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南昌市2012---2013南昌调研模拟卷测试卷教师版 2


南昌市 2012--2013 学年度上学期调研考试模拟卷(理) 命题:邓国平 时量:120 分钟 内容:除概率和解析几何外所有知识 总分:150 分

8. 已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA⊥平面 ABC,SA ? 2 3, AB=1, AC=2, ∠BAC=60°,则球 O 的表面积为( C ) A. 4? B. 12? C. 16? D. 64? 9 . 已 知 ?ABC 为 等 边 三 角 形 , AB=2 , 设 点 P , Q 满 足 AP ? ? AB , AQ ? (1 ? ? ) AC ??? ??? ? ? 3 ? ? R, 若 BQ ? CP ? ? , 则? ? ( A ) 2 A.

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请把答案填在题后的括号内. )
2 1.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的( A )条件

1 2

B. 1 ? 2
2

C. 1 ? 10
2

D. ? 3 ? 2 2
2

10.已知 f ( x) 为 R 上的可导函数,且 ?x ? R, 均有 f ( x) ? f ′(x) ,则有( D ) D.既非充分也非必要

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

2.已知向量 a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1), a // b 则 tan(? ?

?

?

? ?

?
4

) 等于(

B

)

A. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) B. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) C. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) D. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上. ) 11. a ? ? (2 x ? 1)dx =
0 1

A.3
3.复数 z ?

B. ?3

1 C. 3

1 D. ? 3
)
D.第四象限

i 在复平面内对应点位于 ( A i ?1
B.第二象限

.2

A.第一象限 4.如图是计算

C.第三象限

1 1 1 1 的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( C ) ? ? ?L ? 2 4 6 2012 A. i ? 1005 B. i ? 1005 C. i ? 1006 D. i ? 1006

12.若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M 1 、M 2 与点 N1 、 N 2 ,则三角形面积之比为:

S?OM1N1 S?OM 2 N2

?

OM1 ON1 . 若从点 O 所作的不在同一个平面内的三条射线 OP、 和 OR 上分别有 OQ ? OM 2 ON2
.

i=i+1

s=s+

1 2i

i=1, s=0
是 否

开 始

点 P 、 P2 与点 Q1 、 Q2 和 R1 、 R2 ,则类似的结论为: 1

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

?

结 束

输出 S

OP OQ1 OR1 1 ? ? OP2 OQ2 OR2

5.给定函数①y =x 2 ,② y = log 1 (x ? 1),③ y ? x ?1 ,④ y ? 2
2

1

x ?1

,其中在区间(0,1)上单调递减的 D.① ④

函数的序号是( B )A.① ②

B.② ③

C.③ ④

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z = abx + y(a > 0, b > 0) 的最大值为 8, ? x ? 0, y ? 0 ? 则 a + b 的最小值为 4
? ?? 且 14.已知 ? , ? ? ? 0, ?, sin ? ? 2cos ?? ? ? ? sin ? ,若 tan ?? ? ? ? ? 3, 则 tan? ? ? 2?
15.曲线 f ( x) ? x
n?1

6.已知等比数列 {an } , a1 ? a2 ? a3 ? 40, a4 ? a5 ? a6 ? 20, 则前 9 项之和等于 ( B ) 中 7. 已知函数 y ? f ( x ) 的周期为 2,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? ( x ? 1) ,如果 g ? x ? ? f ? x ? ? log5 | x ?1| ,则
2

.1

A.50

B.70

C.80

D.90

(n ? N * )与直线 x ? 1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴

函数 y ? g ? x ? 的所有零点之和为( D ) A.2 B.4

C.6

D.8

交点的横坐标为 xn , 则log2012 x1 ? log2012 x2 ? ? ? log2012 x2011 的值为____.-1 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个数的乘积记为 An ,令 an ? log2 An , n ?N .(1)求数列 An 的前 n 项和 Sn ;(2)求
*

k 1 1 k ? 或 ? ?1 ? ? 1 ,即-3 < k < 0 或-4 < k <- 2 2 2 2 3,∴实数 k 的取值范围是{ k |-3 < k < 0 或-4 < k <-3}.
零点,即①在(0, ? )有两个根∴ ?1 ? ?1 ? 18.(本小题满分 12 分)等比数列 {an }满足an?1 ? an ? 9 ? 2n?1 , n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公 式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn ? kan ? 2对一切n ? N * 恒成立,求实数 k 的 取值范围. (1)解:设等比数列 {an } 的公比为 q ,∵ an?1 ? an ? 9 ? 2n?1 ,n∈ *,∴ a2 ? a1 ? 9 , a3 ? a2 ? 18 N a3 ? a2 18 ? ? 2 ,又 2a1 ? a1 ? 9 ,∴ a1 ? 3 ,∴ an ? 3 ? 2n?1 n∈ * . ∴q ? N a2 ? a1 9 (2)解: Sn ? 令 f (n) ? 2 ? ∴k ?
a1 (1 ? q n ) 3(1 ? 2n ) 1 ? ? 3(2n ? 1) ,∴ 3(2n ? 1) ? k ? 3 ? 2n?1 ? 2 ,∴ k ? 2 ? . 1? q 1? 2 3 ? 2n?1

? ?

Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2n ? tan a2n ? 2 .
解 : 设 b1,b2 ,b3 ,? ,bn ? 2 意 , 构 成 等 比 数 列 , 其 中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 , 依 题 , ①

An ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2

An ? bn ? 2 ? bn ?1 ? ? ? b2 ? b1 ,



由于 b1 ? bn ? 2 ? b2 ? bn ?1 ? b3 ? bn ? ? ? bn ? 2 ? b1 ? 2 ,
2 n?2 ① ? ②得 An ? b1bn ? 2 ? b2bn ?1 ? ? ? bn ?1b2 ? bn ? 2b1 ? 2 .

?

? ?
n?2 2

?

?

? ?

?

1 1 5 , f (n) 随 n 的增大而增大,∴ f (n)min ? f (1) ? 2 ? ? n ?1 3? 2 3 3

∵ An ? 0 ,∴ An ? 2

.∵

An ?1 2 ? n?2 ? An 2 2

n ?3 2

2,

∴数列 An 是首项为 A ? 2 2 ,公比 1

? ?

5 5 , .即实数 k 的取值范围为 (??, ) . 3 3

19. (本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ ACB=90° ,AA1=AC=1,BC= 2 , CD⊥ AB,垂足为 D.(1)求证:BC∥ 平面 AB1C1;(2)求点 B1 到面 A1CD 的距离. 解:(1)证明: C1 BC∥B1C1 B1C1 面 AB1C1 ? BC∥AB1C1 B1 A1 BC 面 AB1C1 C A (2) 建立空间直角坐标系,则 A1(1, 0, 1),C(0, 0, 0),D( D B

n ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? ?? 4?2 2 ? 为 2 的等比数列. ∴ Sn ? ? ? 1? 2

? ?

?

?? ?
2

n

? ? 1? . ?

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 a ? (cos 2 x, ?1), b ? (1, cos(2 x ?

?
3

)), 设f ( x) ? a ? b ? 1. (1)

求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (2)设 x 为三角形的内角,且函数 y= 2f(x)+k 恰有 两个零点,求实数 k 的取值范围.
1 3 ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ∴最小 解: (1) f ( x) ? a ? b +1 ? cos 2 x ? cos(2 x ? ) ? 1 ? cos 2 x ? 3 2 2 3

?

正周期为 ? ,由 2k? ≤ 2x ?

?

3

≤ 2k? ? ? ,得 k? ?

?

∴ 函数 f (x)的单调递减区间是 (k? ?

?
6

,? ? k

?
3

6

≤ x ≤ k? ?

?

2 2 , , 0),B1(0, 2 , 1),设平 3 3 面 A1CD 的一个法向量为 n =(x, y, z),∵ n ⊥ CA 1 ,n ⊥ CD ∴ n ·CA 1 =0,n ·CD =0

3

(k∈ Z)

Z) ) (k∈

?x ? z ? 0 ? ∴ ?2 ? ?3 x ? 3 y ? 0 ?

? ?z ? ?x ∴? ,令 x=1,得 n =(1, - 2 , -1) ?y ? ? 2 x ?
? 2 ?1 3 ? 2 2

7? 解:(2) y ? 2 f ( x) ? k ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 ? k ,因为 x 是三角形的内角,所以 ? 2x ? ? 3 3 3 3

?

?

?

∵点 B1 到面 A1CD 的距离等于 B1C 在 n 上的射影长∴d=

由 2 cos(2 x ?

?
3

) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2 x ?

?
3

)??

2?k k ? ?1 ? 2 2

①,函数 y = 2f (x) + k 恰有两个

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 2x在x ? ?1 处取得极值,且在点 (1, f (1)) 的 切 线 斜 率 为 2 .( l ) 求 a 、 b 的 值 ( 2 ) 若 关 于 x 的 方 程

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) ,则方程 f ( x) ?

5 3 x ? m 即为 x2 ? ln( x ? 1) ? x ? m ? 0 2 2

1 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? m ? 0在区间[ , 2] 上恰有两个不相等的实数根,求 实数 m 的取 2
值范围,

1 1 ? f ?(?1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 (1)解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 2 ,∴ ? ,解得: a ? ? , ? b ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 2 3 2 ?f

3 令 ? ( x) ? x2 ? ln( x ? 1) ? x ? m ,则方程 ? ( x) ? 0 在区间恰有两个不同的实数根。 2 1 3 (4 x ? 5)( x ? 1) ? ? ∵? ?( x) ? 2 x ? ∴ x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减,当 当 x ?1 2 2( x ? 1) x ? (1, 2) 时, ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (1, 2) 上单调递增
?? (0) ? ?m≥0 ? 1 1 ? 依题意有 ??(1)=- ? ln 2 ? m ? 0 ,∴? ? ln 2 ? m≤ ? ln 3 1 2 2 ? ?? (2) ? 1 ? ln 3 ? m≥0 ?

(2)解 : 由 (1) 知 ,

f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2x ∴ 3 2

f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? m ? 0 即

2 3 3 2 x ? x ? x?m?0 3 2
2 3 3 2 g x x x? x ? x ? x ? m , 则 g ?( x)? 22 ? 3x? 1? ( ? 1 ) ( 2 , ∴ 1 ) (x) 在 3 2 1 1 1 , 1) (?? , ) , , ?) 上 递 增 , 在 ( , 上 递 减 , ∴ g ( x)min ? g (1) ? m ? (1 ? 2 2 6 1 5 4 , g (2) ? m ? g ( x)max ? g ( ) ? m ? 2 24 3 1 3 2 为使方程 f ( x) ? x ? 2x ? x ? m ? 0 在区间 [ , 上恰有两个不相等的实数根,则 2] 2 5 ? 1 ? g ( 2 ) ? m ? 24 ≥ 0 ? 1 ? ? g (1) ? m ? ? 0 6 ? ? g (2) ? m ? 4 ≥ 0 ? 3 ?
设 g ( x) ? 解得: ?

(Ⅲ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) 的定义域为 ( ?1, ?? ) ,且 f ?( x) ? 当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 ( ?1, 0) 上单调递减, 当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

x(2 x ? 3) x ?1

0 ∴ f (0) 为 f ( x) 在 ( ?1, ?? ) 上的最小值,∴ f ( x)≥f (0) ,而 f (0) ? ,故 x2 ? x ≥ln( x ?) ,其中当 1

1 1 1 1 ? 0 ,得 2 ? ? ln( ? 1) ? ln(n ? 1) ? ln n , n n n n 1 1 1 1 1 ? ( n ? 1) ,∴ ? ? ln(n ? 1) ? ln n ,∴ 而 ? ln(n ? 1) ? ln n n( n ? 1) n 2 n(n ? 1) n n ?1
x ? 0 时等号成立,对任意的正整数 n(n ? 1) ,取 x ?

∴1 ?

n ?1 1 1 1 ? ??? ? (ln3 ? ln 2) ? (ln 4 ? ln3) ? ?[ln(n ? 1) ? ln n] ? ln(n ? 1) ? ln 2 ? ln 2 2 3 n ?1

5 1 ≤m ? ? 24 6

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x)=x2+x-ln(x+a)+3b 在 x=0 处取得极值 0. )求 (Ⅰ

5 x+m 在区间[0,2]上恰有 2 个不同的实数解, 2 1 1 1 n ?1 求实数 m 的取值范围; )证明:对任意的正整数 n>1,不等式 1+ + +……+ (Ⅲ > ln 2 3 n ?1 2
实数 a、b 的值; )若关于 x 的方程 f (x)= (Ⅱ 都成立. 解: ) (Ⅰ 由题设可知 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 经检验 a ? 1, b ? 0 符合题意。
? f ?(0) ? 0 1 , 当 x ? 0 时,(x) ∵ f 取得极值∴? , 解得 a ? 1, b ? 0 x?a ? f (0) ? 0


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