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【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试数学(理)试题(详细答案版)

理科数学 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | y ? ( ) B. [?1, 2] C. [?2,1] D. [2, ??) ) 4 ? x 2 } , B ? {x | a ? x ? a ? 1} ,若 A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. (??, ?3] ? [2, ??) 2.设复数 z ? ( A. ? 1 2 a?i 2 ) ,其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为( 1? i 1 3 3 B. ? i C. ? D. ? i 2 2 2 3.“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ?| x(ax ? 1) | 在区间 ( ??, 0) 内单调递减”的( A.充分不必要条件 x ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 4.设函数 f ( x) ? e (2x ?1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的 取值范围为( A. [ ? ) B. [ ? 3 ,1) 2e 5.将函数 y ? sin( x ? ? 3 3 , ) 2e 4 C. [ ) cos( x ? ) 的图象沿 x 轴向右平移 个单位后,得到一个偶函数的图象, 2 2 8 ) C. ? 3 3 , ) 2e 4 D. [ 3 ,1) 2e ? 则 ? 的取值不可能是( A. ? 5? 4 B. ? ? 4 ? 4 D. 3? 4 6.已知点 M (1, 0) , A, B 是椭圆 ( ) ???? ???? ??? ? ?? ? ? x2 ? y 2 ? 1上的动点,且 MA ? MB ? 0 ,则 MA ?BA 的取值范围是 4 A. [ ,1] 2 3 B. [1,9] C. [ ,9] ) 2 3 D. [ 6 ,3] 3 7.如图所示程序框图中,输出 S ? ( A.45 B.-55 C.-66 D.66 8.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域, E 是 D 内位于函数 y ? 区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M ,则点 M 取自 E 内的概率为( A. 1 ( x ? 0) 图象下方的 x ) ln 2 2 B. 1 ? ln 2 2 C. 1 ? ln 2 2 D. 2 ? ln 2 2 P 在线段 BD1 上,且 9.在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 的动点,则三棱锥 M ? PBC 的体积为( A.1 B. ) BP 1 ? , M 为线段 B1C1 上 PD1 2 3 2 C. 9 2 2 D.与 M 点的位置有关 O 为坐标原点, 10.已知点 A 是抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点, 若 A, B 是以点 M (0,10) 为圆心, | OA | 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点,且 ?ABO 为等边三角形,则 P 的值是( A. ) 5 2 B. 5 3 C. 5 6 D. 5 9 ? y ? x ?1 ? 11.设 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1 ,则目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 11,则 ? x ? 0, y ? 0 ? a ? b 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 1 6 ? ?( x ? ) , x ? 0 x 12.设函数 f ( x) ? ? ,则当 x ? 0 时, f [ f ( x)] 表达式的展开式中常数项为( ?? x , x ? 0 ? A.-20 B.20 C.-15 D.15 ) 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若 (1 ? 2x)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 | a1 | ? | a1 | ? | a3 | 等于 14.给定双曲线 C : x 2 ? . 2 y2 ? 1,若直线 l 过 C 的中心,且与 C 交于 M , N 两点, P 为曲线 C 上 5 ?1 . 任意一点,若直线 PM , PN 的斜率均存在且分别记为 kPM , kPN ,则 kPM ? kPN ? ? 3x ? y ? 0 ? 3x ? y ? 15.已知点 P( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围为 x2 ? y 2 ?y ? 0 ? ? 16.在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,3n?1 an ? 3n?2 an?1 ? 2 ? 3n?2 ? 2(n ? 2) , Sn 是数列 { 当不等式 . an ? 1 } 的前 n 项和, n . (3m ? 1)( Sn ? m) ? 1(m ? N * ) 恒成立时, mn 的所有可能取值为 m 3 ( Sn?1 ? m) 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? 2sin (1)求函数 f ( x ) 在区间 [? 2 ?x 2 (? ? 0) 的最小正周期为 3? . 3? , ? ] 上的最大值和最小值; 4 (2)已知 a, b, c 分别为锐角三角形 ABC 中角 A, B, C 的对边,且满足 b ? 2, f ( A) ? 3 ?1, 3a ? 2b sin A ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 某城市城镇化

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