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椭圆的几何性质(教案)


《椭圆的简单几何性质》(第一课时)
华中师范大学海南附属中学:武腾



节 教 材 地 位 与





理论依据或意图

“椭圆的简单几何性质”是人教 A 版高中实验教材选修 2-1 第二章第二节的内容。 本节课是在学习了椭圆的定义及其 标准方程的基础上,第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆 的简单几何性质,为后面研究双曲线、抛物线的几何性质奠 定了基础,是高中数学的重要内容,也是高考的重点与热点 内容。该内容分两个课时教学,本节课是第一课时,主要内 容是:探究椭圆的简单几何性质及应用。 1、知识与技能 ■ 探究椭圆的简单几何性质, 初步学习利用方程研究曲线性 质的方法。 ■ 掌握椭圆的简单几何性质, 理解椭圆方程与椭圆曲线间互 根据《高中数学课程 标准》的要求,强调积极 主动,乐于探究,培养分 析和解决问题的能力,逻 辑推理及理性思维的能 《高中数学课程标准》



作 用 教





逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。 2、过程与方法 ■ 通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质, 使学生经历知 识产生与形成的过程,培养学生观察、分析、逻辑推理,理 性思维的能力。 究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。

目 分 标

■ 通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程, 培养学生对研 力,结合学生的实际情况 确定的。 3、情感、态度与价值观 通过数与形的辩证统一,对学生进行辩证唯物主义教育, 通过对椭圆对称美的感受,激发学生对美好事物的追求。 本节课是围绕着探究 椭圆的简单几何性质进行 的。因此,依教材的地位 教学重点:椭圆的简单几何性质的探究过程及其简单的应用。 与作用及教学目标,将之 确定为本节课的重点;又 因为学生第一次系统地按 教学难点:椭圆的简单几何性质的探究过程和离心率定义的 照椭圆方程来研究椭圆的 简单几何性质,学生感到 给出过程。 困难, 且如何定义离心率, 学生感到棘手,所以我将 之确定为本节课的难点。
1



教 学 重 难 点









理论依据与意图

学 情 分 析

学情是教学的基础与 体验发现和探究的兴趣,有动手操作,归纳猜想,逻辑推理 依据,只有依学生实际确 的能力,有分组讨论、合作交流的良好习惯,从而愿意在教 定的教学手段与学习方法 才是有效的,学情确定准 师的指导下主动与同学探究、发现、归纳数学知识。 确, 能使教与学有机结合, 从而实现教学目标,体现 课改理念, 否则适得其反。 本班学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程,有亲历

环节 教

学 以 境 激 过 情

程 研

教 学 内 容 创设情景,揭示课题 图片展示:神五升空,进入轨道运行的动画。 解说: 2003 年 10 月 15 日,神舟五号载人飞船发射 成功,中国人几千年的飞天梦想终成现实。中国成为 世界上继俄罗斯和美国之后第三个将人类送入太空的 国家。2013 年 6 月 11 日,中国的航天史又被翻开了 新的一页,我国自主研制的神舟十号载人飞船升上太 空,它在太空中飞行 15 天,并首次开展中国航天员太 空授课活动。这一事件,再一次向世界表明,我们中 国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。 飞船在太空中的轨道是以地球的中心为一个焦点 的椭圆,近地点距地面 200km,远地点距地面 350km, 而我们地球的半径 R=6371km。根据这些条件,我们 能否求出其轨迹方程呢? 要想解决这个问题,我们就一起来学习“椭圆的 简单几何性质”。 复习: 我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程,请 同学们回忆椭圆的标准方程是怎样的?它们有几种形 式?
x2 y 2 (1)焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b 2 y x2 (2)焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b

师生互动

设计意图

教师结合 多媒体动画展 示,生动解说, 提出问题。 学生 积极思考, 教师 适时引出课题。

以社会热点 问题、国家大事 为背景,自然地 创设生活情景, 激发学生求知 欲,揭示课题, 同时渗透爱国情 感教育。

教师提出 复习旧知, 问 题 , 学 生 思 为新课打下基 考,回答。 础。



论 学法指导,探索新知 1、范围的探究



教师提问, 学生思考, 然后 x2 y2 问 1: 根据 a 2 ? b 2 ? 1 (a>b>0)的图象, 你能说出 x、 通 过 观 看 图 象 得出结论。
2

环节

教 y 的范围吗?







师生互动

设计意图

教师提出 教师的适时 x2 y2 问题,学生思 引导,培养了学 问 2:如何根据方程 2 ? 2 ? 1 ( a >b>0)来验证 a b 考、交流讨论。 生的问题意识, x、y 的取值范围? 调动学生参与问 研 题讨论的积极 x2 y2 性,培养逻辑推 引导:椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1 ( a >b>0)有什么特 a b 理、理性思维的 点? 能力。 突出重点, 教 (1)方程的左边是平方和的形式,右边是常数 1。 化解难点。 2 2 (2)方程中 x 和 y 的系数不相等。 (展示过程) 归纳结论:①椭圆方程中 x、y 的范围为: 讨 ? a ? x ? a 且 ? b ? y ? b ;②椭圆位于直线 x= ? a 和 学 y= ? b 所围成的矩形内。

过 论 2、对称性的探究 (1) 椭圆 程
x2 y2 ? ? 1 a >b>0) ( 具有怎样的对称性呢? a2 b2

你能根据图象加以说明吗?(展示动画,归纳总结) (2) 你能根据椭圆的标准方程来验证它的对称性吗? 如何验证? 证 ?把 x 换成-x,方程变吗?说明图象关于什么对称? ?把 y 换成-y,方程变吗?说明图象关于什么对称? ?把 x 换成-x, 换成-y, y 方程变吗?说明图象关于什 么对称?
x2 y2 归纳总结:椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 (a>b>0)的图象关于 x

动画展示椭 圆的对称性, 归 纳结论。

使学生从对 称性的本质上得 到研究对称性的 方法。动画展示 椭圆的对称性, 使学生体会椭圆 的对称美。

轴,y 轴和原点对称,坐标轴是其对称轴,坐标原点是 其对称中心,对称中心也叫椭圆的中心。
3

环节

教 3、顶点的探究







师生互动

设计意图

x2 y2 椭圆 a 2 ? b 2 ? 1 ( a >b>0)与对称轴有几个交点

呢?你能根据方程求出这些交点坐标吗?

适时引导, 化解难点。 学生 观察、思考、回 答。



顶点定义:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。 教 顶点坐标:A1(- a ,0),A2( a ,0),B1(0,-b),B2(0, b) 结合图形指出:线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴 和短轴,它们的长分别等于 2 a 和 2b, a 和 b 分别叫做 讨 椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率的探究 学 我们知道圆的形状是相同的, 从下图中可以发现两 个椭圆的扁平程度不一,那么椭圆的扁平程度如何刻 教师提问, Flash 的合 学生观察、思 理使用,把问题 过 考、回答。 直观化,结合逐 论 层深入分析,从 而把难度转弱, 逐步化解难点, 突出重点。培养 引出离心率及其定义: c 学生的自主探索 椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率,用 e 表 a 意识,合作交流 c 程 的精神。 示,即 e= 。 a 证 (1)离心率的取值范围:0<e<1
(2)离心率对椭圆形状的影响: e 越接近 1,椭圆越扁平;e 越接近 0,椭圆越圆。 (Flash 展示离心率对椭圆形状的影响,学生总结后,教师简 单解说)

画?

5、归纳、类推 y 2 x2 归纳椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a >b>0)的简单几何性质,运 a b
用同样的方法,探索焦点在 y 轴上的椭圆,说说它又会有怎 样的几何性质?

教师展示 几何性质。 学生 思考, 类比猜想

4

环节 应用举例




2 2





师生互动

设计意图

例 1、已知椭圆方程为 x ? y ? 1 ,求它的长轴长、短轴长、
25 9

深 焦距、交点坐标、顶点坐标。 教师巡视, 2 2 例 2、若椭圆方程为 16x +25y =400,求椭圆的长轴和短轴的 教师展示学生 不同解答过程, 长、离心率、焦点坐标、顶点坐标和外接矩形面积。 巩固练习 师生评价, 共同 归纳结论。 1、已知椭圆方程为 6x2+y2=6,求椭圆的长轴长、短轴的、焦 化 距、离心率、焦点坐标、顶点坐标和外接矩形面积。
2 2 2、 若点 P ? x, y ? 在椭圆 x ? y ? 1 上, 则点 P ? x, y ? 的横坐标

25

9

x 的取值范围是



提 3、若点 P ? 2, 4 ? 在椭圆
不是该椭圆上的点是(

x2 y2 ? ? 1( a >b>0)上,则下列 a2 b2


A. ? ?2, 4 ?

B. ? ?4, 2 ?

C. ? ?2, ?4 ?

D. ? 2, ?4 ?

高 4、中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴和短轴的长分别是 8 和
6 的椭圆的方程是 。 5、若椭圆的两个焦点把长轴分为三等分,则该椭圆的离心率 为 。

使学生形成 完整的知识结 构,培养学生运 用类比化归的思 想解决实际问题 的能力,体会椭 圆的几何性质是 椭圆自身固有 的,与坐标系的 选取无关。

课堂小结: 总 1、知识小结: 结 评 价
?学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其 几何意义; ?研究了椭圆的几个基本量 a,b,c,e 及其相互之间的关系。 2、数学思想方法: ?数与形的结合,用代数的方法解决几何问题; ?分类讨论的数学思想。

课后作业:
课本练习第 2,3,4 题。 附板书设计: 椭圆的简单几何性质 1、范围 2、对称性 3、顶点 4、离心率 例题、练习的分析过程

5


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