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1.3《函数的基本性质奇偶性》公开课


复习回顾
在初中学习的轴对称图形和中心对称
图形的定义是什么?
轴对称图形:如果一个图形上的任意一点关于某一
条直线的对称点仍是这个图象上的点,就称图形关于该 直线成轴对称图形,这条直线称作对称图形的对称轴。

中心对称图形:如果一个图形上的任意一点关于
某 一点的对称点仍是这个图象上的点,就称图形关 于该点成中心对称图形,这个点称作中心对称图形的 对称中心。

1.3 函数的基本性质 ——奇偶性

观察下图,思考并讨论以下问题:
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗?

f(x)=x2

f(x)=|x|

(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

x
f ( x) ? x 2

-3 9
3

-2 4
2

-1 1
1

0 0
0

1 1
1

2 4
2

3 9
3

f ( x) ? x 2 f ( x) ? x
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)

f ( x) ? x
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)

观察下图,思考并讨论以下问题:
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)

f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)

实际上,对于定义域R内任意的一个x,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.

1.偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. y
(-x,f(-x)) 偶函数的图象关于y轴对称
-x

(x,f(x))

0

x

x

f ( x) ? x , x ? ??1,3?是偶函数吗?
2

y

-1 o

3 x

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发

现两个函数图象有什么共同特征吗?

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗?

x
f ( x) ? x

-3 -3
1 ? 3

-2 -2
1 ? 2

-1 -1

0 0
/

1 1

2 2
1 2

3 3
1 3

1 f ( x) ? x

?1

1

f ( x) ? x
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

1 f ( x) ? x
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于定义域R内任意的一个x,都有 f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.

2.奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
y

奇函数的图象关于原点对称
P(x ,f(x))

-x P/(-x ,f(-x))

o x

x

f ( x) ? x, x ? ?? 2,3?是奇函数吗?
y

-2

o

3

x

☆对奇函数、偶函数定义的说明: (1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 前提条件 o
[-b,-a] [a ,b] x

(2) 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。

若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
(3) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数, 那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。

例5 判断下列函数的奇偶性:

(1)

f ( x) ? x

4

( 2) f ( x ) ? x

5

1 (3) f ( x ) ? x ? x 1 ( 4) f ( x ) ? 2 x 2 (5) f ( x ) ? x , x ? ( ?1,1]

用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1) 先求定义域,看是否关于原点对称; (2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒 成立.

奇函数与偶函数图象的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称.

反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么就称这个函数为奇函数.
(2)偶函数的图象关于y轴对称.

反过来,如果一个函数的图象关于y轴 对称,那么就称这个函数为偶函数.
说明:奇偶函数图象的性质可用于:

a、简化函数图象的画法. b、判断函数的奇偶性

y 3

y

这些图 像表示 奇函数 图像的 是:

1 -3 -1

0 1 3 x
-1 -3 A √

-1

0
B y 1

1 x

y

0 C

x

0

-1
D

x

动动手:已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右
边的图象如下图,画出在y轴左边的图象. 解:画法略

y

相等

0

x

若函数y=f(x)是奇函数

y
相等

0

x

课堂练习

P36

(1)判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? 2 x ? 3 x
4

2

( 2) f ( x ) ? x ? 2 x
3

x ?1 (3) f ( x) ? x 2 ( 4) f ( x ) ? x ? 1
2

课堂练习

P36

(2)将函数图象补充完整

本课小结
1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,

f(x)为奇函数 ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数 如果都有f(-x)=-f(x)
2、两个性质:

它的图象关于原点对称 ? 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数

作业: 1.习题1· 3 A组 第 6题

2.课后思考:
(一). 有既是奇函数,又是偶函数的函数吗?若有,有多少个? (二). 设f(x),g(x)分别是R上的奇函数,偶函数,试研究 (1)F(x)=f(x)· g(x)的奇偶性. (2)G(x)=|f(x)|+g(x)的奇偶性.


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