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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学选修2-1【精品课件】1-3 简单的逻辑联结词


1.3 简单的逻辑联结词

1.3
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简单的逻辑联结词
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课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE

课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU

1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义. 2.能够判断命题“p 且 q”“p 或 q”“非 p”的真假. 3.能用常用逻辑联结词进行文字语言与符号语言的相互转化. 重点:“且”“或”“非”的含义,利用这些逻辑联结词组成新命题. 难点:由“且”“或”“非”组成的新命题的真假性的判断.

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1.且 一般地,用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命 题,记作 p∧q,读作“p 且 q”. 一般地,我们规定: 当 p,q 都是真命题时,p∧q 是真命题;当 p,q 两个命题中有一个命题 是假命题时,p∧q 是假命题.

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预习交流 1
1.已知命题 p∧q 的真假,你能判断 p,q 的真假吗? 提示:若 p∧q 为真命题,则 p,q 同真;若 p∧q 为假命题,则可能有 p 真 q 假,p 假 q 真,p 假 q 假三种情况. 2.将下列命题分别用“且”联结成新命题,并判断它们的真假. (1)p:2 是自然数,q:2 是偶数;(2)p:? ? {0},q:? ={0}. 解:(1)p∧q:2 是自然数且是偶数,是真命题. (2)p∧q:? ? {0}且? ={0},是假命题.

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2.或 一般地,用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命 题,记作 p∨q,读作“p 或 q”. 当 p,q 两个命题有一个命题是真命题时,p∨q 是真命题;当 p,q 两个 命题都是假命题时,p∨q 是假命题.

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预习交流 2
1.如果 p∧q 为真命题,那么 p∨q 一定是真命题吗?反之,如果 p∨q 为真命题,那么 p∧q 一定是真命题吗? 提示:如果 p∧q 为真命题,则 p∨q 为真命题;如果 p∨q 为真命题, 则 p,q 中可能有假命题,所以 p∧q 不一定为真命题. 2.将下列命题分别用“或”联结成新命题,并判断它们的真假. (1)p: 2是无理数,q: 2大于 1;(2)p:N? Z,q:0∈N. 解:(1)p∨q: 2是无理数或大于 1,真命题. (2)p∨q:N? Z 或 0∈N,真命题.

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3 .非 一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作 p,读作 “非 p”或“p 的否定”. 若 p 是真命题,则 p 必是假命题;若 p 是假命题,则 p 必是真命题.

预习交流 3
命题的否定与否命题有什么区别? 提示:对命题的否定只是否定命题的结论.而否命题,既否定命题的 条件,又否定命题的结论.两者是不同的概念,应用时要注意区别.

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问题导学

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一、命题的构成 活动与探究
问题:如何理解逻辑中的“且”“或”“非”? 提示:对“且”的理解,可联想集合中“交集”的概念,A∩B={x|x∈A 且 x∈B}中的“且”,它是指“x∈A”“x∈B”都要满足的意思,即 x 既属于 集合 A,同时又属于集合 B. 对“或”的理解,可考虑并集的概念,“x∈A∪B”是指“x∈A”“x∈B” 其中至少一个是成立的,即“x∈A 或 x∈B”,逻辑联结词中的“或”的含义 与“并集”中的“或”的含义是一致的.逻辑中的“或”与日常生活中的“或” 是有区别的.日常生活中的“或”一般有两种解释:一种是“不可兼有”,另 一种是“可兼有”.数学中采用后一种解释,即“或此或彼或兼”三种情形, 例如,“苹果长在树上或长在地里”这句话在生活中是不妥的,但在逻辑 中却是真命题;同理“5≥3”在逻辑中也是真命题,应当指出“5≥3”是指 “5>3 或 5=3”,读作“5 大于或等于 3”.

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问题导学

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对“非”的理解,可回想集合中“补集”的概念,“非”有否定的意思,一 个命题 p 经过联结词“非”而构成一个新命题“非 p”,若将命题 p 对应集 合 P,则命题“非 p”就对应集合 P 在全集 U 中的补集? UP.

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例 1 指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)方程 x2-3=0 没有有理根; (2)有两个内角是 45° 的三角形是等腰直角三角形; (3)± 1 是方程 x3+x2-x-1=0 的根. 思路分析:要根据语句所表达的含义及逻辑联结词的意义来进行 分析和判断. 解:(1)这个命题是“非 p”形式的命题,其中 p:方程 x2-3=0 有有理根. (2)这个命题是“p 且 q”形式的命题,其中 p:有两个内角是 45° 的三 角形是等腰三角形,q:有两个内角是 45° 的三角形是直角三角形. (3)这个命题是“p 或 q”形式的命题,其中 p:1 是方程 x3+x2-x-1=0 的 根,q:-1 是方程 x3+x2-x-1=0 的根.

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迁移与应用 1.分别写出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“ p”形式的命题: (1)p:3 是 9 的约数,q:3 是 18 的约数; (2)p:菱形的对角线一定相等,q:菱形的对角线互相垂直. 解:(1)p∨q:3 是 9 或 18 的约数. p∧q:3 是 9 的约数且是 18 的约数. p:3 不是 9 的约数. (2)p∨q:菱形的对角线相等或互相垂直. p∧q:菱形的对角线相等且互相垂直. p:菱形的对角线一定不相等.

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2.指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)96 是 48 与 16 的倍数; (2)方程 x2-a=0 没有实根; (3)12 可以被 3 或 4 整除; (4)3 是 12 和 15 的公约数. 解:(1)这个命题是“p 且 q”的形式,其中 p:96 是 48 的倍数,q:96 是 16 的倍数. (2)这个命题是“非 p”的形式,其中 p:方程 x2-a=0 有实根. (3)这个命题是“p 或 q”的形式,其中 p:12 可以被 3 整除;q:12 可以被 4 整除. (4)这个命题是“p 且 q”的形式,其中 p:3 是 12 的约数;q:3 是 15 的约 数.

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1.判断一个命题的结构,不能仅从字面上看它是否含有 “或”“且”“非”等逻辑联结词,而应从命题的结构上看是否用逻辑联结 词联结两个命题. 2.用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时,关键是正确理解这些 词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语 法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.

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二、含有逻辑联结词的命题的真假判断
活动与探究 问题:如何判断含有逻辑联结词的命题的真假? 提示:命题 p∧q 与 p∨q 真假的判定:只有当命题 p,q 都为真 时,p∧q 才为真,其他三种情况 p∧q 都为假;只有当命题 p,q 都为假 时,p∨q 才为假,其他三种情况 p∨q 都为真;若命题 p 为真,则 p 为假;若 命题 p 为假,则 p 为真.

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例 2 写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“ p”形式的命 题,并判断其真假. p:x2+1>x-4,q:x2+1<x-4. 思路分析:判断含有逻辑联结词的命题的真假可依据:p∧q 有假则 假;p∨q 有真则真; p 与 p 真假相反. 解:p∨q:x2+1≠x-4.真命题. p∧q:x2+1>x-4,且 x2+1<x-4.假命题. p:x2+1≤x-4.假命题.

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迁移与应用 1.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数, 则下列命题中为真命题的是(
A. ( p) ∨q

). B. p∧q D. ( p) ∨( q)

C. ( p) ∧( q) 答案:D

解析:命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,故( p)∨( q)为真命题.

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2.指出下列命题的真假: (1)命题:“不等式|x2+2|≤0 没有实数解”; (2)命题:“-1 是偶数或奇数”; (3)命题:“ 7属于集合 Q,也属于集合 R”; (4)命题:“A? (A∩B)”.

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解: ( 1) 此命题是“ p” 的形式, 其中 p: 不等式| x + 2| ≤0 有实数解. 所以命题 p 为假命题, 即 p 为真命题. 所以原命题为真命题. ( 2) 此命题是“ p 或 q” 的形式, 其中 p: - 1 是偶数; q: - 1 是奇数. 因为命题 p 为假命题, 命题 q 为真命题, 所以“ p∨q” 为真命题, 故原命题为真命题. ( 3) 此命题为“ p∧q” 的形式, 其中 p: 7∈Q ; q: 7∈R . 因为命题 p 为假命题, 命题 q 为真命题, 所以命题“ p∧q” 为假命题. 故原命题为假命题. ( 4) 此命题为“ p” 的形式, 其中 p: A? ( A ∩B ) . 因为 p 为真命题, 所以 p 为假命题, 故原命题为假命题.

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由逻辑联结词“且”“或”“非”组成的命题的真假判断,首先要看命 题的结构,然后去分析构成该命题的简单命题的真假,再根据真值表判 断.
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p 假 假 真 真 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假

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三、根据含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围
活动与探究 问题:如何由含有逻辑联结词的命题的真假来求参数的取值范围? 提示:(1)含有逻辑联结词的命题要先求构成命题的(一个或两个)命 题真假,求此时参数成立的条件; (2)其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件,即由 p∧q,p∨q 或 p 的真假,确定 p 或 q 的真假,得出关于参数满足的条件,最后求出参数的 取值范围.

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例 3 命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒 成立,命题 q:函数 f(x)=-(5-2a)x 是减函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实 数 a 的取值范围. 思路分析:解答本题可先求 p,q 中 a 的取值范围,再利用 p∨q 为 真,p∧q 为假,构造关于 a 的不等式组,求出 a 的取值范围. 解:设 g(x)=x2+2ax+4.由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点,故 Δ=4a2-16<0, ∴ -2<a<2, ∴ 命题 p 中 a 应满足-2<a<2. 函数 f(x)=-(5-2a)x 是减函数, 则有 5-2a>1,即 a<2.∴ 命题 q 中 a 应满足 a<2. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.

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-2 < < 2, 此不等式组无解. ≥ 2, ≤ -2,或 ≥ 2, (2)若 p 假 q 真,则 < 2, ∴ a≤-2. 综上,实数 a 的取值范围是 a≤-2. (1)若 p 真 q 假,则

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迁移与应用 1.命题 p:函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数.若 p是 假命题,则 a 的取值范围是 . 答案:(-∞,-3] 解析:因为 p 为假命题,所以 p 为真命题,故-(a-1)≥4,所以 a≤-3.

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2.已知:p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根;q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 2 = -4 > 0, 解 : p: > 0, 解得 m>2. q:Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 解得 1<m<3. ∵ p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴ p 为真,q 为假;或 p 为假,q 为真,即 > 2, ≤ 2, 或 1 < < 3, ≤ 1 或 ≥ 3 解得 m≥3 或 1<m≤2.

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要明确对“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题的真假的判断方法,并从 中判断出 p,q 各自的真假性,再应用其真假确定参数的取值范围.注意分 类讨论方法及数形结合方法的应用.

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1.设命题 p:关于 x 的不等式(x-2) 2 -3x + 2≥0 的解集为{x|x≥2},命题 q:若函数 y=kx2-kx-1 的值恒小于 0,则-4<k<0,那么下列说法正确的是 ( ). A.“ q”为假命题 B.“ p”为真命题 C.“p 或 q”为真命题 D.“p 且 q”为真命题 答案:B 解析:∵ x=1 为不等式(x-2) 2 -3x + 2≥0 的解,∴ p 为假命题;命题 q 中 k=0 使 y<0 恒成立,∴ q 为假命题.∴ p 为真命题.故选 B.

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2.由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“ p”形式的复合命题中,“p∨q” 为真,“p∧q”为假,“ p”为真的是( ). A.p:3 为偶数;q:4 是奇数 B.p:3+2=6,q:5>3 C.p:a∈{a,b};q:{a}?{a,b} D.p:Q?R;q:N=N 答案:B 解析:可用排除法,因为“ p”为真,故 C,D 错;因为“p∨q”为真,故 A 错.

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3.命题 p:0 是自然数,命题 q: 10是无理数,则在命题 ①p∧q;②p∨q;③ p;④ q 中假命题的序号为 .

答案:③④ 解析:易知 p 真 q 真,所以 p∧q 为真,p∨q 为真, p 为假, q 也为假.

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4.分别指出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题 的真假. (1)p:3>3,q:3=3; (2)p:? ?{0},q:0∈? ; (3)p:A? A,q:A∩A=A; (4)p:函数 y=x2+3x+4 的图象与 x 轴有公共点,q:方程 x2+3x-4=0 没有实 根. 解:(1)∵ p 假 q 真,∴ “p 或 q”为真,“p 且 q”为假,“非 p”为真. (2)∵ p 真 q 假,∴ “p 或 q”为真,“p 且 q”为假,“非 p”为假. (3)∵ p 真 q 真,∴ “p 或 q”为真,“p 且 q”为真,“非 p”为假. (4)∵ p 假 q 假,∴ “p 或 q”为假,“p 且 q”为假,“非 p”为真.

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5.已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2-ax+1>0 在 R 上恒成立.若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 a 的取值范围. 解:∵ y=ax 在 R 上单调递增,∴ p:a>1. 又不等式 ax2-ax+1>0 在 R 上恒成立, > 0, ∴ ∴ 0<a<4,∴ q:0<a<4. 2 = -4a < 0, 而命题 p∧q 为假,p∨q 为真,那么 p,q 中一真一假. (1)若 p 真,q 假,则 a≥4; (2)若 p 假,q 真,则 0<a≤1. ∴ a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).


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