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第二讲-常规立体几何题


高中数学-立体几何 第二讲:常规立体几何题 一、考查形式 高考分值:一般在 17---22 分之间,题型一般为 1 个选择题,1 个填空题,1 个解答题. 二、命题特点 立体几何在每一年高考中都有一个解答题,主要考查空间位置关系(线线、线面及面面 的平行与垂直)及空间数量关系(线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距 离、线面距离、面面距离),一般以三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥作为考查的载体,当 然, 也有不规则几何体。 近年来也推出了一些新题型, 就是开放性试题, 也是探索性的问题, 主要有动点和动直线问题。 三、解题方法(几何方法和向量方法) 1.位置关系: (1)两条异面直线相互垂直 证明方法:①证明两条异面直线所成角为 90? ;②证明线 面垂直,得到线线垂直;③证明两条异面直线的方向量相互垂直。 (2)直线和平面相互平行证明方法:①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行; ②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行; ③证明这条直线的方向量和这 个平面的法向量相互垂直。 (3)直线和平面垂直证明方法:①证明直线和平面内两条相交直线都垂直,②证明直 线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直; ③证明直线的方向量与这个平面的法向 量相互平行。 (4)平面和平面相互垂直证明方法:①证明这两个平面所成二面角的平面角为 90? ;② 证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面;③证明两个平面的法向量相互垂直。 2.求距离: 求距离的重点在点到平面的距离, 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 (1)两条异面直线的距离求法:利用公式法。 (2)点到平面的距离求法:①“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。②等 体积法。③向量法。 3.求角 (1)两条异面直线所成的角求法:①先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出 这两条异面直线所成的角, 然后通过解三角形去求得; ②通过两条异面直线的方向量所成的 角来求得,但是注意到异面直线所成角得范围是 (0, 求出的是钝角,要注意转化成相应的锐角。 1 ? 2 ] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果 高中数学-立体几何 (2)直线和平面所成的角求法:①“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。 ②向量法,先求直线的方向量于平面的法向量所成的角 α ,那么所要求的角为 ? 2 ?? 或 ?? ? 2 。 (3)平面与平面所成的角求法:①“一找二证三求”,找出这个二面角的平面角,然 后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。 ②向量法, 先求两个平面的法向量所成的角为α , 那么这两个平面所成的二面角的平面角为 α 或π -α 。 四、典型例题 例一、【2012 高考真题新课标理 19】(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= (1)证明:DC1⊥BC; (2)(2)求二面角 A1-BD-C1 的大小。 1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD。 2 练习一、【2012 高考真题广东理 18】(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值。 2 高中数学-立体

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