y

二分法概念
a
0 b x

对于在区间?a, b? 上连续不断且 f ?a ? ? f ?b? ? 0 的函 数 y ? f ?x ? ,通过不断地把函数 f ?x ?的零点所在的区

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
零点近似值的方法叫做二分法.

二分法的实质:就是将函数零点所在

的区间不断地一分为二,使新得到 的区间不断变小,两个端点逐步逼 近零点.

问题5: 你能归纳出“给定精确度ε,用二分 法求函数零点近似值的步骤”吗?

给定精确度 ?,用二分法求函数 f ?x ?零点近似 值的步骤如下: 1.确定区间 ?a , b ? ,验证 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 ,给定精确度 ? ;
2.求区间 ? a , b ?的中点 c ; 3.计算 f ?c ? ; (1)若 f ?c ? ? 0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若 f ? a ? ? f ?c ? ? 0 ,则令 b ? c(此时零点 x 0 ? ? a , c ?). (3)若 f ?c ? ? f ?b ? ? 0 ,则令 a ? c(此时零点 x 0 ? ? c , b ?). 4.判断是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点 近似值 a (或

b );否则重复2~4.

尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解(精确度0.1).
先确定零点的范围;再用二分法去求方程的近似解

列表

x
f ?x ? ? 2 ? 3 x ? 7
x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6

-2

3

10

21

40

75

142

273

解 : 由 图 像 和 函 数 值 表 可 知 , f ?1 ? ? 0 , f ? 2 ? ? 0 , 则 f ?1 ? ? f ? 2 ? ? 0 , 所以f

? x ? 在 ? 1, 2 ? 内 有 一 个 零 点 x 0 .
取 ? 1, 2 ? 区 间 的 中 点 x1 ? 1 .5, f ? 1 .5 ? ? 0 .3 3, 因 为

f ? 1 ? ? f ? 1 .5 ? ? 0 所 以 x 0 ? ? 1,1 .5 ? .

取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5) 同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375, 1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

1 .用二分法求方程 A : ? - 1,0 B : ? 0 ,1 ? C : ?1,2

log x ? x ? 3的近似根时
3

,

可以取的初始区间是:

?

? D : ? 2,3 ?
x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间
3

2 .用二分法求方程 取区间中点
0

?2 , 3 ?内的实根时
__

x ? 2 . 5 , 那么下一个区间为

四大数学思想:等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论

练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求其零点的是 ( C) y y y y
0

x

0

x

0

x
0

x

问题7:根据练习2,请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么?
1、函数y=f (x)在[a,b]上连续不断。

2、 y=f (x)满足 f (a)f (b)<0,则在(a,b)内必有零点

通过本节课的学习,你学会了 哪些知识? 基本知识:1. 二分法的定义; 2.用二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.


赞助商链接
相关文章:
VBA程序:二分法求方程的根
VBA 程序:二分法求方程的根对于一般超越方程与高次代数方程求根的问题, 可选用方法简单实用有效的不求导数的二分 法,即在给定的寻根区间内,利用步步查找,二分缩小...
用二分法求方程f(x)=0在区间(0,2)的近似根,f(1)=﹣2,f(...
二分法求方程f(x)=0在区间(0,2)的近似根,f(1)=﹣2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=﹣0.984,f(1.375)=﹣0.260,下一个求f(m),则m=( ) 正确答案...
计算方法用二分法求方程的实根
1 求下列方程的所有实根。 x5 + 21.20450896 x3 - 7.87012319 x 4 - 24.75907383 x 2 + 20.62460810 x - 17.08271259 = 0 1.1 二分法计算该题 1....
用二分法求解一元实系数多项式方程的全部实根(给系上交的)
(2) 一元实系数方程 f ? x ? ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? ax ? a0 ? 0 在 ? ??, ? ?? 上的根无 法直接用二分法求得. 本文基于二分法,结合...
用二分法求方程的近似解教学设计
二分法求方程的近似解教学设计 - 《用二分法求方程的近似解》教学设计 用二分法求方程的近似解》 温江区第二中学校 一、 教材分析 1、本节课的地位、作用和...
§3.1.2用二分法求方程的近似解公开课教案
二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成 用函数观点处理问题的意识. 教学难点 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的...
二分法求方程的根1
二分法求方程的根1_数学_高中教育_教育专区。《用二分法求方程的近似解》求方程...2、 教学重点 能够借用计算器,用二分法求相应方程的近似解。 3、教学难点 对...
苏教版用二分法求方程的近似解2
苏教版用二分法求方程的近似解2 - 第 30 课时 用二分法求方程的近似解(2) 【教学目标】1.使学生进一步理解利用二分法求方程的近似解的思想方法,能灵 活地使用...
3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2二分法求方程的近似解 - 数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案
精品教案 3.1.2 用二分法求方程的近似解_图文
2.为什么用“二分法求方程的近似解? 3.本节内容在教材中的地位和作用. 4.明确学生现有的水平和可能的发展水平. 学生需要复习:方程的根与函数的零点的相关...
更多相关文章: