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江西师大附中2014届高三上学期月考文科数学试题


江西师大附中 2014 届高三上学期月考文科数学试题
命题人:李清荣 审题人:黄润华

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.) 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 ? A ? B 为( U A. ?1, 2, 4? B. ?2,3, 4? C. ?0, 2, 4? D. ?0, 2,3, 4? ( D. )

?

?



2.已知 a 是第二象限角, sin a ? A. ?

5 13

5 , 则cosa ? 13 5 12 B. ? C. 13 13

12 13
( )

3. 函数 f ? x ? ? A. ?0,???

2x ? 1 的定义域为 log 2 x
B. ?1,?? ? C. ?0,1? )

D. ?0,1? ? ?1,???

4.设 a ? 30.5 , b ? log 3 2 , c ? cos 2 ,则(

C .a ? b ? c A.c ? b ? a B .c ? a ? b 5.函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为

D .b ? c ? a ( ).

6.已知命题 p :函数 f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期为 ? ; 命题 q : 若函数 f ( x ? 1) 为偶函数, 则 f (x) 关于 x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是 A. p ? q B. p ? q C. (?p ) ? (?q) ( )

D. p ? ( ?q ) ? ? 7.已知函数 y=Asin(ω x+φ )+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其 2 3 图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是 A.y=4sin(4x+ 8.若函数 则 的最小正值是 A. 9. 中,三边长 B.1 , , 满足 C.2 ,那么 D.3 的形状为 ( )
? ) 3

(
? ) 3

)
? )+2 6

B.y=2sin(2x+

? )+2 3

C.y=2sin(4x+

D.y=2sin(4x+

的图象向右平移

个单位后与原函数的图象关于 x 轴对称, ( )

1

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.以上均有可能

10.已知 y ? f ? x ? 为 R 上的可导函数,当 x ? 0 时, f ' ? x ? ?

f ? x? x

? 0 ,则关于 x 的函数
( )

1 g ? x ? ? f ? x ? ? 的零点个数为 x

A.1 B.2 C.0 D.0 或 2 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 11.定义在 R 上的函数 f ? x ? 是增函数,且 f (1) ? 1 ,则满足 f (3 ? 8) ? 1的 x 取值范围
x

是 12.已知 cos
4

. -sin
4

,

,则

=___________.

13. 若“?x ? R, 使x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0”为真命题,则实数a的取值范围是__ _____

? 2 x , ? x ? A ?, 14.设集合 A ? {x 0 ? x <1},B ? ? x |1 ? x ? 2? , 函数 f (x) ? ? x0 ? A且f ? f (x0 )? ? A, ? ?4-2x , ? x ? B ?, ? 则 x0 取值区间是 .

15.设 0<θ <2π ,且方程 2sin(θ + )=m 有两个不同的实数根, 则这两个实根的和.为________
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) ? 3 ?3 ?? B 2 2 已知集合 A=?y|y=x - x+1,x∈? ,2??, ={x|x+m ≥1}. 命题 p: ∈A, x 命题 q: 2 ?4 ?? ?

? 3

x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

17.(本题满分 12 分) 已知函数 y ? (1)求 M (2)当 x ? M 时,求 f ( x) ? a ? 2
x?2

1? x ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M , 1? x

? 3 ? 4 x (a ? ?3) 的最小值.

18. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别是三内角 A、B、 的对应的三边, C 已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc . (Ⅰ)求角 A 的大小: (Ⅱ)若 2sin 2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断)的形状. 2 2

2

19. (本题满分 12 分) 如图, 在半径为 3 、 圆心角为 60? 的扇形的弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上,点 N , M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y , (1) 按下列要求写出函数的关系式: ① 设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ② 设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值. P

A Q

B 20.(本题满分 13 分)

N

M

O

如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF ∥ AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ) 求四面体 NFEC 体积的最大值.
A F D

B

E

C

21. (本题满分 14 分)

a , a 为正常数. x ?1 9 (1)若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且 a ? ,求函数 f ( x) 的单调增区间; 2
已知函数 ? ( x) ? (2) g ( x) ?| ln x | ?? ( x) , 若 且对任意 x1 , x2 ? (0, 2] ,x1 ? x2 , 都有 的的取 值范围.

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,求 a x2 ? x1

3

1---10. C B D A A
14. log 2

B D D A C
15.

11.x>2

12.

2?3 5 13. (??, ?3) ? (1, ??) 6

3 ? x0 ? 1 2

? 7 、 π. 3 3

3 ? 3?2 7 2 16、解:化简集合 A,由 y=x - x+1,配方,得 y=?x- ? + . 2 ? 4? 16 7 ?3 ? ?7 ? ∵x∈? ,2?,∴ymin= ,ymax=2.∴y∈? ,2?. 16 ?4 ? ?16 ? ? 7 ? 2 2 2 ∴A=?y| ≤y≤2?.化简集合 B,由 x+m ≥1,得 x≥1-m ,B={x|x≥1-m }. ? 16 ? ∵命题 p 是命题 q 的充分条件, 7 3 3 2 ∴A?B.∴1-m ≤ ,解得 m≥ ,或 m≤- . 16 4 4 3? ?3 ? ? ∴实数 m 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 4? ?4 ? ?

?1 ? x ? 0且x ? 1 ? 17. 解: (1)?由题可得 ?1 ? x 可解得M ? [ ?1,1) ?3 ? 4 x ? x 2 ? 0 ? 2a 2 4 2 x?2 x (2)? f ( x) ? a ? 2 ? 3 ? 4 = 3(2 x ? ) ? a 3 3 1 2a 又 ? 2 x ? 2 , a ? ?3 ,? ? ?2 2 3 2a 1 3 3 ①若 ? ? ,即 a ? ? 时, f (x) min = f (?1) = 2a ? , 3 2 4 4 1 2a 3 ②若 ? ? ? 2 ,即 ? 3 ? a ? ? 时, 2 3 4 2 2a 4 所以当 2 x ? ? a, 即 x ? log 2 (? ) 时, f (x) min = ? a 2 3 3 3 2 2 2 18. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, b ? c ? a ? 2bc cos A ,又 b2 ? c2 ? a 2 ? bc

1 ? ……………………………5 分 ,A? 2 3 B C (Ⅱ)∵ 2sin 2 ? 2sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ……………………7 分 2 2 2? 2? 2? ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( ? B) ? 1 ,∴ cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1 , 3 3 3
∴ cos A ? ∴

3 1 ? sin B ? cos B ? 1 ,∴ sin( B ? ) ? 1 , 2 2 6
∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?
3

,C ?

?
3

, ∴ ?ABC 为等边三角形.……………………12 分

19、解: (1)①因为 ON ?

3 ? x 2 , OM ?

3 3 x , 所以 MN ? 3 ? x 2 ? x ,… 2 3 3

4

A

3 3 分所以 y ? x( 3 ? x 2 ? x), x ? (0, ) .……… 4 分 3 2 ②因为 PN ? 3 sin ? ,

P

Q

ON ? 3 cos ? , OM ?


3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3


B

N

M

O

MN ? ON ? OM ? 3 cos ? ? sin ? ……………………6 分
2 所以 y ? 3 sin ? ( 3 cos ? ? sin ? ) ,即 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin ? , (? ? (0,

?
3

)) … 8

分 (2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin ? ? 3 sin(2? ?
2

?? ? (0, ) 3

?

3 ,…………… 10 分 6 2 3 ? ? 5? .…… 12 分 ? 2? ? ? ( , ) … 13 分 所以 ymax ? 2 6 6 6 )?

?

20. 解: (Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形,所以 NC ∥ MD , ………………3 分 因为 NC ? 平面 MFD ,所以 NC ∥平面 MFD . ………………4 分 (Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED ? FC ? O . 因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 NE ? 平面 ECDF ,所以 FC ? NE . ………………6 分 又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . 所以 FC ? 平面 NED ,所以 ND ? FC .………………9 分 (Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 .由(Ⅰ)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ? ………………7 分

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2 当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.
21、解:⑴ f '( x) ? ∵a ?

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

………………11 分

………………13

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? ,…2 分 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

9 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? , 2 2 1 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, ) , (2, ??) 。 2
⑵∵

6分 8分

g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? x2 ? [ g ( x1 ) ? x1 ] ? ?1 , ∴ ? 1 ? 0 ,∴ ?0, x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1
5

设 h( x) ? g ( x) ? x ,依题意, h( x ) 在 ? 0, 2 ? 上是减函数。 当 1 ? x ? 2 时, h( x) ? ln x ?

1 a a ?1, ? x , h '( x) ? ? x ( x ? 1)2 x ?1

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? 设 m( x) ? x 2 ? 3x ?

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

1 1 ? 3 ,则 m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 , x x 1 ∵ 1 ? x ? 2 ,∴ m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? 0 , x
∴ m( x) 在 [1, 2] 上是增函数,则当 x ? 2 时, m( x) 有最大值为 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ? ln x ?

27 27 ,∴ a ? 。 10 分 2 2

1 a a ?1 , ? x , h '( x) ? ? ? x ( x ? 1) 2 x ?1
12 分

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? 设 t ( x) ? x 2 ? x ?

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 , x x

1 1 ? 1 ,则 t '( x) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x 27 . 14 分 2

∴ t ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,∴ t ( x) ? t (1) ? 0 , ∴ a ? 0 , 综上所述, a ?

6


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