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11-2007-2015年新课标全国卷理——概率统计

2007-2015 年全国课标卷概率统计试题

(2007 宁夏卷)
11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4 )

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A. s3 ? s1 ? s2 B. s2 ? s1 ? s3 C. s1 ? s2 ? s3

D. s2 ? s3 ? s1

20. (本小题满分 12 分) 如图,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,可 按下面方法估计 M 的面积: 在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点, 若n 个点中有 m 个点落入 M 中, 则 M 的面积的估计值为

D

C

m S ,假设正方 M n 形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投 掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. A B (I)求 X 的均值 EX ; ( II ) 求 用 以 上 方 法 估 计 M 的 面 积 时 , M 的 面 积 的 估 计 值 与 实 际 值 之 差 在 区 间

(? 0.03 , ????内的概率. )
附表: P(k ) ?

?C
t ?0

k

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2424

k

2425 0.0423

2574 0.9570

2575 0.9590

P(k )

0.0403

(2008 年宁夏卷)
9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加 一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有( A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 由以上数据设计了如下茎叶图: 根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ①__________________________________________________________________________
甲品 种: 乙品 种:



271 308 284 320

273 310 292 322

280 314 295 322

285 319 304 324

285 323 306 327

287 325 307 329

292 325 312 331

294 328 313 333

295 331 315 336

301 334 315 337

303 337 316 343

303 352 318 356

307

318

②__________________________________________________________________________

甲 7 8 7 8 5 5 3 9 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6



5 6 3 2 3

7 5 2 6

5 4 7

6 7

8 9

8

19、 (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2。根据市场分 析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(1) 在 A、B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得 的利润,求方差 DY1、DY2; (2) 将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值,并 指出 x 为何值时,f(x)取到最小值。 (注:D(aX + b) = a2DX)

(2009 年宁夏卷)
(3)对变量 x, y 有观测数据( x i , yi ) (i=1,2,…,10) ,得散点图(1);对变量 u ,v 有观 测数据( u i , vi ) (i=1,2,…,10),得散点图(2). 由这两个散点图可以判断。

(1)

(2)

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 (18) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名, 其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人) ,现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分二层)从该工 厂的工人中共抽查 100 名工人, 调查他们的生产能力 (此处生产能力指一天加工的零件数) 。 (I)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人; (II)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表 2. 表 1: 生产能力分组 人数 表 2: 生产能力分组 人数

? 1 0?1 1 0 , 1 ? 2 0?1 2 0 , 1 ? 3 0?1 3 0 , 1 ? 4 0?1 4 0 , 1 ? 50 ?1 0 0 , 1
4 8

x

5

3

?110,120?
6

?120,130?
y

?130,140?
36

?140,150?
18

(i)先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小? (不用计算, 可通过观察直 方图直接回答结论)

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平 均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2010 课标全国卷)
6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100
1

(B)200

(C)300

(D)400

13 设 y ? f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用随机模拟方法 近似计算积分

?

0

先产生两组 (每组 N 个) 区间 [0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 ,…xN 和 f ( x)dx ,

y1, y2 ,…yN , 由 此 得 到 N 个 点 ( xi ,yi i )? (

… 1 ,,2 N , , 再) 数 出 其 中 满 足

yi ? f ( xi )(i ? 1,2,…,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可得积分 ? f ( x)dx 的近似值
0

1

为 。 19.(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 是否需要志愿 性别 男 女 40 30 需要 160 270 不需要 (I)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (II)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (III)根据(II)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助的 老年人的比例?说明理由 附:

(2011 年课标全国卷)
4.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

19. (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量越好, 且质量指标值大 于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各 生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) 42 [98,102) 42 [102,106) 22 [102,106) 32 [106,110] 8 [106,110] 10

B 配方的频数分布表

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) .求 X 的分布列及数学

期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率) .

(2012 年课标全国卷)
15.某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工 作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命 ( 单位:小时 ) 均服从正态分布

N (1000,502 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时
的概率为_________

18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位: 枝, n ? N )的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 14 15 16 17 18 19 日需求量 n 频数 10 20 16 16 15 13

20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列,数 学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明 理由.

(2013 课标全国卷 I)
3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生 视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产 品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则 这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品 通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为

1 ,且各件产品 2

是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作

质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

(2013 年课标全国卷 II)
(14)从 n 个正整数 1, 2, …, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的 1 概率为 14,则 n = .

(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内, 每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图, 如右图所示.经销 商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 X (单位:t,100 ≤ X ≤ 150)表示下一个销售季度内 的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内 经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数;

频率/组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 X 100 110 120 130 140 150

(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个需求量,需求量落 入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X∈[100,110),则取 X = 105, 且 X = 105 的概率等于需求量落入[100,110)的概率,求 T 的数学期望.

(2014 年课标全国卷Ⅰ)
5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公 益活动的概率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

18. (本小题满分 12 分) 从某企业的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频 率分布直方图: (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样 本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据 用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ) 由频率分布直方图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服 从正态分布 N (?, ? ) ,其中
2
2

? 近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 .
(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指 标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) , 则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

(2014 年课标全国卷Ⅱ)
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两为优良的概 率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 1 2.9 2 3.3 3 3.6 4 4.4 5 4.8 6 5.2 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t
i ?1

n

i

?t

?

2

? ? ? y ? bt ,a

(2015 年课标全国卷Ⅰ)
(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的 概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

(19) 某公司为确定下一年度投入某种 产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单 位:千元)对年销售量 y(单位:t) 和年利润 z(单位:千元)的影响,对 近 8 年 的 年 宣 传 费 xi 和 年 销 售 量

yi (i ? 1, 2,...,8) 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

? x
46.6

? ? y

?? w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? (wi ? w)2
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

563

289.8
8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

xi , w ? ? wi
i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z ? 0.2 y ? x 。根据(Ⅱ)的结果回答下 列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附: 对于一组数据 (u1 , v1 ),(u2 , v2 ),...,(un , vn ) ,其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为:

??

^

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

,? ? v ? ? u

^

^

2

(2015 年课标全国卷Ⅱ)
(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下 结论不正确的是( )

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到 用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。 假设两地区用户的评 价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率


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