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高中数学苏教版选修2-1课件:第3章 空间向量与立体几何3.2.2


阶 段 一

阶 段 三

3.2 3.2.2
阶 段 二

空间向量的应用 空间线面关系的判定
学 业 分 层 测 评

1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系,能用向 量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(重 点) 2.向量法证明空间平行与垂直.(重点、难点) 3.向量法证明线面平行.(易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 向量法判定线面关系 阅读教材 P101 例 1 以上的部分,完成下列问题. 设空间两条直线 l1,l2 的方向向量分别为 e1,e2,两个平面 α1,α2 的法向量 分别为 n1,n2,则有下表: 平行 l1 与 l2 l1 与 α1 α1 与 α2 垂直

e1∥e2 _______ e1⊥n1 _______ n1∥n2 _______

e1⊥e2 _______ e1∥n1 _______ n1⊥n2 _______

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若向量 n1,n2 为平面 α 的法向量,则以这两个向量为方向向量的两条不 重合直线一定平行.( 平行.( ) ) ) ) (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面 (3)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向 量的数量积为 0.( (4)两个平面垂直,则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的 直线的方向向量垂直.(

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2.设直线 l1 的方向向量为 a=(3,1,-2),l2 的方向向量为 b=(-1,3,0),则 直线 l1 与 l2 的位置关系是________.
【解析】 ∵a· b=(3,1,-2)· (-1,3,0)=-3+3+0=0,∴a⊥b,∴l1⊥l2. 【答案】 垂直

3.若直线 l 的方向向量为 a=(-1,2,3),平面 α 的法向量为 n=(2,-4,- 6),则直线 l 与平面 α 的位置关系是________.
【解析】 ∵n=-2a,∴n∥a,又 n 是平面 α 的法向量,所以 l⊥α. 【答案】 垂直

4.已知不重合的平面 α,β 的法向量分别为
? 1 1? ?- ,-1, ?,则平面 3? ? 6

?1 ? n1 = ?2,3,-1? , n2 = ? ?

α 与 β 的位置关系是________. 【导学号:09390083】

【解析】 ∵n1=-3n2,∴n1∥n2,故 α∥β. 【答案】 平行

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
向量法证明平行问题

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中(如图 327), 设 O, O1 分别为 AC, A1C1 的中点,求证:

图 327

(1)BO1∥OD1; (2)BO1∥平面 ACD1; (3)平面 A1BC1∥平面 ACD1.

【精彩点拨】

画图 → 建系 → 求相关点坐标 → 求相关向量坐标

→ 判断向量关系 → 确定线面关系

【自主解答】

建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为 2,则有:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2), O1(1,1,2),O(1,1,0). → → (1)由上可知BO1=(-1,-1,2),OD1=(-1,-1,2), → → → → ∴BO1=OD1,∴BO1∥OD1, 又直线 BO1 与 OD1 无公共点,∴BO1∥OD1.

→ → (2)法一:由上可知,AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,2), 1→ → → ∴BO1=-2AC+AD1, → → → ∴BO1,AC,AD1共面, → ∴BO1∥平面 ACD1,又 BO1?平面 ACD1, ∴BO1∥平面 ACD1.

? → ?n· AC=0, 法二: 设平面 ACD1 的一个法向量为 n = (x , y,1) ,由 ? → ? AD1=0, ?n·
? ?-2x+2y=0, ? ? ?-2x+2=0, ? ?x=1, ∴? ? ?y=1,



∴n=(1,1,1). → ∴BO1· n=(-1,-1,2)· (1,1,1)=0, → ∴BO1⊥n.又∵BO1?平面 ACD1, ∴BO1∥平面 ACD1.

→ → (3)法一:∵BC1=(-2,0,2),AD1=(-2,0,2), → → ∴BC1∥AD1,又 BC1 与 AD1 不重合, ∴BC1∥AD1,又 BC1?平面 ACD1, ∴BC1∥平面 ACD1. 又由(1)知,BO1∥平面 ACD1. ∵BC1,BO1?平面 A1BC1,且 BC1∩BO1=B, ∴平面 A1BC1∥平面 ACD1.

→ ? ?n′· A1B=0, 法二:设平面 A1BC1 的一个法向量为 n′=(x,y,1),由? → ? BC1=0, ?n′· 求得 n′=(1,1,1),∴n′=n, ∴平面 ACD1∥平面 A1BC1.



1.证明线面平行常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面. (2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行. (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 2.证明面面平行常用的方法 (1) 利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另 一个平面. (2)证明两个平面的法向量平行. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.

[ 再练一题] 1.如图 328 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M, N 分别是 C1C,B1C1 的中点,求证:MN∥平面 A1BD.
【证明】 法一:如图所示,以 D 为坐标原点,DA,
图 328

DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角 坐标系,设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), 1? → ? → → ?1 ? ∴MN=?2,0,2?,DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0).
? ? ? ?1 ? 1? ? ? ? M?0,1, ?,N? ,1,1? ?, 2 2 ? ? ? ?

设平面 A1BD 的一个法向量为 n=(x,y,z), ? → ?n· DA1=0, 则? → ? DB=0, ?n·
? ?x+z=0, 从而可得? ? ?x+y=0,

令 x=1,得 y=-1,z=-1, ∴平面 A1BD 的一个法向量为 n=(1,-1,-1), → → ∴MN· n=0,∴MN⊥n. ∵MN?平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.

1→ → → → 1 → 1→ 1 → → → 法二:∵MN=C1N-C1M=2C1B1-2C1C=2(D1A1-D1D)=2DA1,∴MN∥ → DA1.∵MN?平面 A1BD,A1D?平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD. 1 → 1 → → 1 → 1 → → → 1 → → 法三:∵MN=C1N-C1M=2D1A1-2D1D=2(DB+BA)-2(D1A1+A1D)=2 1 → 1→ 1 → 1 → → 1→ 1 → 1→ 1 → → 1→ 1 → DB+2BA-2D1A1-2A1D=2DB+2DA1+2(BA-DA)=2DB+2DA1+2BD=2DA1 → → → → → → → +0· DB,∴MN可用DA1与DB线性表示,故MN与DA1和DB是共面向量, ∵MN?平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.

向量法证明垂直问题

如图 329 所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底 面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

图 329

【精彩点拨】

求相关点 求相关向 判断向量 确定线线、 建系 → → → → 的坐标 量的坐标 的关系 线面关系

【自主解答】

AB,AD,AP 两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系,设 PA=AB=BC=1, 则 P(0,0,1). (1)∵∠ABC=60° ,∴△ABC 为正三角形,
?1 ∴C? ?2, ? ?1 E? ?4, ? ? 3 ? , 0 ?, 2 ?

3 1? ? . , 4 2? ?

→ → 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得AC· CD=0,
? ? 2 3 2 3 ? ? 即 y= 3 ,则 D?0, , , 0 ? 3 ? ?

? → ? 3 ? 1 ∴CD=?- , ,0? ?. 2 6 ? ?

1 1 3 3 → ? → → 3 1? ?1 ? 又AE=? , , ?,∴AE· CD=-2×4+ 6 × 4 =0, 4 4 2 ? ? → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.
? → ? 2 3 ? ? (2)法一:∵P(0,0,1),∴PD=?0, ,- 1 ?. 3 ? ?

3 2 3 1 → → 又AE· PD= 4 × 3 +2×(-1)=0, → → ∴PD⊥AE,即 PD⊥AE.

→ → → ∵AB=(1,0,0),∴PD· AB=0. ∴PD⊥AB,又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE. → → ? 3 1? ?1 法二:AB=(1,0,0),AE=? , , ? ?,设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x, 4 4 2 ? ? ?x=0, ? y,z),则?1 令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3). 3 1 x+ 4 y+2z=0, ? ?4
? 3 → ? → 2 3 ? ? ∵PD=?0, ,-1?,显然PD= 3 n. 3 ? ?

→ → ∴PD∥n,∴PD⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE.

1.证明线线垂直常用的方法 证明这两条直线的方向向量互相垂直. 2.证明线面垂直常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量; (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直. 3.证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理; (2)证明两个平面的法向量互相垂直.

[ 再练一题] 2.在例 2 中,平面 ABE 与平面 PDC 是否垂直,若垂直,请证明;若不垂 直,请说明理由.
? → ? ? → ? 3 2 3 ? 1 ? ? ? 【解】 由例 2, 可知CD=?- , ,0?, PD=?0, 设平面 PDC ,- 1 ?, 6 3 ? 2 ? ? ?

1 3 ? → CD=-2x+ 6 y=0, ?m · 的法向量为 m=(x,y,z),则? → 2 3 ?m · PD= 3 y-z=0, ? =2,即 m=(1, 3,2), 由例 2 知,平面 ABE 的法向量为 n=(0,2,- 3), ∴m· n=0+2 3-2 3=0,∴m⊥n. 所以平面 ABE⊥平面 PDC.

令 y= 3,则 x=1,z

[ 探究共研型]
利用向量法证明平行、垂直关系

探究 1 向量法判定线面关系与传统法比较,向量法有何优点?

【提示】 向量法判定线面关系与传统法比较起来,优点在于:以算代证, 用定量计算代替了定性分析,避免了繁琐的逻辑论证过程,对视图能力、空间 想象能力要求稍低,降低了解决问题的难度. 探究 2 用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么? 【提示】 (1)建立空间图形与空间向量的联系; (2)通过向量运算研究平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.

探究 3 向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题? 【提示】 在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成
立,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元 素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些 问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把 点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可 以把许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路 可寻.

如图 3210 所示,四棱锥 SABCD 的底面是正 方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上 的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在, 试说明理由.
图 3210

【精彩点拨】

根据条件建立空间直角坐标系,把空间线面的位置关系问

题转化为向量间的关系问题,通过向量的计算得出结论.

【自主解答】 O,则 AC⊥BD.

(1)证明:连结 BD,设 AC 交 BD 于

→ 由题意知 SO⊥平面 ABCD.以 O 为坐标原点,OB, → → OC,OS分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角 6 坐标系,如图,设底面边长为 a,则高 SO= 2 a, 于是
? ? ?0, ? ? S? ?0,0, ? ? ? ? 2 ? ? ? → 6 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? , D , B , C ,OC= a - a , 0 , 0 a , 0 , 0 0 , a , 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? ?

? → ? → → 2 2 6 ? ? ? ? ,SD=?- a,0,- a?,则OC· SD=0,故 OC⊥SD,从而 AC⊥ 2 a,0? 2 2 ? ? ?

SD.

(2)棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC.理由如下: → → ? 6 ? ? 2 ? → 由已知条件知DS是平面 PAC 的一个法向量,且DS=? a,0, a?,CS= 2 ? ? 2
? ? ?0,- ? ? ? → → → → → → 2 6 ? 2 2 ? → ? ? , BC = ,设 CE = tCS ,则 BE =BC+CE=BC+ a , a - a , a , 0 ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? ?

→ ? 2 2 6 ? ? tCS=?- a, a?1-t?, at? , ? 2 2 2 ? ? → → 而BE· DS=0, 1 2 3 2 1 → → ∴-2a +2a t=0,∴t=3.即当 SE∶EC=2∶1 时,BE⊥DS. 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE∥平面 PAC.

[ 再练一题] 3.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC⊥BC,D,E 分别 是线段 BC,CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M, 使直线 DE∥平面 A1MC?请证明你的结论.
【解】 假设在线段 AB 上存在一点 M,使直线

DE∥平面 A1MC,建立如图所示的空间直角坐标系.设 AC=a,BC=b,AA1=c,则 b,0).

图 3211

? ? ? b c? D?0,2,0?,E?0,0,2?,A(a,0,0),A1(a,0,c),B(0, ? ? ? ?

设 M(x0,y0,0),且 0≤x0≤a,0≤y0≤b, b c? → ? → → ? ? 则DE=?0,- , ?,CA1=(a,0,c),CM=(x0,y0,0), 2 2? ? 设平面 A1MC 的法向量为 n=(x,y,z), ? → ?n· CA1=ax+cz=0, 则? → ? CM=x0x+y0y=0, ?n· x0 y=- , y0
? x0 a? ? ∴n=?1,- ,- ? ?. y c ? 0 ?

a 令 x=1,则 z=- , c

→ bx0 a 若 DE∥平面 A1MC,则 n· DE=2y -2=0,即 bx0-ay0=0.①
0

→ → 又AM=λMB,即(x0-a,y0,0)=λ(-x0,b-y0,0),
? ?x0-a=λ?-x0?, ∴? ? ?y0=λ?b-y0?,

解得 bx0+ay0-ab=0.②

?a b ? a b 由①②解得 x0=2,y0=2,即 M?2,2,0?, ? ?

所以存在点 M 为线段 AB 的中点时,使 DE∥平面 A1MC.

[ 构建· 体系]

1. 若平面 α, β 垂直, 则下面可以作为这两个平面的法向量的是________(填 序号). ①n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1);②n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1);③n1=(1,1,1), n2=(-1,2,1);④n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2).
【解析】 两个平面垂直时,其法向量也垂直,只有①中的两个向量垂直. 【答案】 ①

2.已知 a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且 a,b,c 两两垂 直,则(x,y,z)=________.
?-x+2y-12=0, ? 【解析】 由题意,知?x-4-4z=0, ?-1-2y+3z=0, ? 解得 x=-64,y=-26,z=-17.
【答案】 (-64,-26,-17)

3.两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2), 则 l1 与 l2 的位置关系是________. 【解析】 ∵v2=-2v1,∴v1∥v2,又 l1 与 l2 不重合,∴l1∥l2. 【答案】 平行

4.下列命题中,正确的是________(填序号). ①若 n1,n2 分别是平面 α,β 的一个法向量,则 n1∥n2?α∥β; ②若 n1,n2 分别是平面 α,β 的一个法向量,则 α⊥β ?n1· n2=0; ③若 n 是平面 α 的一个法向量,a 与平面 α 共面,则 n· a=0; ④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
【解析】 ②③④一定正确,①中两平面有可能重合. 【答案】 ②③④

5.如图 3212, 在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方 形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 为 PC 的中点,EF⊥ BP 于点 F.求证: (1)PA∥平面 EDB; (2)PB⊥平面 EFD.
【证明】 以 D 为坐标原点,DA,DC,DP 所在直 线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 Dxyz, 如图,设 DC=PD=1,则 P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),
? 1 1? B(1,1,0),E?0,2,2?. ? ?

图 3212

1? → → ? 1 1? → ? 1 → ? ? ? ? ∴PB=(1,1,-1),DE= 0,2,2 ,EB= 1,2,-2 ,设 F(x,y,z),则PF
? ? ? ?

=(x,y,z-1), 1 1? → ? EF=?x,y-2,z-2?.
? ?

→ → ∵EF⊥PB, ? 1? ? 1? ∴x+?y-2?-?z-2?=0,即 x+y-z=0.① ? ? ? ? → → → → 又∵PF∥PB,可设PF=λPB, ∴x=λ,y=λ,z-1=-λ.② 1 1 2 由①②可知,x=3,y=3,z=3,

1 1? → ?1 ∴EF=?3,-6,6?.
? ?

(1) 设 n1 = (x1 , y1 , z1) 为 平 面 EDB 的 一 个 法 向 量 , 则 有 1 1 ? → DE=0?2y1+2z1=0, ?n1· ? 1 1 → ?n1· EB=0?x1+2y1-2z1=0, ?
? ?x1=z1, ∴? ? ?y1=-z1.

取 z1=-1,则 n1=(-1,1,-1). → → ∵PA=(1,0,-1),∴PA· n1=0. 又∵PA?平面 EDB,∴PA∥平面 EDB.

(2)设 n2=(x2,y2,z2)为平面 EFD 的一个法向量,则有 1 1 1 ? → EF=0?3x2-6y2+6z2=0, ?n2· ? 1 1 → ?n2· DE=0?2y2+2z2=0, ?
? ?x2=-z2, ∴? ? ?y2=-z2.

→ 取 z2=1,则 n2=(-1,-1,1),∴PB=-n2. → ∴PB∥n2,∴PB⊥平面 EFD.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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