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山东省枣庄八中2014-2015学年高一上学期1月月考数学试卷 Word版含解析


山东省枣庄八中 2014-2015 学年高一上学期 1 月月考数学试卷
一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (3 分)设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},则?UA=() A.{4} B.{2,4,5} C.{4,5} D.{1,3,4}

2. (3 分)设 A.1 B. 2

,则 f=() C. 4 D.8

3. (3 分)已知 A(1,1) ,B(2,4) ,则直线 AB 的斜率为() A.1 B. 2 C. 3 4. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

D.4

C.

D.y=x

3

5. (3 分)若直线 l1:ax+(1﹣a)y﹣3=0 与直线 l2: (a﹣1)x+(2a+3)y﹣2=0 互相垂直, 则 a 的值是() A.﹣3
0.3

B. 1

C. 0 或

D.1 或﹣3

6. (3 分)设 a=3 ,b=logπ3,c=log0.32 则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 7. (3 分)已知平面 α,β,直线 l,m,且有 l⊥α,m?β,则下列四个命题正确的个数为() ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 l∥m,则 l∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l⊥m,则 l⊥β. A.1 B. 2 C. 3 D.4 8. (3 分)已知 lga+lgb=0,函数 f(x)=a 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能是()
x

A.

B.

C.

D.

9. (3 分)若一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) ,则此几何体的表面积是()

A.

B.21cm

2

C.

D.24cm

2

10. (3 分)函数 f(x)=ln|x﹣2|﹣m(m∈R)的所有零点之和为() A.﹣4 B. 2 C. 4 D.与实数 m 有关

二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分) 11. (3 分)已知函数 f(x)=lg(x﹣1) ,它的定义域为. 12. (3 分)过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是. 13. (3 分)两平行直线 5x+12y=0 与 5x+12y﹣13=0 的距离是. 14. (3 分)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底边均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是. 15. (3 分)已知函数 y=ax+1 在(﹣1,1)上是增函数,函数 y=﹣x +2ax 在上是减函数, 则实数 a 的取值范围是.
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2},C={x|x≥a﹣1}. (1)求 A∩B; (2)若 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中 点. 求证: (Ⅰ)平面 PA∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 PAC⊥平面 BDE.

18. (12 分)已知△ ABC 的三个顶点分别为 A(2,3) ,B(﹣1,﹣2) ,C(﹣3,4) ,求 (Ⅰ)BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (Ⅱ)△ ABC 的面积. 19. (12 分)某商场经营一批进价是每件 30 元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单 价 x 元与日销售量 y 件之间有 如下关系: 销售单价 x(元) 30 404550 日销售量 y(件) 60 30150 (Ⅰ)在平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定 x 与 y 的一个函数关系式 y=f(x) (Ⅱ)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式, 并指出销售单价 x 为多少时,才能获得最大日销售利润. 20. (13 分) 如图, A、 B、 C、 D 是空间四点, 在△ ABC 中, AB=2, AC=BC= 所在的平面以 AB 为轴可转动. (Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D﹣ABC 的体积; (Ⅱ)当△ ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD?请证明你的结论. , 等边△ ADB

21. (14 分)已知:函数 f(x)对一切实数 x,y 都有 f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立, 且 f(1)=0. (1)求 f(0)的值. (2)求 f(x)的解析式. (3)已知 a∈R,设 P:当 时,不等式 f(x)+3<2x+a 恒成立;Q:当 x∈ 时,g(x)

=f(x)﹣ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A,满足 Q 成立的 a 的集合记为 B,求 A∩?RB(R 为全集) .

山东省枣庄八中 2014-2015 学年高一上学期 1 月月考数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (3 分)设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},则?UA=() A.{4} B.{2,4,5} C.{4,5} D.{1,3,4} 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 计算题. 由题意,直接根据补集的定义求出?UA,即可选出正确选项 解:因为 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3}

所以?UA={4,5} 故选:C. 点评: 本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键.

2. (3 分)设 A.1 B. 2

,则 f=() C. 4 D.8

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,可先求 f(﹣ 1)=1,然后即可求解 f 2 解答: 解:由题意可得,f(﹣1)=(﹣1) =1 1 ∴f=f(1)=2 =2 故选 B 点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题 3. (3 分)已知 A(1,1) ,B(2,4) ,则直线 AB 的斜率为() A.1 B. 2 C. 3 考点: 专题: 分析: 解答: 斜率的计算公式. 计算题. 把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算,求出结果. 解:因为 A(1,1) ,B(2,4) , =3

D.4

所以直线 AB 的斜率 k=

故选:C. 点评: 此题考查学生会利用两点坐标求两点确定直线的斜率,是一道基础题.

4. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x

3

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 规律型;函数的性质及应用. 分析: 对于 A,函数为增函数,但不是奇函数; 对于 B,函数为偶函数; 对于 C,函数在定义域的两个区间分别为减函数; 对于 D,函数为增函数,是奇函数. 解答: 解:对于 A,函数为增函数,但不是奇函数,不满足题意; 对于 B,﹣(﹣x) =﹣x ,函数为偶函数,不满足题意; 对于 C,y′=﹣
2 2 2

,函数在定义域的两个区间分别为减函数,不满足题意;
3 3

对于 D,y′=3x ,函数为增函数, (﹣x) =﹣x ,是奇函数,满足题意; 故选 D. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合, 考查学生分析解决问题的能力, 属于基础题. 5. (3 分)若直线 l1:ax+(1﹣a)y﹣3=0 与直线 l2: (a﹣1)x+(2a+3)y﹣2=0 互相垂直, 则 a 的值是() A.﹣3 B. 1 C. 0 或 D.1 或﹣3

考点: 两条直线垂直的判定. 专题: 计算题. 分析: 利用两条直线垂直的充要条件列出方程,求出 a 的值. 解答: 解:∵l1⊥l2 ∴a(1﹣a)+(a﹣1)×(2a+3)=0,即( a﹣1) (a+3)=0 解得 a=1 或 a=﹣3 故选 D. 点评: 本题考查两直线垂直的充要条件:l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0 垂直 ? A1A2+B1B2=0,如果利用斜率必须分类型解答. 6. (3 分)设 a=3 ,b=logπ3,c=log0.32 则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 0.3 分析: 根据指数函数、对数函数的单调性和特殊点可得 a=3 >1,b=logπ3<1,c=log0.32 >0,从而得到 a,b,c 的大小关系. 0.3 0 解答: 解:由于 a=3 >3 =1,b=logπ3<logππ=1,c=log0.32>log0.31=0, 故有 c<b<a, 故选 B.
0.3

点评: 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,属于中档题. 7. (3 分)已知平面 α,β,直线 l,m,且有 l⊥α,m?β,则下列四个命题正确的个数为() ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 l∥m,则 l∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l⊥m,则 l⊥β. A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据已知中 l⊥α,m?β,结合线面垂直的几何特征及面面平行,面面垂直的几何 特征及线面平行和线 面垂直的判定方法,逐一分析四个结论的真假,可得答案. 解答: 解:若 α∥β,则 l⊥β,又由 m?β,故 l⊥m,故①正确; 若 l∥m,m?β,则 l∥β 或 l?β,故②错误; 若 α⊥β,则 l 与 m 相交、平行或异面,故③错误; 若 l⊥m,则 l 与 β 相交、平行或 l?β,故④错误. 故四个命题中正确的命题有 1 个, 故选 A 点评: 本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系, 熟练掌握空间线面关系, 面 面关系,线线关系的定义,几何特征及性质和判定方法是解答的关键. 8. (3 分)已知 lga+lgb=0,函数 f(x)=a 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 先求出 a、b 的关系,将函数 g(x)进行化简,得到函数 f(x)与函数 g(x)的单 调性是在定义域内同增同减,再进行判定. 解答: 解:∵lga+lgb=0 ∴ab=1 则 b= 从而 g(x)=﹣logbx=logax,f(x)=a 与 ∴函数 f(x)与函数 g(x)的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选 B, 故答案为 B 点评: 本题主要考查了对数函数的图象, 以及指数函数的图象和对数运算等有关知识, 属 于基础题. 9. (3 分)若一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) ,则此几何体 的表面积是()
x

A.

B.21cm

2

C.

D.24cm

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原的组合体是下部是正方体,上部是四棱锥,根据三视图数据,求出表面 积即可. 解答: 解:三视图复原的组合体是下部是棱长为 2 的正方体,上部是底面边长问 的正方 形,高为 1 的四棱锥, 组合体的表面积为: =

故选 A. 点评: 本题考查由三视图求表面积,考查计算能力,空间想象能力,是基础题. 1 0. (3 分)函数 f(x)=ln|x﹣2|﹣m(m∈R)的所有零点之和为() A.﹣4 B. 2 C. 4 D.与实数 m 有关 考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=ln|x﹣2|﹣m(m∈R)的零点即方程 ln|x﹣2|=m 的解,从而求解. 解答: 解:函数 f(x)=ln|x﹣2|﹣m(m∈R)的零点即方程 ln|x﹣2|=m 的解, m 即|x﹣2|=e ; m m 故 x=e +2 或 x=﹣e +2; m m 故函数 f(x)=ln|x﹣2|﹣m(m∈R)的所有零点之和为 e +2﹣e +2=4; 故选 C. 点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题. 二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分) 11. (3 分)已知函数 f(x)=lg(x﹣1) ,它的定义域为(1,+∞) . 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据函数成立的条件,即可求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 x﹣1>0, 即 x>1, 即函数的定义域为: (1,+∞) , 故答案为: (1,+∞) 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,比较基础. 12. (3 分)过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是 x﹣2y﹣1=0. 考点: 两条直线平行的判定;直线的一般式方程. 分析: 先求直线 x﹣2y﹣2=0 的斜率,利用点斜式求出直线方程. 解答: 解:直线 x﹣2y﹣2=0 的斜率是 ,所求直线的斜率是 所以所求直线方程:y= (x﹣1) ,即 x﹣2y﹣1=0 故答案为:x﹣2y﹣1=0 点评: 本题考查两条直线平行的判定,直线的点斜式方程,是基础题. 13. (3 分)两平行直线 5x+12y=0 与 5x+12y﹣13=0 的距离是 1. 考点: 专题: 分析: 解答: 离是 两条平行直线间的距离. 直线与圆. 直接使用两平行线间的距离公式,求得结果. 解:根据两条平行线间的距离公式,两平行直线 5x+12y=0 与 5x+12y﹣13=0 的距 =1,

故答案为 1. 点评: 本题主要考查两平行线间的距离公式的应用, 注意公式使用时, 两直线的方程中 x、 y 的系数应该是相同的,属于基础题. 14. (3 分)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底边均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 2+ . 考点: 专题: 分析: 解答: 斜二测法画直观图. 计算题. 根据斜二测化法规则画出原平面图形,即可求出其面积. 解:如图所示:由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形, = .

∴这个平面图形的面积= 故答案为 .

点评: 由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则正确画出原平面图形是解题的关键. 15. (3 分)已知函数 y=ax+1 在(﹣1,1)上是增函数,函数 y=﹣x +2ax 在上是减函数, 则实数 a 的取值范围是 0<a≤1. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过一次函数的性质得到 a>0,通过二次函数的性质求出函数的对称轴 x=a≤1, 从 而得到答案. 解答: 解:∵函数 y=ax+1 在(﹣1,1)上是增函数, ∴a>0, 2 ∵函数 y=﹣x +2ax 在上是减函数, ∴对称轴 x=a ≤1, 故答案为:0<a≤1. 点评: 本题考查了一次函数,二次函数的性质,是一道基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2},C={x|x≥a﹣1}. (1)求 A∩B; (2)若 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交集及其运算. 专题: 探究型. 分析: (1)化简集合 B,然后求集合的交集. (2)利用 B∪C=C,得到 B?C,然后求实 数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意知,B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…(2 分) 所以 A∩B={x|2≤x<3}…(4 分) (2)因为 B∪C=C, 所以 B?C…(6 分) 所以 a﹣1≤2,即 a≤3…(8 分) 点评: 本题主要考查集合的基本运算以及利用集合关系求参数问题,比较基础. 17. (12 分)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中 点. 求证: (Ⅰ)平面 PA∥平面 BDE;
2

(Ⅱ)平面 PAC⊥平面 BDE.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)根据线面平行的判定定理证出即可; (II)根据面面垂直的判定定理证明即可. 解答: 证明: (I)∵O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, ∴OE∥AP,又∵OE?平面 BDE,PA ?平面 BDE. ∴PA∥平面 BDE. (II)∵PO⊥底面 ABCD,PO⊥BD, 又∵AC⊥BD,且 AC∩PO=O ∴BD⊥平面 PAC,而 BD?平面 BDE, ∴平面 PAC⊥平面 BDE 点评: 本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,是一道基础题. 18. (12 分)已知△ ABC 的三个顶点分别为 A(2,3) ,B(﹣1,﹣2) ,C(﹣3,4) ,求 (Ⅰ)BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (Ⅱ)△ ABC 的面积. 考点: 直线的一般式方程;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)求出中点 D 的坐标,用两点式求出中线 AD 所在直线的方程,并化为一般 式. (Ⅱ) 求出线段 BC 的长度,求出直线 BC 的方程和点 A 到直线 BC 的距离,即可求得, ∴△ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 BC 中点 D 的坐标为 D(﹣2,1) ,∴中线 AD 所在直线的方程 是 即 x﹣2y+4=0. (Ⅱ)∵ ,即 3x+y+5=0, 点 A 到直线 BC 的距离是 ,∴△ABC 的面积是 . ,直线 BC 的方程是 ,

点评: 本题考查用两点式求直线方程的方法,点到直线的距离公式的应用,求点 A 到直 线 BC 的距离是解题的难点. 19. (12 分)某商场经营一批进价是每件 30 元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单 价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系: 销售单价 x(元) 30 404550 日销售量 y(件) 60 30150 (Ⅰ)在平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定 x 与 y 的一个函数关系式 y=f(x) (Ⅱ)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式, 并指出销售单价 x 为多少时,才能获得最大日销售利润. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由平面直角坐标系中画出的各点猜测为一次函数,求出解析式后需要验证成 立; (2)销售利润函数=(售价﹣进价)×销量,代入数值得二次函数,求出最值.

解答: 解: (Ⅰ)在平面直角坐标系中画出各点,如图: 猜测为一次函数,故设 f(x)=kx+b(k,b 为常数) , 则, ,解得:



∴f(x)=﹣3x+150,30≤x≤50,把点(45,15) , (50,0)代入函数解析式,检验成立. 2 (Ⅱ)日销售利润为:P=(x﹣30)?(﹣3x+150)=﹣3x +240x﹣4500,30≤x≤50; ∵ ,∴当销售单价为 40 元时,所获利润最大.

点评: 本题考查了一次函数,二次函数的图象与性质,以及简单的作图能力,归纳猜想能 力,是基础题. 20. (13 分) 如图, A、 B、 C、 D 是空间四点, 在△ ABC 中, AB=2, AC=BC= 所在的平面以 AB 为轴可转动. (Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D﹣ABC 的体积; (Ⅱ)当△ ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD?请证明你的结论. , 等边△ ADB

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面垂直的 性质. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)取出 AB 中点 E,连接 DE,CE,由等边三角形 ADB 可得出 DE⊥AB,又 平面 ADB⊥平面 ABC, 故 DE⊥平面 ABC, 由勾股定理可得 CE 的长, 进而可得三角形 ABC 的面积,由棱锥的体积公式可得答案. (Ⅱ)总有 AB⊥CD,当 D∈面 ABC 内时,显然有 AB⊥CD,当 D 在而 ABC 外时,可证得 AB⊥平面 CDE,定有 AB⊥CD. 解答: 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E,连接 DE,CE, 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE⊥AB. 当平面 ADB⊥平面 ABC 时, 因为平面 ADB∩平面 ABC=AB, 所以 DE⊥平面 ABC, 可知 DE⊥CE 由已知可得 则 S△ ABC=1, VD﹣ABC= × ×1= . ,

(Ⅱ)当△ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB⊥CD. 证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC=BC,AD=BD, 所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB⊥CD. (ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ) 知 AB⊥DE.又因 AC=BC,所以 AB⊥CE. 又 DE,CE 为相交直线,所以 AB⊥平面 CDE,由 CD?平面 CDE,得 AB⊥CD. 综上所述, 总有 AB⊥CD.

点评: 本题考查用线面垂直的方法来证明线线垂直,解答的关键是答题者的空间想象能 力. 21. (14 分)已知:函数 f(x)对一切实数 x,y 都有 f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立, 且 f(1)=0. (1)求 f(0)的值. (2)求 f(x)的解析式. (3)已知 a∈R,设 P:当 时,不等式 f(x)+3<2x+a 恒成立;Q:当 x∈时,g(x)

=f(x)﹣ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A,满足 Q 成立的 a 的集合记为 B,求 A∩?RB(R 为全集) .

考点: 抽象函数及其应用;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1)对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键,对自变量 适当的赋值可以解决该问题,结合已知条件可以赋 x=﹣1,y=1 求出 f(0) ; (2)在(1)基础上赋值 y=0 可以实现求解 f(x)的解析式的问题; (3)利用(2)中求得的函数的解析式,结合恒成立问题的求解策略,即转化为相应的二次 函数最值问题求出集合 A,利用二次函数的单调性求解策略求出集合 B. 解答: 解: (1)令 x=﹣1,y=1,则由已知 f(0)﹣f(1)=﹣1(﹣1+2+1) ∴f(0)=﹣2 (2)令 y=0,则 f(x)﹣f(0)=x(x+1) 又∵f(0)=﹣2 ∴f(x)=x +x﹣2 2 (3)不等式 f(x)+3<2x+a 即 x +x﹣2+3<2x+a 也就是 x ﹣x+1<a.由于当 x+1=
2 2 2

时,

,又 x ﹣

2

恒成立,
2

故 A={a|a≥1},g(x)=x +x﹣2﹣ax=x +(1﹣a)x﹣2 对称轴 x= 又 g(x)在上是单调函数,故有 ,



∴B={a|a≤﹣3,或 a≥5},CRB={a|﹣3<a<5} ∴A∩CRB={a|1≤a<5}. 点评: 本题考查抽象函数解析式的求解,考查赋值法求函数值、函数解析式的思想,考查 恒成立问题的解决方法、考查二次函数单调性的影响因素,考查学生的转化与化归能力,属 于中档题.


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