当前位置:首页 >> 高考 >>

2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式教师用书理!


第三节
考纲要求

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 真题举例 命题角度

.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;

2016,全国卷Ⅱ,9,5 分(两角和差与 二倍角公式) 2015,全国卷Ⅰ,2,5 分(两角差正弦 公式) 2014,全国卷Ⅱ,14,5 分(两角和与差 三角公式、三角函数最值) 2014,全国卷Ⅱ,15,5 分(给值求值)

.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;

和差角公式、二倍角公

.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,

式常与三角函数的求

导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;

值、化简交汇命题,有

.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化

时也与解三角形、三角

积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)。

函数的性质交汇考查。

-1-

微知识 小题练

自|主|排|查 1.两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ 。 (2)cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ 。 tanα +tanβ (3)tan(α +β )= 。 1-tanα tanβ 2.两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinα cosβ -cosα sinβ =sin(α -β )。 (2)cosα cosβ +sinα sinβ =cos(α -β )。 tanα -tanβ (3) =tan(α -β )。 1+tanα tanβ 3.常用公式的变化形式 (1)asinα +bcosα = a +b sin(α +φ ), 其中 cosφ =
2 2

a a +b
2 2

,sinφ =
2 2

b a +b2
2

或 asinx+bcosx= a +b cos(x-θ ), 其中 cosθ =

b a +b
2 2

,sinθ =

a a +b2
2



(2)tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ )。 1-tanα ?π ? (3) =tan? -α ?。 4 1+tanα ? ? 1+tanα ?π ? (4) =tan? +α ?。 1-tanα ?4 ? 微点提醒 应用公式时要三看:角,名,形。 α ?α ? (1)角:观察角之间的关系,如 α =(α +β )-β , =2? ?等,通过观察角之间的差 2 ?4? 别与联系,把角进行合理的拆分与组合,从而正确使用公式。 (2)名:观察三角函数的名称之间的关系,如 sinα ,cosα ,tanα 的关系,常常要用到 同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系,确定使用的公式,常见的有“切化 弦”“弦化切”等。 (3)形:观察已知与未知的表达式之间的关系,主要是公式的变形应用。分析表达式的结
-2-

构特征,寻求变形的方向,迅速准确地使用公式。 小|题|快|练 一 、走进教材 1.(必修 4P131 练习 T5 改编)计算:sin108°cos42°-cos72°sin42°=________。 【解析】 原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42° =sin72°cos42°-cos72°sin42° =sin(72°-42°) =sin30° 1 = 。 2 【答案】 1 2

5 ? 4?π ?π ? 2.(必修 4P137A 组 T5 改编)已知 cos? +α ?=- ? <α < π ?,则 cosα =________。 6 ? 5? 3 ?6 ? π 5 【解析】 因为 <α < π , 3 6 π π 4 ?π ? 所以 <α + <π ,又 cos? +α ?=- , 2 6 5 ?6 ?

?π ? 所以 sin? +α ?= ?6 ?

? 3 2?π 1-cos ? +α ?= , ?6 ? 5

?? π ? π? 所以 cosα =cos?? +α ?- ? ? 6? ?? 6 ?π ? π ?π ? π =cos? +α ?cos +sin? +α ?sin 6 6 ?6 ? ?6 ?
4 3 3 1 3-4 3 =- × + × = 。 5 2 5 2 10 【答案】 3-4 3 10

1 10 3.(必修 4P146A 组 T3)已知 α ,β 都是锐角,tanα = ,sinβ = ,则 α +2β 的大 7 10 小为________。 【解析】 因为 β 为锐角,且 sinβ = 10 1 2tanβ ,所以 tanβ = ,所以 tan2β = = 2 10 3 1-tan β

1 1 3 2× + 3 7 4 3 tanα +tan2β = 。故 tan(α +2β )= = =1。又因为 β 为锐角,且 sinβ 1-tanα tan2β 1 3 ?1?2 4 1- × 1-? ? 7 4 ?3?

-3-



10 π 1 π 1 π 3 π <sin = ,所以 0<2β < 。因为 α 为锐角,且 tanα = <tan = ,所以 0<α < 。 10 6 2 3 7 6 3 6

π π 所以 0<α +2β < ,所以 α +2β = 。 2 4 【答案】 π 4

二、双基查验 1.sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是( A. 1 2 ) B. 3 2 3 2

1 C.- 2 【解析】 sin34°sin26°-cos34°cos26° =-(cos34°cos26°-sin34°sin26°) 1 =-cos(34°+26°)=-cos60°=- 。故选 C。 2 【答案】 C sinα +cosα 1 2.若 = ,则 tan2α 等于( sinα -cosα 2 3 A.- 4 4 C.- 3 )

D.-

B. D.

3 4 4 3

sinα +cosα 1 tanα +1 1 【解析】 由 = ,等式左边分子、分母同除以 cosα 得, = , sinα -cosα 2 tanα -1 2 解得 tanα =-3, 2tanα 3 则 tan2α = = 。故选 B。 2 1-tan α 4 【答案】 B 1 1 3.(2015·重庆高考)若 tanα = ,tan(α +β )= ,则 tanβ 等于( 3 2 A. C. 1 7 5 7 B. D. 1 6 5 6 )

【解析】 tanβ =tan[(α +β )-α ]= 1+

α +β -tanα α +β α

-4-

1 1 - 2 3 1 = = 。故选 A。 1 1 7 1+ × 2 3 【答案】 A

?π ? 4.设 sin2α =-sinα ,α ∈? ,π ?,则 tan2α 的值是________。 ?2 ?
【解析】 ∵sin2α =2sinα cosα =-sinα ,α ∈? 1 ∴cosα =- 。 2 ∴sinα = 3 ,tanα =- 3。 2 2tanα -2 3 = 2 1-tan α 1- - 3 3 = 3。

?π ,π ?, ? ?2 ?

∴tan2α = 【答案】

2

5.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=__________。 tan20°+tan40° 【解析】 ∵tan(20°+40°)= = 3, 1-tan20°tan40° ∴ 3- 3tan20°tan40°=tan20°+tan40°, 即 tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°= 3。 【答案】 3

微考点 大课堂

考点一 角度一:直接运用公式

三角公式的运用…………多维探究

?π ? 3 【典例 1】 (2016·全国卷Ⅱ)若 cos? -α ?= ,则 sin2α =( ?4 ? 5
A. 7 25 B. 1 5

)

1 C.- 5 【解析】 因为 cos?

7 D.- 25

?π -α ?=cosπ cosα +sinπ ·sinα = 2(sinα +cosα )=3,所 ? 4 4 2 5 ?4 ?

-5-

3 2 18 7 以 sinα +cosα = ,所以 1+sin2α = ,所以 sin2α =- 。故选 D。 5 25 25 【答案】 D 角度二:公式的逆用与变形应用 1 ? 2?π 【典例 2】 (1)已知 sinα +cosα = ,则 sin ? -α ?=( 3 ?4 ? A. C. 1 18 8 9 B. D. 17 18 2 9 )

(2)计算 tan25°+tan35°+ 3tan25°·tan35°=________。 1 【解析】 (1)∵sinα +cosα = , 3 1 2 ∴(sinα +cosα ) =1+2sinα cosα = , 9 8 ∴sin2α =- , 9

?π 1-cos? -2α ?2 ? 2?π ∴sin ? -α ?= 4 2 ? ?
(2)因为 tan(25°+35°)=

? ? ? 1-sin2α
= 2

17 = 。故选 B。 18

tan25°+tan35° , 1-tan25°tan35°

所以 tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°) = 3- 3tan25°tan35°, 所以 tan25°+tan35°+ 3tan25°tan35°= 3。 【答案】 (1)B (2) 3 角度三:角的变换 【典例 3】 (1)设 α 、β 都是锐角,且 cosα = 3 sin(α +β )= ,则 cosβ 等于( 5 A. C. 2 5 25 2 5 2 5 或 25 5 ) B. D. 2 5 5 5 5 或 5 25 5 , 5

π? 7π ? 4 ? ? (2)已知 cos?α - ?+sinα = 3,则 sin?α + ?的值是________。 6 6 ? 5 ? ? ?

-6-

2 5 2 【解析】 (1)依题意得 sinα = 1-cos α = , 5 cos(α +β )=± 1-sin
2

α +β

4 =± 。 5

又 α ,β 均为锐角,所以 0<α <α +β <π ,cosα >cos(α +β )。 4 5 4 4 因为 > >- ,所以 cos(α +β )=- 。 5 5 5 5 于是 cosβ =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα 4 5 3 2 5 2 5 =- × + × = 。故选 A。 5 5 5 5 25 π? 4 ? (2)∵cos?α - ?+sinα = 3, 6 5 ? ? ∴ 3 3 4 cosα + sinα = 3, 2 2 5

3 ?1 ? 4 3? cosα + sinα ?= 3, 2 ?2 ? 5

?π ? 4 3sin? +α ?= 3, ?6 ? 5 ?π ? 4 ∴sin? +α ?= , ?6 ? 5
7π ? 4 ? ?π ? ∴sin?α + ?=-sin? +α ?=- 。 6 ? 5 ? ?6 ? 4 【答案】 (1)A (2)- 5 反思归纳 1.三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式。 (2)tanα tanβ ,tanα +tanβ (或 tanα -tanβ ),tan(α +β )(或 tan(α -β ))三者 中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用。 2.利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。 考点二 角度一:给值求值 π? 4 ? ? π π? 【典例 4】 (1)已知 sin?α + ?=- ,α ∈?- , ?,求 sinα 的值。 6 5 ? ? ? 2 2?
-7-

三角函数求值…………多维探究

π 3π 3 12 (2)已知 <β <α < ,sin(α +β )=- ,cos(α -β )= ,求 cos2α 的值。 2 4 5 13

? π π? 【解析】 (1)∵α ∈?- , ?, ? 2 2?
π ? π 2π ? ∴α + ∈?- , ?。 3 ? 6 ? 3 π? 4 π ? π ? ? 又 sin?α + ?=- <0,∴α + ∈?- ,0?。 6? 5 6 ? 3 ? ? π? ? ∴cos?α + ?= 6? ? π? 3 2? 1-sin ?α + ?= 。 6? 5 ?

π? π? ?? ∴sinα =sin??α + ?- ? 6? 6? ? ? π? π π? π ? ? =sin?α + ?cos -cos?α + ?sin 6? 6? 6 6 ? ? 3 3 1 4 3+3 ? 4? =?- ?· - · =- 。 5 2 5 2 10 ? ? π (2)∵0<α -β < , 4 ∴sin(α -β )= 1-cos 3π ∵π <α +β < , 2 ∴cos(α +β )=- 1-sin
2 2

α -β



?12?2 5 1-? ? = 。 ?13? 13

α +β

=-

4 ? 3?2 1-?- ? =- 。 5 5 ? ?

于是 cos2α =cos[(α +β )+(α -β )] 33 ? 4? 12 ? 3? 5 =cos(α +β )cos(α -β )-sin(α +β )sin(α -β )=?- ?× -?- ?× =- 。 65 ? 5? 13 ? 5? 13 4 3+3 【答案】 (1)- 10 角度二:给值求角 3 4 【典例 5】 已知 α ,β 为锐角,sinα = ,cos(α +β )=- ,求 2α +β 。 5 5 3 4 ? π? 【解析】 ∵sinα = ,α ∈?0, ?,∴cosα = 。 2? 5 5 ? 4 3 ∵cos(α +β )=- ,α +β ∈(0,π ),∴sin(α +β )= 。 5 5 ∴ sin(2α + β ) = sin[α + (α + β )] = sinα cos(α + β ) + cosα sin(α + β ) = 3 5 33 (2)- 65

-8-

? 4? 4 3 ×?- ?+ × =0。 ? 5? 5 5 ? 3π ? 又 2α +β ∈?0, ?。∴2α +β =π 。 2 ? ?
【答案】 π 反思归纳 1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,

但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关 系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。 2.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 最后确定角。 考点三 三角恒等变换的综合应用

π? ? 2 【典例 6】 已知函数 f(x)=- 2sin?2x+ ?+6sinxcosx-2cos x+1,x∈R。 4? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值。 2? ?
π π 【解析】 (1)f(x)=- 2sin2x·cos - 2cos2x·sin +3sin2x-cos2x=2sin2x- 4 4 π? ? 2cos2x=2 2sin?2x- ?。 4? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π 。 2

π ? π 3 ? ? π? (2)∵x∈?0, ?,∴2x- ∈?- , π ?, 2? 4 ? 4 4 ? ?

? 3π ? ?3π π ? ? 3π ? 所以 f(x)在区间?0, ?上是增函数, 在区间? , ?上是减函数, 又 f(0)=-2, f? ? 8 ? 2? ? ? 8 ? 8 ? ?π ? ? π? =2 2,f? ?=2,故函数 f(x)在?0, ?上的最大值为 2 2,最小值为-2。 2? ?2? ?
【答案】 (1)π 反思归纳 (2)最大值为 2 2,最小值为-2

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过

变换把函数化为 y=Asin(ω x+φ )的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特 征,注意利用整体思想解决相关问题。

? π? 【变式训练】 (2016·沈阳质检)已知函数 f(x)=2sinxsin?x+ ?。 6? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;

-9-

? π? (2)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的值域。 2? ?
【解析】 3 。 2 所以函数 f(x)的最小正周期为 T=π 。 π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 12 12 所以函数 f(x)的单调递增区间是 (1)f(x)=2sinx? π? 1-cos2x 1 1 ? 3 ? ? + sin2x=sin?2x- ?+ sinx+ cosx?= 3× 3? 2 2 ? 2 ?2 ?

?-π +kπ ,5π +kπ ?,k∈Z。 ? 12 ? 12 ? ?
π ? π 2π ? ? π? (2)当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?, 2 3 ? 3 ? 3 ? ? π? ? 3 ? ? sin?2x- ?∈?- ,1?, 3 ? ? ? 2 ?

f(x)∈?0,1+

? ?

3? ?。 2?

故 f(x)的值域为?0,1+ 【答案】 (2)?0,1+

? ?

3? ?。 2? 5π ? π ? 单 调 递 增 区 间 为 ?- +kπ , +kπ ? k ∈ Z 12 ? 12 ?

(1) 最 小 正 周 期 为 π

? ?

3? ? 2?

微专题 巧突破

在解决三角函数式的求值问题时,要注意题目中角的范围的限制,特别是进行开方运算 时一定要注意所求三角函数值的符号。另外,对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题, 解题时要加强对审题深度的要求与训练,以防出错。 三角函数求值忽视角的范围致误 β ? π 1 ? ?α ? 2 【典例】 (1)已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,则 cos(α 2? 2 9 ? ?2 ? 3 +β )的值为________。
- 10 -

2 3 (2)已知在△ABC 中,sin(A+B)= ,cosB=- ,则 cosA=________。 3 4 α β 【易错分析】 (1)角 -β ,α - 的范围没有确定准确,导致开方时符号错误。 2 2 (2)对三角形中角的范围挖掘不够,忽视隐含条件,B 为钝角。 π 【解析】 (1)∵0<β < <α <π , 2 π α π π β ∴- < -β < , <α - <π , 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos? -β ?= ?2 ?
β ? ? sin?α - ?= 2? ?

5 ? 2?α 1-sin ? -β ?= , ?2 ? 3 β ? 4 5 2? 1-cos ?α - ?= , 2? 9 ?

β ? ?α α +β ?? ?? ∴cos =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ?? β ? ?α β ? ?α ? ? ? ? =cos?α - ?cos? -β ?+sin?α - ?sin? -β ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?- ?× + × = , 9 3 9 3 27 ? ? ∴cos(α +β )=2cos
2

α +β 49×5 239 -1=2× -1=- 。 2 729 729

3 (2)在△ABC 中,∵cosB=- , 4 ∴ ∵ π 7 2 <B<π ,sinB= 1-cos B= 。 2 4 π 2 <B<A+B<π ,sin(A+B)= , 2 3
2

∴cos(A+B)=- 1-sin ∴cosA=cos[(A+B)-B]

A+B =-

5 , 3

=cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB =?-

? ?

7 3 5+2 7 5? ? 3? 2 。 ?×?-4?+3× 4 = 12 3? ? ?

239 3 5+2 7 【答案】 (1)- (2) 729 12 1 【变式训练】 (2016·江淮十校联考)已知 sinα +cosα = , α , β ∈(0, π ), 且 cosβ 5

- 11 -

3 = ,则 sin(α +β )=( 5 16 A.- 25 C.0

) 24 B.- 25 D. 9 25

1 12 【解析】 由 sinα +cosα = ,两边平方后可得 sinα ·cosα =- ,α ∈(0,π )可 5 25 3 4 3 ?π ? 2 2 得 α ∈? ,π ?,结合 sin α +cos α =1,可得 cosα =- ,sinα = ,由 cosβ = >0,β 5 5 5 ?2 ? 4 ? π? ∈(0,π ),可得 β ∈?0, ?,sinβ = , 2? 5 ? 故 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ =0。 【答案】 C

- 12 -


赞助商链接
相关文章:
...一轮复习三角函数与解三角形4.3两角和与差的正弦余...
2018高考数学一轮复习三角函数解三角形4.3两角和与差的正弦余弦和正切公式二倍角公式真题演练集训理_数学_高中教育_教育专区。2018高考数学轮复习 第四章...
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两...
2019版高考数学轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课后作业理 - 3 .5 两角和与差的正弦余弦与正切公式 [重点保分 两级...
版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形35两角和与差...
高考数学轮复习第3章三角函数解三角形35两角和与差的正弦余弦与正切公式课后作业文(含答案)_数学_初中教育_教育专区。3.5 两角和与差的正弦余弦与正切公式...
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两...
2019版高考数学轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课后作业文_高考_高中教育_教育专区。3.5 两角和与差的正弦余弦与正切公式...
版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形35两角和与差...
高考数学轮复习第3章三角函数解三角形35两角和与差的正弦余弦与正切公式课后作业文05221121-含答案_高考_高中教育_教育专区。版高考数学轮复习第3章三角函数...
浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第...
浙江专版2018高考数学轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式课时分层训练_数学_高中教育_教育专区。课时分层训练(十九) 两角和与差的...
浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第...
浙江专版2018高考数学轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式 1...
...解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式学...
2018高考数学总复习第章三角函数解三角形第5讲两角和与差的正弦余弦和正切公式学案!_高考_高中教育_教育专区。第5讲最新考纲 两角和与差的正弦余弦和...
...第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、...
【步步高】2017版高考数学轮复习 第章 三角函数解三角形 4.5 两角和与差的正弦余弦和正切公式 文_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 ...
第四章三角函数与解三角形4.3两角和与差的正弦余弦和正...
第四章三角函数解三角形4.3两角和与差的正弦余弦和正切公式二倍角公式_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专为2019毕业生精心编辑的数学复习资料 ...
更多相关文章: