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《1.5.3定积分的概念》教学案1


《1.5定积分的概念》教学案 一:教学目标 知识与技能目标 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,了解定积分的背景; 能用定积分的定义求简单的定积分; 理解掌握定积分的几何意义; 过程与方法 借助于几何直观定积分的基本思想,理解定积分的概念; 情感态度与价值观 二:教学重难点 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 三:教学目标: 1.创设情景 复习: 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤: 分割→以直代曲→求和→取极限(逼近 对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 2.新课讲授 1.定积分的概念:一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? .... ? xi?1 ? xi ? ... ? xn ? b 将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ? b?a ) ,在每个小区间 n ? xi?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ?1,2,?, n? ,作和 Sn ? ? f (?i )?x ? ? i ?1 n b?a f (?i ) . i ?1 n n 如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该 常数 S 为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分。记为 S ? ? b a f ( x)dx (其中 a , b 分别叫做积分上 限和积分下限,[ a, b] 为积分区间, f ( x ) 成为被积函数, x 叫做积分变量, f ( x)dx 叫做被 积式). 说明:(1)定积分 ? b a f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为 ? b a f ( x)dx ,而不是 Sn . (2)用定义求定积分的一般方法是: ①分割: n 等分区间 ?a , b? ; ②近似代替:取点 ?i ?? xi ?1 , xi ? ; ③求和: ? i ?1 n b?a f (?i ) ; n b a ④取极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? n ?? i ?1 n b?a n t2 t1 (3)曲边图形面积: S ? 变力做功 W ? ? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? a b v(t )dt ; ? b a F (r )dr 2.定积分的几何意义 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x) ? 0 ,那么定积分 ? b a ? b ( a? b ) , y ? 0 和 曲 线 f ( x)dx 表 示 由 直 线 x ? a, x y ? f ( x) 所围成的曲边梯形的面积. 说明:一般情况下,定积分 ? b a f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及 直线 x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积 去负号. 分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上可取负值. 考察和式 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? ?? f ( xi )?x ? ?? f ? xn ? ?x 不妨设 f ( xi ), f ( xi

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