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第13章 计算流体力学CFD(5)


第13章 计算流体力学CFD(5) 13章 计算流体力学CFD(5)

6 计算流体力学的基本方法

6.1 Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法 是一种显式有限差 分方法, 分方法,适合于推 进求解。 进求解。

二维时间推进网格

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法

Lax-Wendroff方法 方法 在时间和空间上都 具有二阶精度。 具有二阶精度。

二维时间推进网格

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法
非定常二维无粘流(欧拉方程非守恒形式): 非定常二维无粘流(欧拉方程非守恒形式):

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff显式推进求解 (沿时间方向进行泰勒级 显式推进求解 沿时间方向进行泰勒级 数展开): 数展开 :

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法

空间导数采用中心差分: 空间导数采用中心差分:

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法

求对时间t的二阶导数: 求对时间 的二阶导数: 的二阶导数 ( )

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法

[

]

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法
[

]

Lax-Wendroff方法 Lax-Wendroff方法
Lax-Wendroff显式推进求解 : 显式推进求解

6.2 MacCormack方法 MacCormack方法

MacCormack方法 MacCormack方法
MacCormack方法是一种显式有限差分 方法是一种显式有限差分 方法,适合于推进求解。 方法,适合于推进求解。 MacCormack方法在时间和空间上都 方法在时间和空间上都 具有二阶精度。 具有二阶精度。 MacCormack方法比 方法比Lax-Wendroff方 方法比 方 法应用起来更简单。 法应用起来更简单。

MacCormack方法 MacCormack方法
预估步 校正步

MacCormack方法 MacCormack方法

预估步:空间导数用向前差分计算。 预估步:空间导数用向前差分计算。

MacCormack方法 MacCormack方法
预估步:空间导数用向前差分计算。 预估步:空间导数用向前差分计算。

预估值: 预估值:

MacCormack方法 MacCormack方法
校正步:空间导数用向后差分计算。 校正步:空间导数用向后差分计算。

MacCormack方法 MacCormack方法

MacCormack方法 MacCormack方法

方法中, 在MacCormack方法中,预估步用向前差分, 方法中 预估步用向前差分, 校正步用向后差分;也可以预估步用向后差分, 校正步用向后差分;也可以预估步用向后差分, 校正步用向前差分。 校正步用向前差分。或者在时间推进解法的相 继两个时间步中轮流使用这两种办法。 继两个时间步中轮流使用这两种办法。

6.3 粘性流动、守恒形式和空间推进 粘性流动、

6.3.1 粘性流动

粘性流动
粘性流动的控制方程是N-S方程。 方程。 粘性流动的控制方程是 方程 对定常流动,N-S方程的数学性质更多地表现为 对定常流动, 方程的数学性质更多地表现为 椭圆型的,不能采用Lax-Wendroff方法和 椭圆型的,不能采用 方法和 MacCormack方法求解。 方法求解。 方法求解 对非定常流动,可以采用 对非定常流动,可以采用Lax-Wendroff方法或 方法或 MacCormack方法求解 方法求解N-S方程。 方程。 方法求解 方程

6.3.2 守恒形式

守恒形式
非定常守恒形式欧拉方程(二维): 非定常守恒形式欧拉方程(二维):

可以采用Lax-Wendroff方法或 方法或 可以采用 MacCormack方法求解 的分 方法求解U的分 方法求解 量在各时间步的值。 量在各时间步的值。

ρ ? ? ? ? ρu ? ? U =? ρv ? ? ? 2 ? ρ? e + v ?? ? ? ? ? 2 ?? ? ?? ?

6.3.3 空间推进

空间推进
定常守恒型二维欧拉方程: 定常守恒型二维欧拉方程:

对于亚声速流动, 对于亚声速流动,上述 方程是椭圆型的, 方程是椭圆型的,所有 空间推进方法都不适用, 空间推进方法都不适用, MacCormack方法也不 方法也不 适用。 适用。

空间推进
定常守恒型二维欧拉方程: 定常守恒型二维欧拉方程:

对于超声速流动, 对于超声速流动,上述方 程是双曲型的, 程是双曲型的,空间推进 方法适用, 方法适用,MacCormack 方法也适用。 方法也适用。

空间推进
定常守恒型二维欧拉方程: 定常守恒型二维欧拉方程:

MacCormack方法: 方法: 方法

空间推进

预测步:(向前差分) 预测步:(向前差分) :(向前差分

预估值: 预估值:

空间推进
预估值: 预估值:

空间推进
校正步:(向后差分) 校正步:(向后差分) :(向后差分

6.4 松弛法及其在低速无粘流动中的应用

松弛法及其在低速无粘流动中的应用

松弛法特别适合于求解椭圆型偏微分方程, 松弛法特别适合于求解椭圆型偏微分方程, 常被用来求解无粘亚声速的低速流动。 常被用来求解无粘亚声速的低速流动。

松弛法及其在低速无粘流动中的应用
考虑无粘不可压流体的二维无旋流动, 考虑无粘不可压流体的二维无旋流动,控 制方程为Laplace方程: 方程: 制方程为 方程

松弛法及其在低速无粘流动中的应用

松弛法是一种迭代法

上标n和 上标 和n+1表示迭代次数 表示迭代次数

松弛法及其在低速无粘流动中的应用

松弛法是一种迭代法

松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法

松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法

从左至右扫描

松弛法及其在低速无粘流动中的应用
松弛法是一种迭代法

当所有网格点处的 收敛。 收敛。

Φ in,+j1 ? Φ in, j

都小于一个预定的值时, 都小于一个预定的值时,迭代

松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。 快收敛的过程。

从左至右扫描

从下至上扫描

松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。 快收敛的过程。

ω是松弛因子,如果ω>1,叫做逐次超松弛法; 是松弛因子,如果ω ,叫做逐次超松弛法; 如果ω ,叫做逐次低松弛法。 如果ω<1,叫做逐次低松弛法。

松弛法及其在低速无粘流动中的应用
运用逐次松弛法可加 快收敛的过程。 快收敛的过程。

选取合适的ω 选取合适的ω值,可以减少迭代次数,从而减少计算 可以减少迭代次数, 时间。在某些问题中,迭代次数可减少到原来的1/30 时间。在某些问题中,迭代次数可减少到原来的

6.5 数值耗散、色散及人工粘性 数值耗散、

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程: 一维波动方程:

差分方程: 差分方程:

截断误差: 截断误差:

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
差分方程: 差分方程:

泰勒级数展开: 泰勒级数展开:

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
差分方程: 差分方程:

将泰勒级数展开代入差分方程得: 将泰勒级数展开代入差分方程得:

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
差分方程: 差分方程:

将泰勒级数展开代入差分方程得: 将泰勒级数展开代入差分方程得:

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
差分方程: 差分方程:

等号右边将对t的偏导数转化为对 的偏导数得 等号右边将对 的偏导数转化为对x的偏导数得: 的偏导数转化为对 的偏导数得:

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程(偏微分方程): 一维波动方程(偏微分方程):

差分方程: 差分方程:

偏微分方程(修正方程): 偏微分方程(修正方程):

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程(偏微分方程): 一维波动方程(偏微分方程):

差分方程: 差分方程:

差分方程的精确解是上述一维波动方程的数值解(含误差) 差分方程的精确解是上述一维波动方程的数值解(含误差)

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程(修正方程): 偏微分方程(修正方程):

差分方程: 差分方程:

差分方程的精确解是上述修正方程的精确解(不含误差) 差分方程的精确解是上述修正方程的精确解(不含误差)

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
一维波动方程(偏微分方程): 一维波动方程(偏微分方程):

差分方程: 差分方程:

偏微分方程(修正方程): 偏微分方程(修正方程):

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程(修正方程): 偏微分方程(修正方程):

修正方程等号右端的项是截断误差, 修正方程等号右端的项是截断误差,如果截断误差的主项 是偶数阶导数,数值解将主要表现出耗散行为; 是偶数阶导数,数值解将主要表现出耗散行为;如果主项 是奇数阶导数,数值解将主要表现出色散行为。 是奇数阶导数,数值解将主要表现出色散行为。

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程(修正方程): 偏微分方程(修正方程):

等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用, 等号右端的偶数阶导数项起数值耗散的作用,奇数阶导数 项起数值色散的作用。 项起数值色散的作用。

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程(修正方程): 偏微分方程(修正方程):

数值耗散的作用很象物理粘性, 数值耗散的作用很象物理粘性,二阶导数项前的系数被称 为人工粘性。 为人工粘性。

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性

数值耗散的影响会将波抹平

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性

色散导致波的不同相位在传播中产生畸变, 色散导致波的不同相位在传播中产生畸变, 表现为波前和波后出现振荡。 表现为波前和波后出现振荡。

数值耗散、 数值耗散、色散及人工粘性
偏微分方程(修正方程): 偏微分方程(修正方程):

尽管人工粘性降低了解的精度, 尽管人工粘性降低了解的精度,但通常有助于提高解的稳 定性。 定性。

6.6 交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程: 考虑二维热传导方程:

采用Crank-Nicolson方法(隐式): 方法(隐式): 采用 方法

等号右端有五个未知量,不能得到三对角方程组, 等号右端有五个未知量,不能得到三对角方程组,不能采 用托马斯算法(追赶法)求解。 用托马斯算法(追赶法)求解。

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程: 考虑二维热传导方程:

第一步: 第一步:

空间导数采用中心差分,只对x的 时间步长为 ,空间导数采用中心差分,只对 的 导数采用隐式处理。 导数采用隐式处理。

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
第一步: 第一步:

简化为三对角形式

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
第一步: 第一步: 对每一个固定的j,对所有 对每一个固定的 , 联立形成方程组。 的i联立形成方程组。 联立形成方程组 对不同的j,重复上述过程。 对不同的 ,重复上述过程。

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程: 考虑二维热传导方程:

第二步: 第二步:

空间导数采用中心差分,只对y的 时间步长为 ,空间导数采用中心差分,只对 的 导数采用隐式处理。 导数采用隐式处理。

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
第二步: 第二步:

简化为三对角形式

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
第二步: 第二步: 对每一个固定的i,对所有 对每一个固定的 , 联立形成方程组。 的j联立形成方程组。 联立形成方程组 对不同的i,重复上述过程。 对不同的 ,重复上述过程。

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程: 考虑二维热传导方程:

两步结束之后, 在时间方向上推进了一个时间步长 在时间方向上推进了一个时间步长? 两步结束之后,T在时间方向上推进了一个时间步长?t.

推进过程只涉及三对角方程组。 推进过程只涉及三对角方程组。

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程: 考虑二维热传导方程:

第一步,差分方程的 方向是隐式的 方向是隐式的。 第一步,差分方程的x方向是隐式的。 第二步,差分方程的 方向是隐式的 方向是隐式的。 第二步,差分方程的y方向是隐式的。 所以这种方法叫交替方向隐式方法(Alternating 所以这种方法叫交替方向隐式方法 Direction Implicit, ADI)

交替方向隐式(ADI)方法 交替方向隐式(ADI)方法
考虑二维热传导方程: 考虑二维热传导方程:

ADI格式对 格式对t,x,y都是二阶精度的 格式对 都是二阶精度的 截断误差为: 截断误差为:

6.7 压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用

压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用

不可压无粘流动受椭圆型偏微分方程控制( 不可压无粘流动受椭圆型偏微分方程控制(不可压欧 拉方程),松弛法是求解椭圆型问题经典的数值方法, 拉方程),松弛法是求解椭圆型问题经典的数值方法, ),松弛法是求解椭圆型问题经典的数值方法 本质上是一个迭代过程。 本质上是一个迭代过程。

压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用

不可压粘性流动的控制方程是不可压的N- 方程 方程, 不可压粘性流动的控制方程是不可压的 -S方程,这 个方程具有椭圆型和抛物型的混合特性, 个方程具有椭圆型和抛物型的混合特性,松弛法不是 特别适用。 特别适用。

压力修正法及其在不可压粘性流动中的应用

压力修正法也是一种迭代过程,在不可压 - 方程的 压力修正法也是一种迭代过程,在不可压N-S方程的 数值求解中得到了广泛的应用。 数值求解中得到了广泛的应用。

6.7.1 不可压N-S方程 不可压N

不可压N 不可压N-S方程
假设ρ 常数 常数, 常数 可压缩N- 方程转化为不可 常数, 假设ρ=常数,?=常数,可压缩 -S方程转化为不可 方程: 压N-S方程: - 方程

上述四个方程封闭, 上述四个方程封闭,含

四个未知数。 四个未知数。

6.7.2 交错网格的应用

交错网格的应用
二维不可压流体的连续 性方程为: 性方程为:

中心差分格式为: 中心差分格式为:

速度会出现右图的 棋盘式分布

右上角是u的值, 右上角是 的值, 的值 左下角是v的值 左下角是 的值

交错网格的应用
可压流动中不会发生右 图的问题, 图的问题,因为连续性 方程中包含了密度对时 间和空间的变化。 间和空间的变化。

r ?ρ + ? ρV = 0 ?t

( )

在可压缩流动中, 在可压缩流动中,右图 速度的棋盘分布经过一 个时间步就会被抹平。 个时间步就会被抹平。

右上角是u的值, 右上角是 的值, 的值 左下角是v的值 左下角是 的值

交错网格的应用
二维不可压流体压力梯 度采用中心差分: 度采用中心差分:

压力会出现右图的 棋盘式分布

棋盘式的离散压力分 布

交错网格的应用

在交错网格上使用中心 差分就不会出现速度和 压力的棋盘式分布问题。 压力的棋盘式分布问题。

交错网格

交错网格的应用

在(i-1,j), (i,j), (i+1,j), (i,j+1),(i,j-1)等图中的实 等图中的实 心原点上计算压力

交错网格

交错网格的应用
在(i-1/2,j), (i+1/2,j)等图 等图 中的空心原点上计算u 中的空心原点上计算 在(i,j-1/2), (i,j+1/2)等图 等图 中的空心原点上计算v 中的空心原点上计算

交错网格

交错网格的应用

连续性方程在网格点(i,j) 连续性方程在网格点 的中心差分表达式为: 的中心差分表达式为:

交错网格

6.7.3 压力修正法的基本原理

压力修正法的基本原理
压力修正法本质上是一种迭代法,思路如下: 压力修正法本质上是一种迭代法,思路如下: 1)迭代开始时,先给定压力的初始近似p* )迭代开始时,先给定压力的初始近似

2)用p*的值从动量方程中求解 ) 的值从动量方程中求解u,v,w,得到与 有关 得到与p*有关 的值从动量方程中求解 得到与 的u*,v*,w*

压力修正法的基本原理
压力修正法本质上是一种迭代法,思路如下: 压力修正法本质上是一种迭代法,思路如下: 3)将u*,v*,w*代入连续性方程,它们不一定满足连 ) 代入连续性方程, 代入连续性方程 续性方程。 ,加 续性方程。用连续性方程构造压力的修正量 加 到p*上,使速度场满足连续性方程。 上 使速度场满足连续性方程。 修正后的压力为 修正后的速度为

速度修正量

可以从

得到。 得到。

压力修正法的基本原理
压力修正法本质上是一种迭代法,思路如下: 压力修正法本质上是一种迭代法,思路如下: 4) 用步骤3)中修正后的压力做为新的 4) 用步骤3)中修正后的压力做为新的p*,回到步 中修正后的压力做为新的p*, 骤2)。重复这个过程,直到速度场满足连续性方程 。重复这个过程, 为止。 为止。 这样就得到修正好了的流场。 这样就得到修正好了的流场。

6.7.4 压力修正公式

压力修正公式
压力修正公式为: 压力修正公式为:

压力修正公式
压力修正公式为: 压力修正公式为:

上述压力修正公式具有椭圆型的性质, 上述压力修正公式具有椭圆型的性质,可以用松弛 法数值求解。 法数值求解。 在不可压流场中,压力的扰动将会传遍整个流场, 在不可压流场中,压力的扰动将会传遍整个流场, 这与上述方程的椭圆型性质相吻合。 这与上述方程的椭圆型性质相吻合。

压力修正公式
压力修正公式为: 压力修正公式为:

压力修正公式是压力修正 分表达式。 分表达式。

的泊松方程的中心差

上述泊松方程中的二阶偏导数用中心差分替代。 上述泊松方程中的二阶偏导数用中心差分替代。 式中: 式中: Q = d / ?t

压力修正公式
压力修正 的泊松方程(为椭圆型 : 的泊松方程 为椭圆型): 为椭圆型

Q = d / ?t

d相当于一个质量源项。 相当于一个质量源项。 相当于一个质量源项

6.7.5 数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法

SIMPLE是Semi-implicit method for pressure-linked 是 equation (压力耦合方程的半隐式算法 的缩写。 压力耦合方程的半隐式算法)的缩写 压力耦合方程的半隐式算法 的缩写。

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
SIMPLE算法的步 算法的步 骤如下: 骤如下: 1)在右图所示的交 ) 错网格上分别给出

(p )

* n

,

( ρu )

* n

,

( ρv )

* n

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
SIMPLE算法的步 算法的步 骤如下: 骤如下: 2)求出 ( ρ u )
* n +1

)

,

( ρv )

* n +1

采用动量方程求解。 采用动量方程求解。

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
2) )

( ρu )

* n +1

的求法: 的求法:

X方向的动量方程: 方向的动量方程: 方向的动量方程

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
2) )

( ρu )

* n +1

的求法: 的求法:

在a点: 点

在b点: 点

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
X方向的动量方程: 方向的动量方程: 方向的动量方程

差分方程: 差分方程:

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
X方向的动量方程: 方向的动量方程: 方向的动量方程

差分方程: 差分方程:

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
2) )

( ρu )

* n +1

的求法: 的求法:

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
2) )

( ρu )

* n +1

的求法: 的求法:

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
2) )

( ρv )

* n +1

的求法: 的求法:

Y方向的动量方程: 方向的动量方程: 方向的动量方程

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
2) )

( ρv )

* n +1

的求法: 的求法:

在c点: 点

在d点: 点

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
Y方向的动量方程: 方向的动量方程: 方向的动量方程

差分方程: 差分方程:

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
2) )

( ρv )

* n +1

的求法: 的求法:

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
3)将 ( ρ u ) 和 ( ρv 部网格点上求解
* n +1

)

* n +1

)

代入压力修正公式, 代入压力修正公式,在所有内

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
SIMPLE算法的步 算法的步 骤如下: 骤如下: 4)在所有内部网格 ) 点上计算 p n +1

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
SIMPLE算法的步 算法的步 骤如下: 骤如下: 5)将 ) 作为新的

,重复步骤 (2)至步骤 ,直到 至步骤(5), 至步骤 收敛。 收敛。收敛的合理 标准是质量源项d 标准是质量源项 趋于零。 趋于零。

数值方法:SIMPLE方法 数值方法:SIMPLE方法
对于某些应用,压力修正公式会发散, 对于某些应用,压力修正公式会发散,而不是收 此时,可采用低松弛: 敛,此时,可采用低松弛:

为低松弛因子,建议取为 为低松弛因子,建议取为0.8

6.7.6 压力修正法的边界条件

压力修正法的边界条件
对不可压粘性流动, 对不可压粘性流动, 如果给定下列边界条 件,则物理问题是唯 一确定的: 一确定的:

压力修正法的边界条件
1)在入流边界上,p )在入流边界上, 给定, 是变化的 是变化的。 和v给定,u是变化的。 给定 为零

给定, 给定,并 保持不变

压力修正法的边界条件
2)在出流边界上,p )在出流边界上, 给定, 和 是变化的 是变化的。 给定,u和v是变化的。 为零

压力修正法的边界条件

3)在壁面上,给定 )在壁面上, 粘性无滑移条件,于 粘性无滑移条件, 是壁面速度为零。 是壁面速度为零。

压力修正法的边界条件
3)在壁面上: )在壁面上:

? ? 2v ? ? 2 ? =0 ? ?x ? w

在壁面附近, 很小, 在壁面附近, 很小,假设

? ? 2v ? ? 2 ? = 0 ,则有 ? ?y ? w

压力修正法的边界条件

3)在壁面上: )在壁面上:

压力修正法的边界条件

压力修正方程具有椭 圆型性质, 圆型性质,在计算区 域的整个边界上都给 定了关于压力的边界 条件。 条件。

6.8 用于CFD的计算机绘图技术 用于CFD的计算机绘图技术

6.8.1 xy图 xy图

6.8.2 等值线图

6.8.3 向量图和流线图

向量图和流线图

高超声速飞行器表面上 的三维向量图和流线图

6.8.4 网格图

机翼绕流计算的三维网格图

6.8.5 组合图


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计算流体力学_CFD_在化学工程中的应用_尹晔东.pdf
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计算流体力学_CFD_的通用软件_翟建华.pdf
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计算流体力学(CFD)的通用软件.pdf
计算流体力学(CFD)的通用软件 - 第 26 卷第 2 期 2005 年 6
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1 第一讲 计算流体力学简介.pdf
1 第一讲 计算流体力学简介_物理_自然科学_专业资料。计算流体力学计算...实验13,500小时 ● 1980年代,CFD逐渐发展, 部分取代实验 YF-23,风洞实验5,...
计算流体力学(CFD)概论_图文.pdf
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机电一体化系统设计第三章 计算流体力学(CFD)简介_图文.ppt
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