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z19940505:集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式

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集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式 (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2011· 广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实 数,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 ( D.3 ).

解析 法一 A 为圆心在原点的单位圆,B 为过原点的直线,故有 2 个交点,故选 C.
? ?x +y =1, 法二 由? ? ?y=x
2 2

?x= 22, 可得? 2 ?y= 2

?x=- 22, 或? 2 ?y=- 2 .
( ).

答案 C 2.(2011· 湖南)设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析 当 a=1 时,N={1},则“N?M”成立,所以“a=1”是充分条件;当 N ?M,a2=1 或 a2=2,得 a=± 或 a=± 2,所以“a=1”不是必要条件,故选 A. 1 答案 A 3.(2011· 陕西)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( A.若 a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b B.若 a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则 a=-b ).

解析 命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|,则 a=-b”,故选 D. 答案 D aπ 4.(2011· 山东)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 的值为 6 A.0 B. 3 3 C.1 D. 3 ( ).

解析 由题意得 3a=9,则 a=2, aπ π ∴tan =tan = 3. 6 3 答案 D x 5.函数 f(x)=2mcos2 +1 的导函数的最大值等于 1,则实数 m 的值等于 2 ( ).

A.± 1

B.1

C.-1

D.2

1+cos x x 解析 ∵f(x)=2mcos2 +1=2m× +1=m+1+mcos x,∴f′(x)=-msin x. 2 2 当 m>0 时,m=1;当 m<0 时,m=-1. 答案 A 1 1 1 1 6.设 a,b,c 均为正数,且 2a=log a,?2?b=log b,?2?c=log2c,则 ? ? 2 ? ? 2 A.a<b<c C.c<a<b 1 解析 由 2a>1 知 log a>1, 2 1 1 1 ∴0<a< .由 0<?2?b<1 得 0<log b<1, ? ? 2 2 1 1 ∴ <b<1.由 0<?2?c<1,∴0<log2c<1, ? ? 2 ∴1<c<2. ∴a<b<c. 答案 A 7.若函数 f(x)=(k-1)ax-a x(a>0,且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x) =loga(x+k)的图象是 ( ).


(

).

B.c<b<a D.b<a<c

解析 ∵f(x)在 R 上为奇函数, ∴f(0)=k-1-1=0, ∴k=2. 又 f(x)在 R 上为减函数, ∴0<a<1, ∴g(x)=loga(x+2)的图象是由 φ(x)=logax 向左平移 2 个单位. 答案 A 8.(2011· 广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的

是 A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

(

).

解析 由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶, B 错;C 项与 D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案 A f?x1?-f?x2? 1 9.已知 f(x)=aln x+ x2(a>0),若对任意两个不等的正实数 x1,x2 都有 >2 恒 2 x1-x2 成立,则 a 的取值范围是 A.(0,1] C.(0,1) f?x1?-f?x2? 解析 由 k= 知: x1-x2 a f′(x)= +x≥2,x∈(0,+∞)恒成立. x 即 a≥x(2-x)恒成立, ∵x(2-x)的最大值为 1. ∴a≥1. 答案 D 10.(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3 -x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 ( ). B.(1,+∞) D.[1,+∞) ( ).

解析 当 0≤x<2 时,令 f(x)=x3-x=0,x=0 或 x=1 或 x=-1(舍去).又 f(x)的最 小正周期为 2,∴f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5)=0,∴y=f(x)的图象在 区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7,故选 B. 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 ∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立, ∴|-x+a|=|x-a|对于 x∈R 恒成立, 两边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 答案 0 12.(2011· 浙江金华模拟)已知函数 f(x)为奇函数,函数 f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则 f(3)=________. 解析 由 f(x+1)为偶函数可得,f(x+1)=f(-x+1).

则 f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. ∴f(3)=-1. 答案 -1 2 13.(2011· 聊城模拟)若函数 f(x)=ex-a- 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是 x ________. 2 解析 令 y=ex,y= +a 画出图象如图. x 2 由图象知 a≤0 时,y=ex 的图象与 y= +a 的图象有一个 x 交点,a>0 时,有两个交点. 答案 (-∞,0]

14.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0 时,y=f(x)是奇函数; ②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 最多有两个实根. 其中正确的命题是________(写出序号). 解析 当 c=0 时,f(x)=x|x|+bx,此时 f(-x)=-f(x), 故 f(x)为奇函数,①正确;当 b=0,c>0 时,f(x)=x|x| +c,若 x≥0,f(x)=0 无解,若 x<0,f(x)=0 有一解 x= - c,②正确;结合图象知③正确,④不正确. 答案 ①②③ 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤) 15.已知函数 f(x)=xex(e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 解 (1)∵f(x)=xex. ∴f′(x)=ex+xex=(1+x)ex. 令 f′(x)>0,即(x+1)ex>0. ∵ex>0,∴x>-1, ∴f(x)的单调增区间为(-1,+∞). (2)由(1)知,f′(x)=(1+x)ex. ∴f′(1)=2e,f(1)=e.

∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y-e=2e(x-1),即 2ex-y-e=0. ex 16.(2011· 安徽)设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解 对 f(x)求导得 f′(x)=ex 1+ax2-2ax .① ?1+ax2?2

4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x= 或 x= . 2 2 综合①,可知 x f′(x) F(x)

?-∞,1? 2? ?
+ ?

1 2 0 极大值

?1,3? ?2 2?
- ?

3 2 0 极小值

?3,+∞? ?2 ?
+ ?

3 1 所以,x= 是极小值点,x= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2 -2ax+1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0, 知 0<a≤1. 17.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向 乙方索赔,以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方 的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函数关系 x=2 000 须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 ω(元)表示为年产量 t(吨)的函数, 并求出乙方获得最大利润的年 产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大 利润的产量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入, 应向乙方要求的 赔付价格 s 是多少? 解 (1)依题意知,赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 ω=2 000 t-st. 1 000 1 0002 ∵ω=2 000 t-s( t)2=-s? t- s ?2+ . ? ? s 1 000 ∴当 t=? s ?2 时,ω 取得最大值. ? ? t.若乙方每生产一吨产品必

1 000 所以乙方获得最大利润的年产量为 t=? s ?2 吨. ? ? (2)设甲方的净收入为 v 元,则 v=ts-0.002t2, 1 000 将 t=? s ?2 代入上式,得甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式为 v= ? ? 1 0002 2×1 000 - , s s4
3 1 0002 8×1 000 1 0002 又 v′(s)=- 2 + = 5 (8 000-s3). s s5 s 3

令 v′(s)=0,得 s=20,当 s<20 时,v′(s)>0; 当 s>20 时,v′(s)<0,∴s=20 时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s=20 元/吨时,获得净收入最大. 18.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx. (1)若函数 y=f(x)在 x=2 处有极值-6,求 y=f(x)的单调递减区间; b (2)若 y=f(x)的导数 f′(x)对 x∈[-1,1]都有 f′(x)≤2,求 的范围. a-1
?f′?2?=0, ?12+4a+b=0, ? ? 解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有? 即? 解得 ? ? ?f?2?=-6, ?8+4a+2b=-6,

?a=-5, ? 2 ? ?b=-2. ?
∴f′(x)=3x2-5x-2. 1 由 f′(x)<0,得- <x<2, 3 1 ∴y=f(x)的单调递减区间是?-3,2?. ? ?
?f′?-1?=3-2a+b≤2, ? (2)由? 得 ? ?f′?1?=3+2a+b≤2 ?2a-b-1≥0, ? ? ? ?2a+b+1≤0.

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:
? ? ?2a-b-1=0, ?a=0, 由? 得? ?2a+b+1=0 ?b=-1. ? ?

∴Q 点的坐标为(0,-1). b 设 z= ,则 z 表示平面区域内的点(a,b)与点 P(1,0)连线的斜率. a-1 ∵kPQ=1,由图可知 z≥1 或 z≤-2,



b ∈(-∞,-2]∪[1,+∞). a-1

19.(2011· 浙江金华模拟)已知函数 f(x)=x2+2x+aln x. (1)若 f(x)是区间(0,1)上的单调函数,求 a 的取值范围; (2)若?t≥1,f(2t-1)≥2f(t)-3,试求 a 的取值范围. a 解 (1)f′(x)=2x+2+ , x ∵f(x)在(0,1)上单调, ∴x∈(0,1),f′(x)≥0 或 x∈(0,1),f′(x)≤0(这里“=”只对个别 x 成立). ∴a≥-2(x2+x)或 a≤-2(x2+x). 从而 a≥0 或 a≤-4. (2)f(2t-1)≥2f(t)-3?2(t-1)2-2aln t+aln(2t-1)≥0① 令 g(t)=2(t-1)2-2aln t+aln (2t-1), 2a 2a 则 g′(t)=4(t-1)- + t 2t-1 = 2?t-1?[2?2t-1?-a] . t?2t-1?

当 a≤2 时∵t≥1,∴t-1≥0,2(2t-1)≥2,∴g′(t)≥0 对 t>1 恒成立,∴g(t)在[1, +∞)上递增, ∴g′(t)≥g(1)=0,即①式对 t≥1 恒成立; 1+ 1+4a 若 a>2 时,令 g′(t)<0 且 t>1,解得 1<t< , 4 于是,g(t)在?1, 从而有 g?

? ?

1+4a? ?1+ 1+4a ? ?上递减,在? ,+∞?上递增, 4 ? 4 ? ?

?1+ 1+4a?<g(1)=0,即①式不可能恒成立. ? 4 ? ?

综上所述 a≤2.


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