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2017年北京市平谷高三一模数学文


平谷区2016-2017学年度第二学期质量监控试卷 高三数学(文) 第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分;在每个小题列出的四个选项中, 只有一项是符合要求的.) 1.已知集合 M ? {0,1} ,N ?{x |x ? 2n,n ? Z} ,则 M ? N 为 A. ?0? B. ?1? C. ?0,1? D. ?0,1,2? 2.下列函数在 (0,??) 上为减函数的是 A. y ? cos x B. y ? ? x2 ? 2x
开始

输入 a,b

C. y ? log 1 ( x ? 1) D.
2

y?e

?x

3. cos

17π 等于 6
1 2
B.

k ? a, s ? 1

k ?k?2
3 2

A. ?

1 3 C. ? D. 2 2

k≥ ab ? 2?

输出 s



s ? s?k

4.执行如右图所示的程序框图,当 a ? 2, b ? 3 时, 输出 s 值为 A. 6B. 8 C. 24 D. 36

结束

?y ? 1 ? 5.已知实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 时,目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
A.3 B.6C.8 D.9 6.“k> ?

3 2 2 ”是“直线 y ? k ( x ? 1) 与圆 ( x ?1) ? y ? 1 相交”的 3

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设 e1 、 e 2 为同一平面内两个不共线向量,且 a ? 2e1 + 3e2 , b ? ke1 - 4e2 若 a ? b 则 k 的值 为 A. ?

8 3

B. ?

4 3

C. ?

3 4

D. ?

3 2

数学(文)第 1 页(共 13 页)

8、某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了 5 次涨停(每次 上涨 10%),又经历了 5 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他 费用)为 A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.已知 i 为虚数单位,那么 (1 ? 2i)2 等于_ D.无法判断盈亏情况

10.在区间 [0, π ] 上随机取一个数 x ,使 sin x≥

3 成立的概率 2

11.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 2x ? 0 ,则 a ? a2
π ,SΔABC ? 6 3 , 3

12.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 对边分别为 a、b、c ,已知 a ? 4,B ? 则b ? 13. 已知(如下图)为某四棱锥的三视图,则该几何体体积为

14.已知函数 f ( x) ? ?

? (4 ? a) x ? 3 x ?5 ? a

( x ? 6) , ( x ? 6)

(1)当 a =2 时,若 f ( x) ? 1 则 x =; (2)若数列 {an } , an ? f (n) (n ? N * ) ,且数列 {an } 是递增数列,则实数 a 的取值范围 是. 数学(文)第 2 页(共 13 页)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .)

15.(本小题满分 13 分)
已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) ? 0 时 x 的集合; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的最小值.

? π? ? 2?

数学(文)第 3 页(共 13 页)

16. (本小题满分 13 分)
已知公差不为零的等差数列 {an } 满足 a6 ? 14 ,且 a1, a3 , a7 为等比数列 {bn } 的前三项. (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

数学(文)第 4 页(共 13 页)

17.(本小题共 13 分) 某人的手机使用的是每月 300M 流量套餐,下面折线图记录了某人在去年 1 月到 12 月的流 量使用情况。其中横轴代表月份,纵轴代表流量.
?

流量 M 350 300 250 300 k 300

y
210 165? 100
? ?

240
?

275
?

? ? ?

?

280

250 k 200 200 k 150

225 165
?

?

? ?

135? 150k 100 100k 50k 50 ? 50

90?

O

1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

x

(Ⅰ)若在一年中随机取一个月的流量使用情况,求使用流量不足 180M 的概率; (Ⅱ) 若从这 12 个月中随机选择连续的三个月进行观察, 求所选三个月 的流量使用情况中 , ..... . 中间月 的流量使用情况低于另两月的概率; ... (Ⅲ) 由折线图判断从哪个月开始,连续四个月的流量使用的情况方差最大. (结论不要求证 明)

数学(文)第 5 页(共 13 页)

18.(本小题共 14 分)

PD ⊥平面 ABCD , 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60? ,

PD ? AD ? 3 , PM ? 2MD, AN ? 2 NB ,
(Ⅰ)求证:直线 AM // 平面 PNC ; (Ⅱ)在 AB 上是否存在一点 E ,使 CD ? 平面 PDE ,若存在,确定 E 的位置,并证明, 若不存在,说明理由; (Ⅲ)求三棱锥 C ? PDA 的体积.

P

M D C

A

E N

B

数学(文)第 6 页(共 13 页)

19.(本小题共 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 6 , O 为坐标原点. ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 E( 3,1) ,离心率为 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 C 上一动点,点 A(3, 0) 与点 P 的垂直平分线交 y 轴于点 B ,求 | OB | 的最小值.

数学(文)第 7 页(共 13 页)

20.(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? k ) x ?

1 . ex

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 k ? 0 时,过点 A(0, t ) 存在函数曲线 f ( x ) 的切线,求 t 的取值范围.

数学(文)第 8 页(共 13 页)

平谷区 2016-2017 学年度第二学期质量监控试题 高三数学(文)参考答案
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(两空题,第一空3分,第二空2分)

1 1 ;11. ; 3 2 8 12. 2 7 ; 13. ; 14. -1 , (3,4) 3 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 15.(本小题满分 13 分)
9. ?3 ? 4i ;10. (Ⅰ)解:

f ( x) ?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? ? . 2 2 2 2 2 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) …………….5 分 2 2 6
?
6 )?0 k? ? ? 2 12

=

因为:f(x)=0 时, sin(2 x ? 所以: 2 x ?

?
6

? k? (k ? Z ), 解得: x ?

所以函数 f(x)=0 时 x 的集合为 ? x | x ?

? ?

k? ? ? ? , k ? Z ? ????8 分 2 12 ?
?
6 ? 5? , 6

(Ⅱ)因为 x ? ?0, ? ,所以 ? 方法一: ?

? π? ? 2?

?
6

? 2x ?

1 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,所以 ? ? f ( x ) ? 1 2 6 2
故函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上的最小值为 ?

? ?

π? 2?

1 .???..13 分 2

方法二: ∴当时 2 x ?
?
6 ??

?

1 , 即 x=0时f ( x)取得最小值为- , 6 2

故函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上的最小值为 ?

? ?

π? 2?

1 13 分 2

数学(文)第 9 页(共 13 页)

16. (本小题满分 13 分)

?a1 ? 5d ? 14 ? 解: ?(a1 ? 2d )2 ? a1 ? (a1 ? 6d ) 解得:a1 ? 4 , d ? 2 ………..5 分

?an ? 4 ? (n ? 1)? 2 ? 2n ? 2
?q ? a3 ? 2 , bn ? 4?2n?1 ? 2n?1 ……………….????8 分 a1
?sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? ? cn ?1 ? cn =a1 -b1 ? a2 -b2 ? ?? ? an ?1 -bn ?1 ? an -bn =(a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an ?1 ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn ?1 ? bn ) (4 ? 2n ? 2)?n 4?(1 ? 2n ) ? 2 1? 2 2 n ?2 =n +3n+4-2 =
???..13 分 17.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设流量不足 150M 为事件 A,这一年共有 12 个月,其中 1 月,2 月,3 月,4 月, 9 月 11 月共 6 个月流量不足 180M,??2 分

(2) ? cn ? an -bn ,

6 1 ? .?????4 分 12 2 (Ⅱ)设所选三个月 的流量使用情况中 ,中间月 的流量使用情况低于另两月为事件 B, ..... . ...
所以 P( A) ? 在这一年中随机取连续三个月的使用流量,有(1,2,3 ) ,(2,3,4 ) ,(3,4,5 ) , (4,5,6 ) ,(5,6,7 ) ,(6,7,8 ) ,(7,8,9 ) ,(8,9,10 ) ,(9,10,11 ) , (10,11,12 ) ,共 10 种取法,?????6 分 其中(2,3,4 ) ,(6,7,8 ) , (8,9,10 ) , (10,11,12 ) 4 种情况满足条件,?8 分 所以 P( B) ?

4 2 ? .?????10 分 10 5

(Ⅲ)9 月,10 月,11 月,12 月这四个月的流量使用情况方差最大.???13 分

数学(文)第 10 页(共 13 页)

18.(本小题共 14 分) 证明: ( Ⅰ ) 在 PC 上 去 一 点 F , 使 PF ? 2 FC , 连 接 M F, N F ,因为

P M? 2 M D , A? N2

,所以 NB MF //DC,MF= DC , AN//DC,AN= AB= DC

2 3

2 3

2 3

所以 MF //AN,MF=AN 所以 MFNA 为平行四边形 即 AM//NA 又 AM ? 平面 PNC 所以直线 AM // 平面 PNC …………….5 分

(Ⅱ)因为 E 是 AB 中点,底面 ABCD 是菱形,

?DAB ? 600 ,所以 ?AED ? 900
因为 AB//CD ,所以, ?EDC ? 900 即 CD ? DE .

又 PD ⊥平面 ABCD ,所以 CD ? PD
又 DE ? PD=D 所以直线 CD ? 平面 PDE ………………11 分 (Ⅲ)直线 AB //DC ,且由(Ⅱ)可知,DE 为点 A 到平面 PDC 的距离,

S ?PDC ?

3 3 1 9 , PD?DC ? , DE ? 2 2 2

1 9 3 VC ? PDA ? VA? PDC ? S?PDC ?DE ? 。??????.14 分 3 4
19.(本小题共 13 分)

x2 y2 c 6 2 1 2 2 2 2 ?1 (Ⅰ)解:离心率为 ? ,所以 c ? a ,故 b ? a ,椭圆 C 为 2 ? a 1 a2 3 3 a 3 3
把点 E(
2 2 3,1) 带入得 a ? 6, b ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为 x
? 0)
2

6

?

y2 ?1. 2

?????5 分

(Ⅱ)解:由题意,直线 l 的斜率存在,设点 P( x0 , y0 )( y0 则线段 AP 的中点 D 的坐标为 ( 且直线 AP 的斜率 k AP ?
x0 ? 3 y0 , ), 2 2



y0 ,?????7 分 x0 ? 3

数学(文)第 11 页(共 13 页)

由点 A(3, 0) 关于直线 l 的对称点为 P ,得直线 l ? AP ,
3 ? x0 故直线 l 的斜率为 ? 1 ? ,且过点 D , k AP y0

所以直线 l 的方程为: y ?

y0 3 ? x0 x ?3 ? (x ? 0 ) ,???9 分 2 y0 2

令 x ? 0 ,得 y ?

2 2 2 2 x0 ? y0 ?9 x0 ? y0 ?9 B (0, ), ,则 2 y0 2 y0



2 x0 y2 2 2 , ? 0 ? 1 ,得 x0 ? 6 ? 3 y0 6 2

化简,得 B(0,

2 ?2 y0 ?3 ). 2 y0

????11 分

所以 | OB |?|

2 ?2 y0 ?3 3 | ?| y0 | ? 3 ≥2 | y0 | ? 2 y0 2 | y0 | 2 | y0 |

? 6

.

???12 分

当且仅当 | y0 |?

6 3 ,即 y0 ? ? ? [? 2, 2] 时等号成立. 2 2 | y0 |
6

所以 | OB | 的最小值为

.

????13 分

20.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)函数的定义域为 R. 所以 f ?( x) ?

(1 ? k )e x ? 1 . ex

①当 k ? 1 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 在 (??, ??) 为减函数 ②当 k ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ? ln(1 ? k ) , 当 x ? (??, ? ln(1 ? k )) 时,f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??, ? ln(1 ? k )) 上单调递减; 当 x ? (? ln(1 ? k ), ??) 时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 (? ln(1 ? k ), ??) 上 单 调 递 增;????..6 分 (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) , 则切线方程为 y ? y0 即 y ? ( x0 ?

? f '( x0 )( x ? x0 )

1 1 ) ? (1 ? x0 )( x ? x0 ) e x0 e x ?1 将 A(0, t ) 代入得 t ? 0 x . e0

数学(文)第 12 页(共 13 页)

?x x ?1 ,所以 M ?( x ) ? x . x e e ?x 当 M ?( x ) ? x ? 0 时, x0 ? 0 . e 所以当 x ? (??, 0) 时, M ?( x) ? 0 ,函数 M ( x) 在 x ? (??, 0) 上单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, M ?( x) ? 0 , M ( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递减.
令 M ( x) ? 所以当 x0

? 0 时, M ( x)max ? M (0) ? 1 ,无最小值.

当 t ? 1 时,存在切线;??????.14 分

数学(文)第 13 页(共 13 页)


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