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第一章 1.2 1.2.1 第二课时 三角函数线及其应用


第 一 章

1.2 任 意 角 的 三 角 函 数

1. 2. 1 任 意 角 的 三 角 函 数

第 二 课 时 三 角 函 数 线 及 其 应 用

1 理解教材 新知

知识点

题型一

2 突破常考 题型
3 跨越高分 障碍 4 应用落实 体验

题型二

题型三

随堂即时演练 课时达标检测

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1.2.1

任意角的三角函数
三角函数线及其应用

第二课时

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[提出问题] 在平面直角坐标系中, 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,过 A(1,0)作 AT⊥x 轴,交终边或其 反向延长线于点 T. 问题 1:根据上面的叙述画出 α 分别取 135° ,30° ,225° 和-60° 时的图形.

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提示:

问题 2: 由上面的图形结合三角函数定义, 可以得到 sin α, cos α,tan α 与 MP,OM,AT 的关系吗?
提示:可以,|sin α|=|MP|, |cos α|=|OM|,|tan α|=|AT|.
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[导入新知] 1.有向线段 带有 方向 的线段叫做有向线段. 2.三角函数线

图示

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正弦线 余弦线 正切线

α 的终边与单位圆交于 P, P 作 PM 垂直于 过 x 轴,有向线段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过 A(1,0)作 x 轴的垂线, α 的终边或其终边 交 的反向延长线于 T, 有向线段 AT 即为正切线

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[化解疑难] 三角函数线四注意 (1)位置:三条有向线段中有两条在单位圆内,一条在单位 圆外; (2)方向:正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点;余 弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与 α 的终边(或 其延长线)的交点; (3)正负:三条有向线段中与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的为负值; (4)书写:有向线段的始点字母在前,终点字母在后.
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3π [例 1] 作出 的正弦线、余弦线和正切线. 4 3π [解] 角 的终边(如图)与单位圆的交点为 4
P. 作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,过 A(1,0) 3π 作单位圆的切线 AT,与 的终边的反向延长线 4 3π 交于点 T,则 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线 4 为 AT.
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[类题通法] 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交 点,然后过此交点作 x 轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和 余弦线. (2)作正切线时,应从 A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终 边或终边的反向延长线于一点 T,即可得到正切线 AT.

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[活学活用] 9π 作出- 的正弦线、余弦线和正切线. 4 解:如图所示,

9π - 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4

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[例 2] 的大小.

2π 4π 2π 4π 2π 4π 分别比较 sin 与 sin ; cos 与 cos ; tan 与 tan 3 5 3 5 3 5

[解]

在直角坐标系中作单位圆如图所

2π 示.以 x 轴非负半轴为始边作 的终边与单位 3 圆交于 P 点,作 PM⊥Ox,垂足为 M.由单位圆 与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 的垂线与 OP 的反 2π 2π 2π 向延长线交于 T 点,则 sin =MP,cos =OM,tan =AT. 3 3 3
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4π 4π 同理,可作出 的正弦线、余弦线和正切线,sin = 5 5 4π 4π M′P′ , cos = OM′ , tan = AT′. 由 图 形 可 知 , 5 5 2π 4π MP>M′P′,符号相同,则 sin >sin ;OM>OM′,符号 3 5 2π 4π 2π 4π 相同, cos >cos ; 则 AT<AT′, 符号相同, tan <tan . 则 3 5 3 5

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[类题通法] 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步: ①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③ 确定有向线段的正负.

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[活学活用] π π π 设 <α< ,试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果 4 2 2 3π <α< ,上述长度关系又如何? 4 π π 解:如图所示,当 <α< 时,角 α 的正弦线为 4 2

MP,余弦线为 OM,正切线为 AT,显然在长 度上,AT>MP>OM; π 3π 当 <α< 时,角 α 的正弦线为 M′P′,余弦 2 4 线 为 OM′ , 正 切 线 为 AT′ , 显 然 在 长 度 上 , AT′>M′P′>OM′.
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[例 3]

利用三角函数线,求满足下列条件的 α 的范围.

1 3 (1)sin α<- ;(2)cos α> . 2 2
[解]
? 1? (1)如图①, 过点?0,-2?作 ? ?

x 轴的平行线交单位圆

1 于 P,P′两点,则 sin∠xOP=sin∠xOP′=- ,∠xOP= 2 11π 7π ,∠xOP′= , 6 6 故α
? ?7π ? 11π ? ? ?α? +2kπ<α< +2kπ,k∈Z? 的范围是? 6 6 ? ? ? ?

.
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? (2)如图②, 过点? ? ?

? 3 ? P′ ,0?作 x 轴的垂线与单位圆交于 P, 2 ?

3 π 两点,则 cos∠xOP=cos∠xOP′= ,∠xOP= ,∠xOP′ 2 6 π =- , 6 故α
? ? π ? π ? ? 的范围是?α?-6+2kπ<α<6+2kπ,k∈Z? ? ? ? ? ?

.
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[类题通法] 利用三角函数线解三角不等式的方法 利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法, 求解关键是恰当地寻求点,一般来说,对于 sin x≥b,cos x≥a(或 sin x≤b,cos x≤a),只需作直线 y=b,x=a 与单位 圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再 根据方向即可确定相应的 x 的范围;对于 tan x≥c(或 tan x≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的 位置,并反向延长,结合图像可得.
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[活学活用] 利用三角函数线求满足 tan α≥ 3 的角 α 的范围. 3

解:如图,过点 A(1,0)作单位圆 O 的切线,在切 3 线上沿 y 轴正方向取一点 T, AT= , 使 过点 O, 3 T 作直线, 则当角 α 的终边落在阴影区域内(包含 所作直线, 不包含 y 轴)时, α≥ tan 360° )内,tan α≥ α≥ 3 .由三角函数线可知, 在[0° , 3

3 ,有 30° ≤α<90° 210° 或 ≤α<270° ,故满足 tan 3

3 ,有 k· +30° 180° ≤α<k· +90° 180° ,k∈Z. 3
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2.三角函数线的概念

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[典例]

已知角 α 的正弦线是长度为单位长度的有向线 ) B.y 轴的非正半轴上 D.y 轴上

段,那么角 α 的终边在( A.y 轴的非负半轴上 C.x 轴上

[解析] 上. [答案]

由题意可知,sin α=± 1,故角 α 的终边在 y 轴

D

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[易错防范]

1.本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有
向线段时,sin α=1,从而误选A. 2.若搞错正弦线和余弦线的位置,则易错选C. 3.解决此类问题要正确理解有向线段的概念,既要 把握好有向线段是带有方向的线段,有正也有负.同时也 要把握准正弦线和余弦线的位置.

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[成功破障] 已知角 α 的正切线是长度为单位长度的有向线段, 那么角 α 的 终边在( )

A.直线 y=x 上 B.直线 y=-x 上 C.直线 y=x 上或直线 y=-x 上 D.x 轴上或 y 轴上
解析:选 C 由角 α 的正切线是长度为单位长度的有向线段,得

tan α=± 1,故角 α 的终边在直线 y=x 上或直线 y=-x 上.

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[随堂即时演练]
1.已知角 α 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向 线段,则 α 的终边在( )

A.第一象限的角平分线上 B.第四象限的角平分线上 C.第二、四象限的角平分线上 D.第一、三象限的角平分线上
解析: C 由条件知 sin α=-cos α, 的终边应在第二、 选 α 四象限的角平分线上.

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7π 2.如果 MP 和 OM 分别是角 α= 的正弦线和余弦线,那么 8 下列结论中正确的是( A.MP<OM<0 C.OM<MP<0 ) B.OM>0>MP D.MP>0>OM

解析:选 D 如右图所示,正弦线为 MP, 余弦线为 OM,结合图像, 可知:MP>0,OM<0, 故 OM<0<MP.

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3. 若角 α 的余弦线长度为 0, 则它的正弦线的长度为________.
解析:若角 α 的余弦线长度为 0,则 α 的终边落在 y 轴上, 所以它的正弦线的长度为 1.
答案:1

4.用三角函数线比较 sin 1 与 cos 1 的大小,结果是________.
解析:如图,sin 1=MP,cos 1=OM. 显然 MP>OM,即 sin 1>cos 1.

答案:sin 1>cos 1

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1 5.在单位圆中画出满足 sin α= 的角 α 的终边. 2

1 解:所给函数是正弦函数,故作直线 y= 交单位圆于点 P, 2 Q,连接 OP,OQ,则射线 OP,OQ 即为角 α 的终边.

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[课时达标检测]

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