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人教版高中数学必修2-3.2《直线的方程(第1课时)》教学设计

3.2.1 直线的方程 (名师:张志华) 一、教学目标 (一)核心素养 通过这节课学习,根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系. (二)学习目标 1.掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线方程的点斜式、斜截式,并能根据条件 熟练地求出满足已知条件的直线方程. 2.经历直线方程的发现过程,以提高分析、比较、概括、化归的数学能力,初步了解用代数方程 研究几何问题的思路,培养综合运用知识解决问题的能力. 3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体会数、形的统一美,激发学生学习数学的兴趣, 进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育,培养勇于探索、勇于创新的精神. (三)学习重点 1.直线方程的点斜式的推导及运用. 2.直线方程的斜截式的推导及运用. (四)学习难点 直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时,应考虑使用范围并进行分类讨 论. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 (1)读一读:阅读教材第 97 页至第 100 页,填空: 一般地,直线方程 y ? kx ? b ,我们把直线 l 与 y 轴的交点 (0,b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上 的截距;直线方程 y ? kx ? b 由直线的斜率 k 与其在 y 轴上的截距确定,所以方程 y ? kx ? b 叫 做直线的斜截式方程. 直线方程 y ? y0 ? k(x ? x0 ) 由直线上的一定点及其斜率确定,我们把方程 y ? y0 ? k(x ? x0 ) 叫做 直线的点斜式方程. 当直线 l 的倾斜角为 900 时,斜率 k 不存在,其直线方程不能由斜截式或点斜式确定,此时直线 与 y 轴平行或重合,故其方程是 x ? x0 . (2)写一写:直线的斜截式方程是 y ? kx ? b ;直线的点斜式方程是 y ? y0 ? k(x ? x0 ) ;当直线 的斜率不存在时,其方程是 x ? x0 . 2.预习自测 (1)直线 3x ? y ? a ? 0 ( a 为常数)的倾斜角为( ) A. 30? B. 60? C.150? D.120? 答案:B. 解析:【知识点】直线的倾斜角. 【解题过程】 tan a = 3 ? a 600 . 点拨:明确倾斜角与斜率的关系. (2)过点(-1,2)且倾斜角为 30? 的直线 l 方程为( ) A. 3x ? 3y ? 6 ? 3 ? 0 B. 3x ? 3y ? 6 ? 3 ? 0 C. 3x ? 3y ? 6 ? 3 ? 0 D. 3x ? 3y ? 6 ? 3 ? 0 【知识点】已知一点及倾斜角求直线的一般式方程. 【解题过程】 k = 3 ,故直线的方程为 y - 2 = 3 (x - 1) ? 3x 3y +6 - 3 = 0 . 3 3 点拨:已知一点及倾斜角先求直线的点斜式方程,再转化成一般式方程. 答案:A. (3)直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 【知识点】考察截距的概念. 【解题过程】令 x = 0 ,得 y = 2 +a ;令 y = 0 ,得 x = 2 +1;故 2 +a = 2 +1 ? a = -2 或 1. a a 点拨:分别求出横纵截距,令其相等解方程即可. 答案:D. (二)课堂设计 1.知识回顾 (1)直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条 直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做 这个方程的直线. (2)直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为? ,那么? 就叫做直线的倾 斜角.当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0°. 倾斜角的取值范围是 00 ? ? ? 1800 . 倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率,常用 k 表示. (3)概念辨析:①当直线和 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为 0°;②直线倾斜角 的取值范围是 00 ? ? ? 1800 ;③倾斜角是 90°的直线没有斜率. (4)斜率公式:经过两点 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) 的直线的斜率公式: k ? y2 ? y1 x2 ? x1 (x1 ? x2 ) (5)斜率公式的形式特点及适用范围: ①斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠 倒; ②斜率公式表明,直线对于 x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐标表示,而不需 求出直线的倾斜角; ③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础,必须熟记,并且会灵活运用; ④当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线的倾斜角? = 90? ,没有斜率. (6)确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点;需要知道直线 经过一个已知点及方向(即斜率)等等. 2.问题探究 探究一 直线的方程的推导★ ●活动① 直线的点斜式方程——已知直线的斜率及直线经过一已知点,求直线的方程 问题一:已知直线 l 经过点 P1 (x1, y1 ) ,且斜率为 k ,如何求直线的方程? 此问题难度较小,可由学生自行推导,得出结论: y ? y1 ? k(x ? x1) 请同学们集思广益,给这个方程取一个贴切、易记的名字.根据直线的几何特征,确定命 名为直线方程的点斜式. 在学生推导直线方程的点斜式时,教师可帮助启发学生作如下分析: 建立点斜式的主要依据是,经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的, 其斜率都等于 k . 在得出方程 y? x? y1 x1

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