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2018年秋高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

3.1.2

复数的几何意义

学习目标: 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的 一一对应关系.(重点、难点)2.掌握实轴、虚轴、模等概念.(易混点)3.掌握用向量的模来 表示复数的模的方法.(重点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.复平面

思考:有些同学说:实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗? [提示]不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点 对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是 z=0+0i=0,表示的是实数. 2.复数的几何意义

3.复数的模 → (1)定义:向量OZ的模叫做复数 z=a+bi 的模. (2)记法:复数 z=a+bi 的模记为|z|或|a+bi|且|z|= a +b . [基础自测] 1.思考辨析 (1)复平面内的点与复数是一一对应的. ( ) ) ( ( ) )
2 2

(2)复数即为向量,反之,向量即为复数. ( (3)复数的模一定是正实数. (4)复数与向量一一对应. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.已知复数 z=-i,复平面内对应点 Z 的坐标为( A.(0,-1) C.(0,0) A B.(-1,0)

)

D.(-1,-1)

[复数 z=-i 的实部为 0,虚部为-1,故复平面内对应点 Z 的坐标为(0,-1).] )
1

3.向量 a=(-2,1)所对应的复数是(

A.z=1+2i C.z=-1+2i D

B.z=1-2i D.z=-2+i

[向量 a=(-2,1)所对应的复数是 z=-2+i.]

4.已知复数 z=1+2i(i 是虚数单位),则|z|=________. 5 [∵z=1+2i,∴|z|= 1 +2 = 5.] [合 作 探 究·攻 重 难]
2 2

复数与复平面内的点的关系 [探究问题] 1.在复平面上,如何确定复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的点所在的位置? 提示:看复数 z=a+bi(a,b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a,b)所在的象限即 可. 2.在复平面上,若复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的点在第一象限,则实数 a,b 应满足 什么条件?我们可以得到什么启示? 提示:a>0,且 b>0.在复平面内复数所表示的点所处位置,决定了复数实部、虚部的取 值特征.

a2-a-6 2 求实数 a 分别取何值时,复数 z= +(a -2a-15)i(a∈R)对应的点 Z a+3
满足下列条件: (1)在复平面的第二象限内. (2)在复平面内的 x 轴上方. 【导学号:48662127】 思路探究: 确定z的实部、虚部 → 列方程 不等式组 [解] (1)点 Z 在复平面的第二象限内,

a -a-6 ? ? <0, 则? a+3 ? ?a2-2a-15>0,

2

解得 a<-3.

? ?a -2a-15>0, (2)点 Z 在 x 轴上方,则? ?a+3≠0, ?

2

即(a+3)(a-5)>0,解得 a>5 或 a<-3. 母题探究:1.本例中题设条件不变,求复数 z 表示的点在 x 轴上时,实数 a 的值. [解] 点 Z 在 x 轴上,所以 a -2a-15=0 且 a+3≠0,所以 a=5. 故 a=5 时,点 Z 在 x 轴上. 2.本例中条件不变,如果点 Z 在直线 x+y+7=0 上,求实数 a 的值.
2
2

[解] 因为点 Z 在直线 x+y+7=0 上,

a2-a-6 2 所以 +a -2a-15+7=0, a+3
即 a +2a -15a-30=0, 所以(a+2)(a -15)=0,故 a=-2 或 a=± 15. 所以 a=-2 或 a=± 15时,点 Z 在直线 x+y+7=0 上.
2 3 2

[规律方法] 利用复数与点的对应解题的步骤 首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标. 根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.

复数的模及其应用 (1)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( A.1 C. 3 B. 2 D.2 )

(2)已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数 z. (1)[解析] 因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以 x=y=1,|x+yi|=|1+i|= 1 +1 = 2,故选 B. [答案] B (2)设 z=a+bi(a、b∈R),则|z|= a +b , 代入方程得 a+bi+ a +b =2+8i, ∴?
2 2 2 2 2 2

?a+ a2+b2=2 ?b=8

,解得?

?a=-15 ? ?b=8 ?

.

∴z=-15+8i. [规律方法] 1.复数 z=a+bi 模的计算:|z|= a +b . 2.复数的模的几何意义:复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离. 3.转化思想:利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件,是一种复数 问题实数化思想. [跟踪训练] 1 . (1) 若复数 z = 2a-1 2 + (a - a - 6)i 是实数,则 z1 = (a - 1) + (1 - 2a)i 的模为 a+2
3
2 2

________. (2)已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围. 【导学号:48662128】 (1) 29 [∵z 为实数,∴a -a-6=0,
2

∴a=-2 或 3.∵a=-2 时,z 无意义,∴a=3, ∴z1=2-5i,∴|z1|= 29.] (2)法一:∵z=3+ai(a∈R),∴|z|= 3 +a ,由已知得 3 +a <4 ,∴a <7,∴a∈(- 7, 7). 法二:利用复数的几何意义,由|z|<4 知,z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以 4 为半径的圆内(不包括边界), 由 z=3+ai 知 z 对应的点在直线 x=3 上, 所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合. 由图可知:- 7<a< 7.
2 2 2 2 2 2

复数与复平面内向量的关系 (1)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( A.4+80i C.2+4i ) B.8+2i D.4+i

(2)在复平面内,A,B,C 三点对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i. → → → ①求向量AB,AC,BC对应的复数; ②判定△ABC 的形状. (1)[解析] 两个复数对应的点分别为 A(6,5),B(-2,3),则 C(2,4).故其对应的复数 为 2+4i. [答案] C (2)①由复数的几何意义知: → → →

OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(-1,2),
→ → → → → → → → → → → 所以AB=OB-OA=(1,1),AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB=(-3,1),所以AB,AC,
4



BC对应的复数分别为 1+i,-2+2i,-3+i.
→ → → ②因为|AB|= 2,|AC|=2 2,|BC|= 10, → → → 2 2 2 所以|AB| +|AC| =|BC| , 所以△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形. [规律方法] 复数与向量的对应和转化 → 对应:复数 z 与向量OZ是一一对应关系 解 转化:复数的有关问题转化为向量问题求 数形结

解决复数问题的主要思想方法有: 一 转化思想:复数问题实数化; 二

合思想: 利用复数的几何意义数形结合解决; 三 整体化思想: 利用复数的特征整体处理. [跟踪训练] → → → 2.设 O 为原点,向量OA,OB对应的复数分别为 2+3i,-3-2i,那么向量BA对应的复 数为( ) B.1-i D.5+5i

A.-1+i C.-5-5i D

→ → [由题意知,OA=(2,3),OB=(-3,-2)

→ → → ∴BA=OA-OB=(5,5), ∴对应的复数为 5+5i,故选 D.] [当 堂 达 标·固 双 基] 1.复数 z=-1-2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 C B.第二象限 D.第四象限 )

[z=-1-2i 对应点 Z(-1,-2),位于第三象限. ] )

2.已知复数 z=(m-3)+(m-1)i 的模等于 2,则实数 m 的值为(

【导学号:48662129】 A.1 或 3 C.3 A [依题意可得 B.1 D.2

m-

2



m-

2

=2,解得 m=1 或 3,故选 A.]

3.在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 mi 的点在直线 y=x 上,则实数 m 的值为 ________. 9 [∵z=(m-3)+2 mi 表示的点在直线 y=x 上,∴m-3=2 m,解之得 m=9.]

5

4.复数 z=x-2+(3-x)i 在复平面内的对应点在第四象限,则实数 x 的取值范围是 ________. 【导学号:48662130】
?x-2>0, ? (3,+∞) [∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,∴? ? ?3-x<0,

解得 x>3.]

5.在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.

z1=1-i;z2=- +

1 2

3 i;z3=-2;z4=2+2i. 2

3? ? 1 [解] 在复平面内分别画出点 Z1(1,-1),Z2?- , ?, Z3(-2,0),Z4(2,2),则向 2 2 ? ? 量 Z1,Z2,Z3,Z4 分别为复数 z1,z2,z3,z4 对应的向量,如图所示.

各复数的模分别为:|z1|= 1 + - 2 2 1 3 ? ? ?- ? + ? 2? ? ? =1; ? ? ?2? -
2

2

2

= 2;

|z2|= |z3|=

=2;|z4|= 2 +2 =2 2.

2

2

6


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