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导数复习总结


导数复习总结
题型一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数: (1)y=ex· cos x; x x (2)y=x-sin 2cos 2; (3)y= ln?2x+1? . x

题型二 导数的几何意义 1.(2013· 广东卷)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=________. 2.设 f(x)=xln x+1,若 f′(x0)=2,则 f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为____________________.

1 3.(2014· 济南质检)设函数 f(x)=aex+aex+b(0<a<1). (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x,求 a 和 b 的值.

题型三 利用导数研究函数的单调性 1. (2013· 广东卷改编)设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,求实数 k 的取值范围.

2.已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间.

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考点四

利用导数研究函数的极值

1 3 1.设 f(x)=aln x+2x+2x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

2. 已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点.

题型五

利用导数求函数的最值

1.(2012· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 处取得极值为 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值.

2. 设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)令 g(x)=f(x)-2x+2,求 g(x)在定义域上的最值.

题型六 不等式问题

(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题. (2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值 域问题. (3)两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论 与数形结合思想的应用; 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理,如(2).
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1. 已知函数 f(x)=a(x2+1)+ln x. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若对任意 a∈(-4,-2)及 x∈[1,3],恒有 ma-f(x)>a2 成立,求实数 m 的取值范围.

2. (2012· 山东卷)已知函数 f(x)=

ln x+k ex (k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),曲线 y=f(x)

在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0,g(x)<1+e-2.

题型七

导数在方程(函数零点)中的应用

1. (2013· 北京卷)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.

1-a 1 2. 已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-ax-a,x∈R,其中 a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围.

题型八 用定积分求曲边梯形的面积 1.已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为 2π A. 5 4 B.3 3 C.2 π D.2

4 2.曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为3,则 k=________.

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