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宁夏银川一中2016届高三上学期第一次月考数学(文)试卷

银川一中 2016 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(文)
命题人:

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {0,1,2,4} ,则 (C R A) ? B = A. {0,1} B. {0} C. {2,4} D. ?

2. 已知 ? 是第二象限角, tan ? ? ? A.

8 ,则 sin ? ? 15

8 8 D. ? 17 17 ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a ? b 与 a ? b 平行,则实数 x 的值是
B. ? C. A.-2 B.0 C.1 D.2

1 8

1 8

4. 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1,2) 内是增函数的是 A. y ? cos 2 x B. y ? log 2 x C. y ?

e x ? e?x 2

D. y ? x ? 1
3

5. 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? a9 ? a11 ? 30 ,则 S13 = A.65 B.70 C.130
2

D.260

6. 在 ?ABC 中,若 sin( A ? B ) sin( A ? B ) ? sin C ,则此三角形形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

7. 已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? a ) 相切,则 a ? A.-1 B.-2 C.0 D.2

8. 已知 P, Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点, 分别位于第一象限和第四象限, 且P 点的纵坐标为

4 5 , Q 点的横坐标为 ,则 cos ?POQ ? 5 13
B.

A.

33 65

34 65

C. ?

34 65

D. ?

33 65

9. 设 M 是 ?ABC 边 BC 上的任意一点, N 为 AM 的中点,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则

??? ?
A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D .1

1

10. 函数 f ( x) ? A sin(?x ?

?
6

)(? ? 0) 的图像与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为

?
2

的等

差数列,要得到函数 g ( x) ? A cos ?x 的图像,只需将 f ( x) 的图像 A.向左平移 C.向左平移

? 个单位长度 6
2? 个单位长度 3

B.向右平移

? 个单位长度 3
2? 个单位长度 3

D.向右平移

11. 已知 ? , ? ? [? A. ? ? ?

? ?

, ] , ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,则下列不等式一定成立的是 2 2
C. ? ? ? ? 0 D. ? 2 ?

B. ? ? ?

?2

12. 若存在实数 m, n ,使得 A. (

1 a ? ? 0 的解集为 [m, n] ,则 a 的取值范围为 ex x 1 ) e2
C. (0,

1 , e) e2

B. (0,

1 ) 2e

D. (0, )

1 e

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 sin(

?
6

? x) ?

3 ? ,则 cos( x ? ) 的值是________. 5 3
3 , AC ? 1, B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积等于________.

14. 在 ?ABC 中, AB ?

15. 已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC ? 4, AB ? 2 , AO ? BC =________.
2 16.设 0 ? ? ? ? ,不等式 8 x ? (8 sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 ? 的取值范

围________.

三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某同学用五点法画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ? 时,列表并填入了部分数据,如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图像

?x ? ?
x

?
0

2

?

3? 2 5? 6

2?

?
3

2

A sin(?x ? ? )

0

5

5

0

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 的图像向左平移 点最近的对称中心. 18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 各项均为正数, b1 ? 1 ,且

?
6

个单位后对应的函数为 g ( x) ,求 g ( x) 的图像离原

b2 ? S 2 ? 12 , {bn } 的公比 q ?
(1)求 an 与 bn ; (2)求

S2 b2

1 1 1 . ? ??? S1 S 2 Sn

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m ? n 4 4 4

(1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( x ?

? ) 的值; 3
1 c?b, 2

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cos C ? 求函数 f ( B ) 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ? 3ax ? b( x ? R ), 其中 a ? 0, b ? R
3 2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)设 a ? [ , ] ,函数 f ( x) 在区间 [1,2] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,求 M ? m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? f ( x) ? ax ? 3 x ,函数 g ( x) 的图像在点 (1, g (1)) 处的切
2

1 3 2 4

线平行于 x 轴 (1)求 a 的值; (2)求函数 g ( x) 的极值; (3) 设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图像交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), ( x1 ? x 2 ) , 证 明

1 1 ?k? . x2 x1

3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,

ADE , CFD 都是⊙ O 的割线, AC ? AB
(1)证明: AC 2 ? AD ? AE ; (2)证明: FG ∥ AC . 23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位, 以原点为极点, 以 x 轴正半轴为极轴, 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? m ? t cos ? ( t 为参数, ? y ? t sin ?

0 ?? ?? ) , 射线 ? ? ? ,? ? ? ?
(1)求证: OB ? OC ? (2)当 ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于 (不包括极点 O) 三点 A, B, C

2 OA ;

?
12

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 ? 的值.

24. (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 (1)解不等式 f ( x) ? ?2 ; (2)对任意 x ? ?a,?? ? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

4

银川一中 2016 届高三第一次月考数学(文科)试卷答案
一.选择题: 题号 1 答案 A 二.填空题: 13. 2 C 3 D 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D 9 C 10 A 11 D 12 D

3 5

14.

3 3 . or 2 4

15.

6

16.

? 5? [0, ] ? [ , ? ] 6 6

三.解答题 17.解: (1)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? 数据补全如下表:

?
6

?x ? ?

?
0

2

?
7? 12
0

3? 2

2?
13? 12
0

?
x
A sin(?x ? ? )

12
0

? 3
5

5? 6
-5

函数表达式为 f ( x) ? 5 sin( 2 x ? (2)函数 f ( x) 图像向左平移

?
6

)

. . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

?
6

个单位后对应的函数是

g ( x) ? 5 sin( 2 x ?
x?

?
6

) , 其对称中心的横坐标满足 2 x ?

?
6

? k? , k ? Z

k? ? ? . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? ,所以离原点最近的对称中心是 (? ,0) . 2 12 12 18. 解:(1) 等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 各项均为正

数, b1 ? 1 ,且 b2 ? S 2 ? 12 , {bn } 的公比 q ?

S2 b2

S2 ? ?q ? b2 b2 ? b2 q ? 12, b2 ? b1 q ? q, q ? q 2 ? 12, ? ?b ? S ? 12 解得 2 ? 2

{bn } 各项均为正数,∴q=3, bn ? 3 n ?1
(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

由 b2 ? 3, 得 S 2 ? 9, a 2 ? 6, d ? a 2 ? a1 ? 3 ,∴ a n ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n

5

S n ? 3n ?

3n(n ? 1) 3n(n ? 1) ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) S n 3n(n ? 1) 3 n n ? 1) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) S1 S 2 Sn 3 2 2 3 n n ?1

. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

?

2 1 2n (1 ? )? 3 n ? 1 3(n ? 1)

x x x 3 x 1 x 1 ?x ?? 1 sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? , 19.解:(1)? f ? x ? ? m ? n ? 3 sin cos ? cos 2 ? 4 4 4 2 2 2 2 2 ?2 6? 2
而 f ? x ? ? 1,? sin ?

?? ?x ?? 1 ? ?x ?? ?x ?? 1 ? ? ? . ? cos ? x ? ? ? cos 2 ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? . 3? ?2 6? 2 ? ?2 6? ?2 6? 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
2 2 2

(2)? a cos C ?

1 1 a ?b ?c 1 2 2 2 c ? b,? a ? ? c ? b, 即 b ? c ? a ? bc,? cos A ? . 2 2 2ab 2

又? A ? ? 0, ? ? ,? A ?

?
3

又? 0 ? B ?

2? ? B ? ? ? 3? ,? ? ? ? , ? f ? B ? ? ?1, ? . 3 6 2 6 2 ? 2?
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

20. (12 分) (1) f ( x) ? 3 x ? 6ax ? 3 x( x ? 2a )
' 2

令 f ( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2a
'

0),(2a,??) 当 a ? 0 时, f ( x)在( - ?, 单调递增,在 (0,2a ) 上单调递减

2a),(0,??) 当 a ? 0 时, f ( x)在( - ?, 单调递增,在 (2a,0) 上单调递减
. . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)由

1 3 ? a ? 知 f ( x) 在 [1,2a ] 上递减,在 [2a,2] 递增 f (2) ? f (1) ? 7 ? 9a ? 0 2 4 M ? f (2) ? 8 ? 12a ? b, m ? f (2a ) ? 8a 3 ? 12a 3 ? b ? b ? 4a 3

M ? m ? 4a 3 ? 12a ? 8 3 ' 2 设 g (a ) ? 4a ? 12a ? 8, g (a ) ? 12a ? 12 ? 12(a ? 1)(a ? 1) ? 0
所以 g (a )在[ , ] 上单调递减, g (a ) max ? g ( ) ? 所以

1 3 2 4

1 2

5 3 11 , g (a ) min ? g ( ) ? 2 4 16
. . . . . . . . . . .12 分

11 5 ? M ?m? 16 2
2

21.(12 分)解: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? 3 x ,则 g '( x) ?

1 ? 2ax ? 3 x

g '(1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0

,a ?1

. . . . . . . . . . . .2 分

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) (2)由(1)得 g '( x) ? ? x x
∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 或 x ?1 2
6

1 2 g ( x) 的极小值为 g (1) ? ?2

函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增.故函数 . . . . . . . . . . . .6 分

1 2

(3)证法一:依题意得 k ? 要证

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1

1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 令

x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1

x2 1 ,即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ? t ( t ? 1) t x1
1 t

令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )则 k '(t ) ? ? 1 ? 0 ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ∴ k (t ) ? k ?1? ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,? ln t ? t ? 1 --------------①

令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 t

1 1 t ?1 ? 2 ?0 t t2 t

∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------② 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即 【证法二:依题意得 k ?

1 t

1 t

1 1 ?k? . x2 x1

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? k, x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 , k k k 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), k k 1 1 1 . . . . . . . . .12 分 ? x1 ? ? x2 , 即 ?k? k x2 x1
令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ? 22.(10 分) (1)证明:因为 AB 是 ?O 的一条切线, AE 为割线
2 所以 AB ? AD ? AE ,又因为 AB ? AC ,所以 AD ? AE ? AC 2

………5 分

(2)由(1)得

AD AC ? AC AE

? ?EAC ? ?DAC ? ?ADC ∽ ?ACE ? ?ADC ? ?ACE ? ?ADC ? ?EGF

? ?EGF ? ?ACE ? GF ∥ AC

…………10 分

7

.23.解 (1)依题意 OA ? 4 cos ? , OB ? 4 cos? ? ?

? ?

??

?? ? ?, OC ? 4 cos? ? ? ? 则 4? 4? ?
……………2 分 ……………5 分

?? ?? ? ? OB ? OC ? 4 cos? ? ? ? + 4cos ? ? ? ? 4? 4? ? ?
(2) 当 ? ?

= 2 2 ?cos ? ? sin ? ? + 2 2 ?cos ? ? sin ? ? = 4 2 cos ? = 2 OA

?
12

时,B,C 两点的极坐标分别为 ? 2,

化为直角坐标为 B 1, 3 , C 3,? 3

直线,又因为经过点 B,C 的直线方程为 y ? ? 3 ? x ? 2 ? 所以 m ? 2,

?

? ?

?

…………….7 分 C 2 是经过点 ?m,0 ? 且倾斜角为 ? 的 ………….9 分

? ?

???

?? ?, ? 2 3 ,? ? 3? ? 6?

??

2? 3

…………10 分 当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ; y 3 4 x

24.解: (1) f ( x)

? -2

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x ? 6 2 综上,{ x | ? ? x ? 6} ………5 分 3 ? x ? 4, x ? ?2 ? (2) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 函数 f ( x) 的图像如图所示: ? ? x ? 4, x ? 1 ?
当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ? 令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ; ∴当- a

? 2,即 a ? -2 时成立;

…………………8 分

当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? ∴a

a , 2

? 2+ a ,即 a ? 4 时成立,综上 a ? -2 或 a ? 4。
2

…………………10 分

8


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