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(人教版)高中数学选修2-2课件:第1章 导数及其应用1.1.1.2_图文

数学 选修2-2

第一章 导数及其应用

自主学习 新知突破

合作探究 课堂互动

高效测评 知能提升

第一章

导数及其应用

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第一章 导数及其应用

自主学习 新知突破

合作探究 课堂互动

高效测评 知能提升

1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

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第一章 导数及其应用

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第一章 导数及其应用

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1.了解实际问题中平均变化率的意义. 2.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念. 3.理解并掌握导数的概念. 4.掌握求函数在一点处的导数的方法.

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第一章 导数及其应用

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现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载

时间 日最高气温

3月18日 3.5 ℃

4月18日 18.6 ℃

4月20日 33.4 ℃

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观察:3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变 化,用曲线图表示为:

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[问题1] “气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是 什么?(形与数两方面)
[提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”,由此联 想如何量化直线的倾斜程度.

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[问题2] 由点B上升到点C,必须考察yC-yB的大小,但仅 仅注意yC-yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度,为什么?
[提示 2] 在考察 yC-yB 的同时必须考察 xC-xB,函数的本 质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个 量的改变.
我们用比值yxCC- -yxBB近似地量化 B,C 这一段曲线的陡峭程 度,并称该比值为[32,34]上的平均变化率.

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函数的变化率

平均 变化

瞬时 变化


定义

实例

作用

函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的 ①平均速度;

平均变化率为
f?x2?-f?x1?
___x_2_-__x1___

②曲线割线的 斜率

刻画函数值在
区间 [x_1_,__x_2_]_
上变化的快慢

函数 y=f(x)在 x=x0 处 ①瞬时速度:物

刻画函数值在

的瞬时变化率是 lim

体在某一时刻

ΔΔyx=Δ_lix_m→_0_f_?_x_0+__Δ_ΔΔ_xxx?_→-_0_f_?x_0?

的速度; ②切线斜率

__x_0 _处附近变
化的快慢

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1.关于函数的平均变化率,应注意以下几点
(1)函数f(x)在x1处有定义. (2)Δx 是 变 量 x2 在 x1 处 的 改 变 量 , 且 x2 是 x1 附 近 的 任 意 一 点,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可以为正,也可以为负. (3) 注 意 自 变 量 与 函 数 值 的 对 应 关 系 , 公 式 中 若 Δx = x2 - x1,则Δy=f(x2)-f(x1);若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2).

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(4)在公式ΔΔxy=f?xx2?2- -fx?1x1?=f?x1+ΔΔxx?-f?x1?中,当 x1 取定 值,Δx 取不同的数值时,函数的平均变化率是不同的;当 Δx 取定值,x1 取不同的数值时,函数的平均变化率也是不同的.特 别地,当函数 f(x)为常数函数时,Δy=0,则ΔΔyx=0.

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导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的_瞬__时____变化率称为函数y=f(x)在 ___x_=__x_0___处的导数,记作____f′_(_x0_)___或 ___y_′|_x=__x0___,
即 f′(x0)=Δlixm→0 ΔΔyx=__Δlix_m→_0__f?_x_0+__Δ_Δ_xx_?-__f_?x_0_?_______.

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2.对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值,是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限,不是变量. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关,与Δx无关. (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率,应用非常广泛.

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1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的

值为( )

A.0.40

B.0.41

C.0.43

D.0.44

解析: Δy=f(2.1)-f(2)=0.41.

答案: B

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2.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速

度为( )

A.6

B.18

C.54

D.81

解析: ΔΔst=3?3+ΔtΔ?2t-3×32=18+3Δt,

s′=lim Δt→0

ΔΔst=Δlitm→0

(18+3Δt)=18,故选 B.

答案: B

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3.一个物体的运动方程为s=1-t+t2.其中s的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度为________.

解析:

v=lim Δt→0

1-?3+Δt?+?3+Δt?2-?1-3+32? Δt

=lim (Δt+5) Δt→0

=5.

答案: 5米/秒

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4.求函数 y=x-1x在 x=1 处的导数.

解析: Δy=(1+Δx)-1+1Δx-???1-11??? =Δx+1+ΔxΔx,

ΔΔyx=Δx+Δ1x+ΔxΔx=1+1+1Δx,

∴ lim Δx→0

ΔΔyx=Δlixm→0

????1+1+1Δx????=2,

从而y′|x=1=2.

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求函数的平均变化率
求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平 均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
[思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量,然后代 入公式计算.

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平均变化率为

函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的

f??xx0+0+ΔΔxx??--f?xx00?=[3?x0+Δx?2+Δx2]-?3x20+2? =6x0·ΔxΔ+x3?Δx?2=6x0+3Δx.

当 x0=2,Δx=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为

6×2+3×0.1=12.3.

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求平均变化率的步骤: 通常用“两步”法,一作差,二作商,即: ①先求出Δx=x2-x1,再计算Δy=f(x2)-f(x1); ②对所求得的差作商,即得 ΔΔyx=f?xx2?2--xf?1x1?=f?x1+ΔΔxx?-f?x1?.

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1.已知函数 f(x)=x+1x,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变 到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数 值变化得较快.
解析: 自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)的平均变化率 为
f?22?--f1?1?=2+12-1?1+1?=12;

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自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 f?55?--f3?3?=5+15-2???3+13???=1145. 因为12<1145,所以函数 f(x)=x+1x在自变量 x 从 3 变到 5 时 函数值变化得较快.

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求物体的瞬时速度

已知函数f(x)=2x2+1. (1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率; (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率; (3)求函数f(x)在x=2处的瞬时变化率.

[思路点拨]

函数f?x?=2x2+1



函数值的改变量 Δy=f?x0+Δx?-f?x0?

→ 函数的平均变化率ΔΔyx → Δx趋于0 → ΔΔyx趋于常数

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解析: (1)由已知∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =2(x0+Δx)2+1-2x20-1=2Δx(2x0+Δx), ∴ΔΔyx=2Δx?2Δx0x+Δx?=4x0+2Δx. (2)由(1)可知:ΔΔxy=4x0+2Δx,当 x0=2,Δx=0.01 时, ΔΔyx=4×2+2×0.01=8.02.

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(3)在 x=2 处取自变量的增量 Δx,得一区间[2,2+Δx]. ∴Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+1-(2·22+1)=2(Δx)2+ 8Δx. ∴ΔΔyx=2Δx+8,当 Δx→0 时,ΔΔxy→8.

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1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的 瞬时变化率,然后,以此点为一端点取一区间计算平均变化 率,并逐步缩小区间长度,根据平均变化率的变化情况估计出 瞬时变化率.
2.求函数 y=f(x)在 x=x0 处瞬时变化率的步骤: (1)求函数值的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求函数的平均变化率ΔΔxy=f?x0+ΔΔxx?-f?x0?; (3)当 Δx 趋近于 0 时,求ΔΔyx趋近的常数.

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2.已知自由下落物体的运动方程是 s=12gt2(s 的单位是 m, t 的单位是 s),求:
(1)物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t0 时的瞬时速度; (3)物体在 t0=2 s 到 t1=2.1 s 这段时间内的平均速度; (4)物体在 t=2 s 时的瞬时速度.

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解析: (1)平均速度为

ΔΔst=12g?t0+ΔΔtt?2-12gt02

=gt0+12gΔt.

(2)瞬时速度为lim Δt→0

ΔΔst=Δlitm→0

???gt0+12gΔt???=gt0.

(3)由(1)得物体在 t0=2 s 到 t1=2.1 s 这段时间内的平均速度

为 g×2+12g×0.1=4210g.

(4)由(2)得物体在 t=2 s 时的瞬时速度为 g×2=2g.

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求函数f(x)在某点处的导数

已知f(x)=x2+3. (1)求f(x)在x=1处的导数; (2)求f(x)在x=a处的导数.

[思路点拨]

确定函数 的增量

定义法,

Δy Δx

―Δx―→→0

极限

―→

导数

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(1)因为ΔΔyx=f?1+ΔΔxx?-f?1?

=?1+Δx?2+Δ3x-?12+3?=2+Δx,

2分

f′(1)= lim Δx→0

f?1+Δx?-f?1? Δx

= lim (2+Δx)=2.

6分

Δx→0

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(2)因为ΔΔxy=f?a+ΔΔxx?-f?a?

=?a+Δx?2+Δ3x-?a2+3?=2a+Δx,

f′(a)= lim Δx→0

f?a+ΔΔxx?-f?a?=Δlixm→0

(2a+Δx)=2a.

8分 12 分

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利用导数定义求导数的三步曲: (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔxy=f?x0+ΔΔxx?-f?x0?; (3)取极限,得导数 f′(x0)=Δlixm→0 ΔΔxy. 简记为:一差,二比,三趋近. 特别提醒:取极限前,要注意化简ΔΔyx,保证使 Δx→0 时, 分母不为 0.

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3.已知函数y=2x2+4x. (1)求函数在x=3处的导数; (2)若函数在x0处的导数是12,求x0的值. 解析: (1)Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx =2(Δx)2+16Δx, ∴ΔΔyx=2?Δx?2Δ+x 16Δx=2Δx+16. ∴y′|x=3=Δlixm→0 ΔΔyx=Δlixm→0 (2Δx+16)=16.

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(2)根据导数的定义

f′(x0)=Δlixm→0

ΔΔyx=Δlixm→0

f?x0+Δx?-f?x0? Δx

= lim Δx→0

2?x0+Δx?2+4?x0+Δx?-?2x20+4x0? Δx

= lim Δx→0

4x0·Δx+2?Δx?2+4Δx Δx

= lim Δx→0

(4x0+2Δx+4)

=4x0+4,

∴f′(x0)=4x0+4=12,解得 x0=2.

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◎设函数

y=f(x)在

x=x0

处可导,且 lim Δx→0

f?x0-3ΔΔxx?-f?x0?=

1,则 f′(x0)等于( ) A.1

B.-1

C.-13

D.13

【错解】

lim
Δx→0

f?x0-3ΔΔxx?-f?x0?=Δlixm→0

[f?x0-33ΔΔxx?-f?x0?·3]

=3f′(x0)=1,所以 f′(x0)=13,故选 D.

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【错因】 错解虽然注意到了系数关系,但却忽略了分子 Δy 与分母 Δx 的对应关系.
在导数的定义 f′(x0)=Δlixm→0 f?x0+ΔΔxx?-f?x0?中,Δx 是分子 f(x0+Δx)与 f(x0)中的两个自变量的差,即(x0+Δx)-x0.
初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号 或 Δx 系数的一致性.

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【正解】

因为 lim Δx→0

f?x0-3Δx?-f?x0? Δx

=-Δlixm→0[f?x0?-f3?Δx0x-3Δx?·3]

=-3f′(x0) =1,

所以 f′(x0)=-13,故选 C.

答案: C

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