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高考含参导数讨论

含参数导数问题的讨论
一、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为 零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。 例1 (2008 高考浙江卷文科)已知 a 是实数,函数 f ? x ? ?
x ?x ? a?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)设 g ? a ? 为 f ? x ? 在区间 ? 0 , 2 ? 上的最小值。 ( i )写出 g ? a ? 的表达式; ii )求 a 的取值范围,使得 ? 6 ? g ? a ? ? ? 2 。 (
a? ? 3? x ? ? 3? ? 2 x

解: (Ⅰ) 函数的定义域为 ? 0, ? ? ? , f ? x ? ?
'

x ?

x?a 2 x

?

3x ? a 2 x

?

?x

? 0? ,

由 f (x) ? 0 得 x ?
'

a 3


'

考虑

a 3

是否落在导函数 f ( x ) 的定义域 ? 0, ? ? ? 内, 需对参数 a 的取值分 a ? 0 及 a ? 0

两种情况进行讨论。
' (1) 当 a ? 0 时,则 f ( x ) ? 0 在 ? 0, ? ? ? 上恒成立,所以 f ? x ? 的单调递增区间为

? 0, ? ? ? 。
(2) 当 a ? 0 时,由 f ( x ) ? 0 ,得 x ?
'

a 3

;由 f ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ?
'

a 3



因此,当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0 ,
? ?a ? , ?? ? 。 ?3 ? ?

?

a? ,f 3? ?

? x ? 的单调递增区间为

(Ⅱ) i )由第(Ⅰ)问的结论可知: ( (1) 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增,从而 f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上单调递增, 所以 g ? a ? ? f ? 0 ? ? 0 。 (2) 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0 ,
? ? a? ?a ? 上单调递减,在 ? , ? ? ? 上单调递增,所以: ? 3? ?3 ?

① 当

a 3

? ? 0 , 2 ? ,即 0 ? a ? 6 时, f

? x ? 在 ?0,
?

?

a? ?a ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递 ? 3? ?3 ?

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增, 所以 g ? a ? ? f ? ② 当
a 3
2a ?a? ?? ? 3 ?3? a 3
? ? 2a 9 3a



? ? 2, ?? ? , 即 a ? 6 时 , f

? x ? 在 ?0, 2 ? 上 单 调 递 减 , 所 以

g ?a? ? f

?2? ?

2 ?2 ? a? 。

? 0, a ? 0 ? ? 2a a g ?a ? ? ?? ,0 ? a ? 6 综上所述, 3 3 ? ? 2 ?2 ? a ?,a ?~ 6 ?

( ii )令 ? 6 ? g ? a ? ? ? 2 。 ①若 a ? 0 ,无解; ②若 0 ? a ? 6 ,由 ? 6 ? ? ③ 若 a ? 6 ,由 ? 6 ?
2a 3 a 3 ? ? 2 解得 3 ? a ? 6 ;

2 ? 2 ? a ? ? ? 2 解得 6 ? a ? 2 ? 3 2 。

综上所述, a 的取值范围为 3 ? a ? 2 ? 3 2 。 二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的 实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例 2(2007 年高考天津文科卷)已知函数 f ? x ? ?
2ax ? a ? 1
2

x ?1
2

? x ? R ? ,其中 a ? R 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2 , f ? 2 ? ? 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。
2 解 :( Ⅰ ) 当 a ? 1 时 , 曲 线 y ? f ? x ? 在 点 ? 2 , f ? ? ? 处 的 切 线 方 程 为
6 x ? 25 y ? 32 ? 0 。




2




2



a ? 0







f

'

?x? ?

2 a ? x ? 1? ? 2 x ? 2 a x ? a ? 1?

? x ? 1?
2

2

?

1? ? ?2a ? x ? a ? ? x ? ? a? ?

? x ? 1?
2

2



第 2 页,总 18 页

由 f ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?
'

1 a

, x 2 ? a 。这两个实根都在定义域 R 内,但不知它们之间的大

小。因此,需对参数 a 的取值分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况进行讨论。 (1) 当 a ? 0 时,则 x1 ? x 2 。易得 f ? x ? 在区间 ? ? ? , ?
? ? , a ? 为增函数。 故函数 f a ? 1 ? 1? ? , ? a , ? ? ? 内为减函数,在 a? ? ? 1? 2 函数 f ? ? ?a ; a?

区间 ? ?
?

?

? x ? 在 x1

? ?

1 a

处取得极小值 f ? ?

?x?

在 x 2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1 。 (2)
1 a

当 a ? 0 时,则 x1 ? x 2 。易得 f ? x ? 在区间 ( ?? , a ) , ( ?
) 为减函数。故函数 f

1 a

, ?? ) 内为增函数,在区

间 ( a ,?

? x ? 在 x1

? ?

1 a

处取得极小值 f ? ?
?

?

1? 2 ? ? ? a ;函数 f a?

?x? 在

x 2 ? a 处取得极大值 f

?a? ? 1 。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时, 可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规 律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更复杂一些 了,需要灵活把握。

高考回放
1.(2010 重庆文数)(19) (本小题满分 12 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分.)
3 2 已知函数 f ( x ) ? a x ? x ? b x (其中常数 a,b∈R), g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ) 是奇函数.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x ) 的单调性,并求 g ( x ) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

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2.(2010 山东文数) (21) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ?

1? a x

? 1( a ? R ) 1 2

(I)当 a ? ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 处的切线方程; (II)当 a ?
f ( x ) 的单调性.

时,讨论

解 :( Ⅰ )
2

当 a ? ? 1时, f ( x ) ?

ln x ? x ?

2 x

? 1, x ? ( 0 , ?? ),

所 以

f '(x) ?

x ? x? 2 x
2

, x ? ( 0?,?

)

因此, f ( 2)? 1, 即 曲线 y ? f ( x ) 在点( 2, f ( 2 )) 处的切线斜率为 又
f ( 2 ) ? ln 2 ? 2 ,

1, .

所以曲线
y ? (ln 2 ? 2 ) ? x ? 2 ,

y ? f ( x ) 在点( 2, f ( 2 )) 处的切线方程为

即 x ? y ? ln 2 ? 0 .

(Ⅱ)因为

f ( x ) ? ln x ? ax ?
a ?1 x
2

1? a x

?1,
2

所以

f '(x) ?

1 x

?a ?

? ?

ax

? x ?1? a x
2

x ? ( 0 , ?? ) ,



g ( x ) ? ax

2

? x ? 1 ? a , x ? ( 0 , ?? ),

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(1)当 a ? 0 时 , h ( x ) ? ? x ? 1, x ? ( 0 , ? ? ) 所以,当 x ? (0,1)时 , h ( x ) ? 0, 此 时 f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ? ? ) 时, h ( x ) ? 0 ,此时 f ? ( x ) ? 0, 函 数 f ( x )单调递 (2)当 a ? 0时 , 由 f ?( x ) = 0 ①当 a ?
1 2

即 a x ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x 2 ?
2

1 a

?1

时, x1 ? x 2 , h ( x ) ? 0 恒成立,

此时 f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; ②当 0 ? a ?
1 2 时, 1 a ?1 ? 1 ? 0

x ? (0,1) 时, h ( x ) ? 0, 此 时 f ? ( x ) ? 0, 函 数 f ( x ) 单调递减;

x ? (1, x?( 1 a

1 a

? 1) 时, h ( x ) ? 0, 此 时 f ? ( x ) ? 0, 函 数 f ( x ) 单调递增;

? 1, ? ? )时 , h ( x ) ? 0 ,此时 f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 1 a ?1? 0

③当 a ? 0 时,由于

x ? (0,1) 时, h ( x ) ? 0 ,此时 f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; x ? (1, ? ? ) 时, h ( x ) ? 0 ,此时 f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增。

综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递增; 当a ?
1 2

时,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减;
1 2

当0 ? a ?

时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减;
1 a ? 1) 上单调递增;

函数 f ( x ) 在 (1, 函数 f ( x ) 在 (
1 a

? 1, ? ? ) 上单调递减,

3. (2010 辽宁文数) (本小题满分 12 分) (21) 已知函数 f ( x ) ? ( a ? 1) ln x ? a x ? 1 . (Ⅰ)
2

讨论函数 f ( x ) 的单调性;

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(Ⅱ)设 a ? ? 2 ,证明:对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 | x1 ? x 2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ? ( x ) ?
a ?1 x 2ax ? a ? 1
2

? 2ax ?

.

x

当 a≥0 时, f ? ( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ? ( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少;
a ?1 2a a ?1 2a a ?1 2a a ?1 2a a ?1 2a

当-1<a<0 时,令 f ? ( x ) =0,解得 x= ?

.当 x∈(0,

?

)时, f ? ( x ) >0;

x∈( ?

,+ ? )时, f ? ( x ) <0, 故 f(x)在(0,

?

)单调增加,在( ?



+ ? )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 等价于
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ≥4x1-4x2,

即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则
g ?( x ) ?
2

a ?1 x

? 2 a x +4



2ax ? 4 x ? a ? 1 x

.

于是 g ? ( x ) ≤

?4 x ? 4 x ? 1
2



? ( 2 x ? 1) x

2

≤0.

x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即

f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 .

4. (2010 年高考天津卷文科 20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= a x ?
3

3 2

x ? 1( x ? R ) ,其中 a>0.
2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?
? ? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 2 2? ?
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【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等 式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法. 【解析】 (Ⅰ) 解: a=1 时, (x) x ? 当 f =
3

3 2

x ? 1 , (2) f =3; f’(x)= 3 x ? 3 x , f’(2)=6.
2

2

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (Ⅱ)解:f’(x)= 3 a x ? 3 x ? 3 x ( a x ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x=
2

1 a

.

以下分两种情况讨论: (1) 若 0 ? a ? 2, 则
? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?

1 a

?

1 2

,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
1? ? ? 0, ? 2? ?

X

0

f’(x) f(x)

+
?

0 极大值

?

1 ? f (? ) ? 0, ? ? ? 1 1? 2 当 x ? ? ? , ? 时 , f ( x ) > 0 等价于 ? 即 ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? ? 2

?5 ? a ? 0, ? 8 ? , ? ? 5 ? a ? 0. ? 8 ?

解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . (2) 若 a>2,则 0 ?
? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
1 a ? 1 2

.当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
1? ? ? 0, ? a ? ?
1 a

X f’(x) f(x)

0 0 极大值

?1 1? ? , ? ?a 2?

+
?

?

0 极小值

+
?

1 ?5 ? a ? >0, f(- ) > 0 , ? 8 ? 2 ? ? ? 1 1? 2 ? a ?5 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ,解不等式组得 2 1 1 ? 2 2? ? f( )> 0 , ?1 >0. ? a ? 2a 2 ? ?
2 2

或a ? ?

.因此 2<a<5.综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5.
?5 ? a ? 0, ? 8 ? ? ? 5 ? a ? 0. ? 8 ?

1 ? f (? ) ? 0, ? ? ? 1 1? 2 当 x ? ? ? , ? 时 , f ( x ) > 0 等价于 ? 即 ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? ? 2

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解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . 5.(2010 年高考江西卷文科 17)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 6 x ? 3 ? a ? 2 ? x ? 2 a x .
3 2

(1)若 f ? x ? 的两个极值点为 x1 , x 2 ,且 x1 x 2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ? x ? 是 ? ? ? , ? ? ? 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由. 【答案】解: f '( x ) ? 1 8 x ? 6 ( a ? 2 ) x ? 2 a
2

(1)由已知有 f '( x1 ) ? f '( x 2 ) ? 0 ,从而 x1 x 2 ?
2 2

2a 18

? 1 ,所以 a ? 9 ;

(2)由 ? ? 3 6 ( a ? 2 ) ? 4 ? 1 8 ? 2 a ? 3 6 ( a ? 4 ) ? 0 , 所以不存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 ( ? ? , ? ? ) 上的单调函数.

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6. (2010 年高考浙江卷文科 21)(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? ( x ? a ) (a-b)
2

( a , b ? R , a <b)。

(I)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程。 (II)设 x1 , x 2 是 f ( x ) 的两个极值点, x 3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x 3 ? x1 , x 3 ? x 2 证明:存在实数 x 4 ,使得 x1 , x 2 , x 3 , x 4 按某种顺序排列后的等差数列,并求 x 4

解析:本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基 础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。
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(Ⅰ)解:当 a=1,b=2 时, 因为 f’(x)=(x-1)(3x-5) 故 f’(2)=1 f(2)=0, 所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2 (Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a) (x- 由于 a<b. 故 a<
a ? 2b 3 a ? 2b 3

) ,

.
a ? 2b 3

所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= 不妨设 x1=a,x2=
a ? 2b 3

.

[



因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点, 故 x3=b. 又因为 x4=
1 2 2a ? b 3 a ? 2b 3

-a=2(b- )=
a ? 2b 3

a ? 2b 3

) ,

(a+

a ? 2b 3

2a ? b 3



所以 a,



,b 依次成等差数列,
2a ? b 3

所以存在实数 x4 满足题意,且 x4=

.

7. (2010 年高考辽宁卷文科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( a ? 1) ln x ? a x ? 1 .
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ? 2 ,证明:对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 | x1 ? x 2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ? ( x ) ?
a ?1 x 2ax ? a ? 1
2

? 2ax ?

.

x

当 a≥0 时, f ? ( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ? ( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少;
a ?1 2a a ?1 2a

当-1<a<0 时,令 f ? ( x ) =0,解得 x= ?

.当 x∈(0,

?

)时, f ? ( x ) >0;

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x∈( ?

a ?1 2a

,+ ? )时, f ? ( x ) <0, 故 f(x)在(0,

?

a ?1 2a

)单调增加,在( ?

a ?1 2a



+ ? )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 等价于
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ≥4x1-4x2,

即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则
g ?( x ) ?
2

a ?1 x

? 2 a x +4



2ax ? 4 x ? a ? 1 x

.

于是 g ? ( x ) ≤

?4 x ? 4 x ? 1
2



? ( 2 x ? 1) x

2

≤0.

x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 .

8. (2010 年高考宁夏卷文科 21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? e ? 1 ? ? a x
x 2

(Ⅰ)若 a=

1 2

,求 f ? x ? 的单调区间;

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围

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解: (Ⅰ) a ?
1 2

时, f ( x ) ? x ( e ? 1 ) ?
x

1 2

x , f '( x ) ? e ? 1 ? xe ? x ? ( e ? 1)( x ? 1) 。当
2
x x x

x ? ? ? ? , ? 1 ? 时 f '( x ) ? ? ;当 x ? ? ? 1, 0 ? 时, f '( x ) ? 0 ;当 x ? ? 0, ? ? ? 时, f '( x ) ? 0 。故
f ( x ) 在 ? ? ? , ? 1 ? , ? 0, ? ? ? 单调增加,在(-1,0)单调减少。

(Ⅱ) f ( x ) ? x ( x ? 1 ? a x ) 。令 g ( x ) ? x ? 1 ? a x ,则 g '( x ) ? e ? a 。若 a ? 1 ,则当
a

a

x

x ? ? 0, ? ? ? 时,g '( x ) ? ? ,g ( x ) 为减函数, g (0 ) ? 0 , 而 从而当 x≥0 时 g ( x ) ≥0, f ( x ) 即

≥0. 若a ? ?, 则当 x ? ? 0 , ln a ? 时,g '( x ) ? ? ,g ( x ) 为减函数, g (0 ) ? 0 , 而 从而当 x ? ? 0 , ln a ? 时 g ( x ) <0,即 f ( x ) <0. 综合得 a 的取值范围为 ? ? ? ,1 ? 9.【2012 高考新课标文 21】 (本小题满分 12 分) x 设函数 f(x)= e -ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值 【答案】

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10.【2012 高考重庆文 17】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 在 x ? 2 处取
3

得极值为 c ? 1 6 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [ ? 3, 3] 上的最大值.
3 2 【解析】 (Ⅰ)因 f ( x ) ? a x ? b x ? c 故 f ? ( x ) ? 3 a x ? b

由于 f ( x ) 在点 x ? 2 处取

得极值 故有 ?
? f ?( 2 ) ? 0

? f (2) ? c ? 16

即?

?

12a ? b ? 0

?8a ? 2b ? c ? c ? 16

,化简得 ?

?12a ? b ? 0 ?4a ? b ? ?8

解得 ?

? a ?1 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

3 2 f ( x ) ? x ? 1 2 x ? c , f ?( x ) ? 3 x ? 1 2

令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x1 ? ? 2, x 2 ? 2 当 x ? ( ? ? , ? 2 ) 时, f ? ( x ) ? 0 故 f ( x ) 在 ( ? ? , ? 2 ) 上为增 函数; 当 x ? ( ? 2, 2 ) 时, f ? ( x ) ? 0 故 f ( x ) 在 ( ? 2 , 2 ) 上为减函数 当 x ? ( 2, ? ? ) 时 f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 ( 2, ? ? ) 上为增函数。 由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ? 2 处取得极大值 f ( ? 2 ) ? 1 6 ? c , f ( x ) 在 x 2 ? 2 处取得极小值
f (2) ? c ? 16 f (? 3 ?)


c ?9






1





1 ?6c ?

2

8 得

c ? 12





? f 2

,? fc?2 ) ? c ?)1 6 ? ? 4 因此 f ( x ) 上 [ ? 3, 3] 的最小值 ? 9 3 , (( 3 ?

为 f (2) ? ?4 11.【2012 高考湖北文 22】 (本小题满分 14 分) 设函数 方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值 (3)证明:f(x)< 解: (Ⅰ)因为
1 ne
f (1) ? b

,n 为正整数,a,b 为常数,曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线

. ,由点 (1,
b)

在x ?

y ? 1 上,可得 1 ? b ? 1 ,即 b ? 0

.

因为

n ?1 n f ? ( x) ? anx ? a ( n ? 1) x

,所以

f ? (1) ? ? a

. 故a
n n ?1

又因为切线 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 令
f ?( x ) ? 0

y ? 1 的斜率为 ? 1 ,所以 ? a ? ? 1 ,即 a ? 1 .
f ( x ) ? x (1 ? x ) ? x ? x
n n n ?1

? 1 ,b ? 0
? x)

.



n ?1 f ? ( x ) ? ( n ? 1) x (

. .

,解得 x

?

n n ?1

,即

f ?( x )

在 (0, ? ? ) 上有唯一零点 x 0

?

n n ?1

第 13 页,总 18 页

在 (0, 而在 ( 故

n n ?1 n n ?1

)

上,

f ?( x ) ? 0

,故

f (x)

单调递增; 单调递减.
)? ( n n ?1
t ?1 t
2

, ?? )

上,

f ?( x ) ? 0



f (x)

f (x)

在 (0, ? ? ) 上的最大值为
1 t

f(

n n ?1
? 1 t ?

) (1 ?
n

n n ?1

)?

n

n n ?1

( n ? 1)

.

(Ⅲ)令 ? ( t ) ? 在 (0,
1)

ln t ? 1 +

(t ? 0 )

,则 ? ? ( t )

1 t
2

=

(t ? 0 )

.

上, ? ? ( t ) ?
? ?)

0

,故 ? ( t ) 单调递减;

而在 (1,

上 ? ? ( t ) ? 0 , ? ( t ) 单调递增.
0

故 ? ( t ) 在 (0, ? ? ) 上的最小值为 ? (1) ? 即 ln t 令t
?1? 1 t ?1? 1 n ( t ? 1)

. 所以 ? ( t ) ?

0 ( t ? 1)



.
n ?1 n ? 1 n ?1

,得 ln
n ?1

,即 ln (
? 1 ne

n ?1 n

)

n ?1

? ln e



所以 (

n ?1 n

)

? e ,即

n

n n ?1

( n ? 1)

.

由(Ⅱ)知,

f (x) ?

n

n n ?1

( n ? 1)

?

1 ne

,故所证不等式成立.

【解析】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数 的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解 的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极 值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另 外,要注意含有 e , ln x 等的函数求导的运算及其应用考查. 12.【2012 高考安徽文 17】 (本小题满分 12 分) 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x ) ? a x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?
1 ax 1 ax
3 2 x ,求 a , b 的值。 1 ax ? b (a ? 0)
x

【解析】 (方法一) f ( x ) ? a x ? (I)
1 a

?b ? 2

ax?

?b ?b?2,

当且仅当 a x ? 1( x ?

) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 。

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(II)由题意得: f (1) ?
f ?( x ) ? a ? 1 ax
2

3 2

? a? 1 a

1 a ?

?b ? 3 2

3 2

, ① ②

? f ? (1) ? a ?



由①②得: a ? 2, b ? ? 1 。 13.【2012 高考浙江文 21】 (本题满分 15 分)已知 a∈R,函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 a x ? a
3

(1)求 f(x)的单调区间 (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a >0. 【答案】
2 【解析】 (1)由题意得 f ? ( x ) ? 1 2 x ? 2 a ,

当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? ? , ? ? ? . 当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 1 2 ( x ?
a 6 )( x ? a
? ), 此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? 6 ?
3 3

a 6

,

a ? ?. 6 ?

(2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x ) ? a ? 2 ? 4 x ? 2 a x ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 . 当 a ? 2 时, f ( x ) ? a ? 2 ? 4 x ? 2 a (1 ? x ) ? 2 ? 4 x ? 4 (1 ? x ) ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 .
3 3 3

3 设 g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 1 ,则 g ? ( x ) ? 6 x ? 2 ? 6 ( x ?

2

3 3

)( x ?

3 3

).

则有
x

0

? 3 ? ? 0, ? ? 3 ? ? ?

3 3

? 3 ? ,1 ? ? ? 3 ? ? ?

1

g ?( x )
g (x)

1 减

0 极小值

+ 增 1

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所以 g ( x ) m in ? g (

3 3
3

) ?1?

4 3 9

? 0.

当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . 故 f (x) ? a ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 ? 0 .
3

14.【2012 高考全国文 21】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ? x
3 2

? ax

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x ) 有两个极值点 x 1 , x 2 ,若过两点 ( x 1 , f ( x 1 )) , ( x 2 , f ( x 2 )) 的直线 l 与 x 轴的 交点在曲线 y ? f ( x ) 上,求 a 的值。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数,通过求解导 数求解单调区间。另外就是运用极值概念,求解参数值的运用。
2 解: (1)依题意可得 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a

2 当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 即 a ? 1 时,x ? 2 x ? a ? 0 恒成立, f ? ( x ) ? 0 , 故 所以函数 f ( x ) 在 R 上

单调递增; 当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 即 a ? 1 时,
2 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 有两个相异实根 x1 ?

?2 ?

4 ? 4a 2

? ?1 ?

1 ? a , x2 ? ? 1 ?

1? a

且 x1 ? x 2
2 故由 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 ? x ? ( ? ? , ? 1 ? 1 ? a ) 或 x ? ( ? 1 ? 1 ? a , ? ? ) ,此时 f ( x )

单调递增
2 由 f ? ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 ? ? 1 ? 1 ? a ? x ? ? 1 ? 1 ? a ,此时此时 f ( x ) 单调递增递减

综上可知 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 R 上单调递增; a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? ( ? ? , ? 1 ? 1 ? a ) 上单调递增, 当 在 x ? ( ? 1 ? 1 ? a , ? ? ) 单调递增,在 ( ? 1 ? 1 ? a , ? 1 ? 1 ? a ) 单调递减。 (2)由题设知, x1 , x 2 为方程 f ? ( x ) ? 0 的两个根,故有

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a ? 1, x1 ? ? 2 x1 ? a , x 2 ? ? 2 x 2 ? a
2 2


f(
1


? 1 3 2 3 ( a ? 1) x 2 ? 2 3 a 3 ( a ? 1) x ? a 3
3

x )

1

?

2

a

1 3

同理 f ( x 2 ) ?

因此直线 l 的方程为 y ?

设 l 与 x 轴的交点为 ( x 0 , 0 ) ,得 x 0 ?

a 2 ( a ? 1)

而 f ( x0 ) ?

1

3 2 ( a ? 1)

(

a

) ?(
3

a 2 ( a ? 1)

) ?
2

a

2

2 ( a ? 1)

?

a

2 3

2 4 ( a ? 1)

(1 2 a ? 1 7 a ? 6 )
2

由题设知,点 ( x 0 , 0 ) 在曲线 y ? f ( x ) 的上,故 f ( x 0 ) ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 所以所求 a 的值为 a ? 0 或 a ?
2 3

2 3

或a ?

3 4

或a ?

3 4



【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有 难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间。第 二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值。 15.【2012 高考山东文 22】 (本小题满分 13 分) 已知函数
(1, f (1))
f (x) ? ln x ? k e
x

(k

为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y

? f (x)

在点

处的切线与 x 轴平行.

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求
f (x)

的单调区间;
xf ? ( x )

(Ⅲ)设 g ( x ) ?

,其中

f ?( x ) 为 f ( x )

的导函数.证明:对任意 x

? 0, g ( x ) ? 1 ? e

?2

.

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1

? ln x ? k e
x

【答案】(I) 由已知,

x f ?( x ) ?
1? k e

, ,∴ k
?1.

f ? (1) ?

? 0

1

? ln x ? 1 e
x

(II)由(I)知, 设 k (x) ? 由 k (1) ? 当x
1 x

x f ?( x ) ?

.
? ? 1 x
2

? ln x ? 1

,则 k ? ( x )

?

1 x

? 0

,即 k ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是减函数,
f ?( x ) ? 0

0

知,当 0 ?

x ? 1 时 k (x) ? 0

,从而



? 1 时 k (x) ? 0

,从而

f ?( x ) ? 0

.

综上可知,

f (x)

的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ? ? ) .
? 1 时, g ( x ) ? xf ? ( x )

(III)由(II)可知,当 x 时成立. 当0 ?
x ? 1 时, e
x

≤0<1+ e ? 2 ,故只需证明 g ( x ) ? 1 ? e ? 2 在 0 ?

x ?1

>1,且 g ( x )

?0

,∴ g ( x ) ?

1 ? x ln x ? x e
x

? 1 ? x ln x ? x

.

设 F (x) ? 1 ?

x ln x ? x

, x ? (0 ,1) ,则 F ? ( x ) ?
0

? (ln x ? 2 )



当 x ? (0, e ? 2 ) 时, F ? ( x ) ? 所以当 x
?e
?2

,当 x ? (e ? 2 ,1) 时, F ? ( x ) ? 0 ,

时, F ( x ) 取得最大值 F ( e ? 2 ) ? 1 ? e ? 2 .
?2

所以 g ( x ) ?

F (x) ? 1 ? e
? 0

.

综上,对任意 x

, g ( x ) ? 1 ? e ?2 .

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