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河北省邢台市第二中学高中数学选修4-4课时练习:渐开线与摆线 含答案 精品

渐开线与摆线 一、选择题 出题:赵新亮 审阅:周雅丽 1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( A.只有圆才有渐开线 ) B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才能得到 不同的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状 就不同 2.半径为 1 的圆的渐开线的参数方程为( ) ?x=θ -sin θ , ?x=1-sin θ , A.? (θ 为参数)B.? (θ 为参数) ?y=1-cos θ ?y=θ -cos θ ?x=cos θ +θ sin θ , ?x=cos θ -θ sin θ , C.? (θ 为参数)D.? ?y=sin θ -θ cos θ ?y=sin θ +θ cos θ 3.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的 渐开线也可以转化为普通方程, 但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出 坐标之间的关系, 所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和 渐开线方程时, 如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参 数方程; ④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有 ( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①③④ 4.如下图所示,ABCD 是边长为 1 的正方形,曲线 AEFGH…叫作“正方形的 渐开线” ,其中 AE,EF,FG,GH,…的圆心依次按 B,C,D,A 循环,它们依次 相连接,则曲线 AEFGH 的长是( ) A.3π 二、填空题 B.4π C.5π D.6π 6 . 已 知 摆 线 的 生 成 圆 的 直 径 为 80 mm , 则 摆 线 的 参 数 方 程 为 ____________________________________ , 其 一 拱 的 宽 为 ________ , 拱 高 为 ________. ?x=2cos α , 7.已知参数方程为? (α 为参数),则该圆的渐开线参数方程为 ?y=2sin α __________________________, 摆线参数方程为____________________________. ?x=6(cos φ +φ sin φ ), 8.渐开线? (φ 为参数)的基圆的圆心在原点, ?y=6(sin φ -φ cos φ ) 把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) 得到的曲线的焦点坐标为 ________________. 三、解答题 9.当φ = ?x=cos φ +φ sin φ , π ,π 时,求出渐开线? (φ 为参数)上的 2 ?y=sin φ -φ cos φ 对应点 A,B,并求出 A,B 间的距离. . 10.已知圆的直径为 2,其渐开线的参数方程对应的曲线上两点 A,B 对应的参 π π 数分别为 和 ,求点 A、B 的直角坐标. 3 2 渐开线与摆线答案 1.C 2.C 3.C4.C 5.? ?x=40(φ -sin φ ), ? ?y=40(1-cos φ ) ? (φ 为参数) 80π mm 80 mm 6.? ? ?x=2(cos φ +φ sin φ ), ?y=2(sin φ -φ cos φ ) ? (φ 为参数) ? ?x=2(φ -sin φ ), ? (φ 为参数) ? ?y=2(1-cos φ ) 7.(6 3,0)和(-6 3,0) ?x=cos φ +φ sin φ , ? π 8.解析:将φ = 代入? 2 ?y=sin φ -φ cos φ . ? π π π 得 x=cos + sin =1, 2 2 2 ? ? y=sin - cos =1.∴A? ,1?. 2 π 2 π 2 π 2 π ? ? 将φ =π 代入? ?x=cos φ +φ sin φ , ? ? ?y=sin φ -φ cos φ , 得 x=cos π +π sin π =-1, y=sin π -π cos π =π . ∴B(-1,π ). 故 A,B 间的距离为 2 ?π ? (1-π )2+ 2 +1 = ? ? 4 2 5π -π +2 |AB|= 9.解析:根据题设条件可知圆的半径为 1,所以对应的渐开线的参数方程为 ?x=cos φ +φ sin φ , ? ? (φ 为参数). ?y=sin φ -φ cos φ ? π 将φ = 代入得 3 x=cos + sin = + y=sin - cos = π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 1 2 3 π, 6 3 π - . 2 6 ∴A 点的坐标为? ?3+ 3π 3 3-π ? , ?. 6 ? 6 ? π ?π ? 当φ = 时,同理可求得 B 点的坐标为? ,1?. 2 ?2 ? 10.解析:当 y=2 时,有 2(1-cos φ )=2, ∴cos φ =0.又 0≤φ ≤2π , π 3π ∴φ = 或φ = . 2 2 π 当φ = 时,x=π -2; 2 3π 当φ = 时,x=3π +2. 2 ∴摆线与直线 y=2 的交点为(π -2,2),(3π +2,2). 精品文档 强烈推荐

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