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广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学(文)试题(含答案)


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2016 年高考模拟考试

数学(文科)

P 是抛物线上一点, 10. 已知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 延长 PF 交抛物线于点 Q , 若 | PF |? 5 ,
则 | QF |?

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.若集合 M ? x | x 2 ? 1 , N ? ?? 2 , 0 , 1?,则 M ? N ?

?

?

A. ?? 2 , 0 , 1? B. ? i B. ? 3

B. ?0 , 1?

C. ?? 2 , 0? D. ? 1 D. ? 12

D. ?

2.设数列 ?an ? 满足 an ? i n , i 是虚数单位, n ? N * ,则数列 ?an ? 的前 2015 项和为 A. i C. 1 3.设向量 a ? (2 , ? 4) , b ? (6 , x) ,若 | a ? b |?| a ? b | ,则 x ? A. 3 C. 12 4.一个几何体的三视图如图所示,其中,俯视图是半径为 2 、

3 D. 2 2 11.某商店经营一批进价为每千克 3.5 元的商品,调查发现,此商品的销售单价 x (元/千克)与
A. B. C.
日销量 y (千克)之间有如下关系:

9 8

5 4

x
y

5

6 17

7 15

8
12

20

? 圆心角为 的扇形。该几何体的表面积是 2 A. 3? ? 12 B. 5? C. 5? ? 12

3
2
正视图 侧视图

若 x 与 y 具有线性相关关系 y ? b x ? a ,且 b ? ?2.6 ,为使日销售利润 最大,则销售单价应定为 .....
(结果保留一位小数)

?

?

?

D. 8? ? 12

A. 7.5

B. 7.8

C. 8.1

D. 8.4

?2 x ? y ? 10 ? 5.实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 | x | ? | y | 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?
A. 6 B. 8 C. 10 6.执行如下图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的结果是
开始

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数,满足 f ( x ? 3) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 满足

2
俯视图

a1 ? ?1 ,且前 n 项和 S n 满足
A. 3 B. ? 3

D. 14

Sn a ? 2 ? n ? 1 ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? n n C. 0 D. 6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.从 2 , 0 , 1 , 6 四个数中随机取两个数组成一个两位数,并要求所取得较大的数为十位数字, 较小的数为个位数字,则所组成的两位数是奇数的概率 P ?
2 2

a ? 1, b ? 2

c ? a?b

c ? 2016 ? a?b
C. 130




输出 a

结束



b ? c2
A. 9
则下列说法正确的是

14.若双曲线

1 x y ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线与圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 相切,且圆 C 的 2 2 a b


B. 121

D. 17021

圆心是双曲线的其中一个焦点,则双曲线的实轴长为

7. 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos?x ,? ? 0 是常数,x ? R , 且图象上相邻两个最高点的距离为 ? , A. ? ? 1 B.曲线 y ? f ( x) 关于点 (? , 0) 对称

15 .已知四面体 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB ? 平面 ABC , AB ? AC ,且

AB ? 1 , PB ? AC ? 2 ,则球 O 的表面积 S ?

. .

? C.曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? 对称 D.函数 f ( x) 在区间 (0 , ) 单调递增 3 2 a b 8.若 a , b 都是不等于 1 的正数,则“ loga 2 ? logb 2 ”是“ 2 ? 2 ”的
A.充分非必要条件
2 9.已知 f ( x ) ? ax ?

?

16. 若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且

1 a n ?1

?

1 * (n? N ) , 则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? n ?1 an

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已 知 ?A B C 的 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 若 向 量 m ? (2a ? b , c) 与

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件

3 1 b ( a ? 0 ,b ? 0 ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线经过点 ( , ) , 2 2 x

n ? (cosB , cosC) 共线.
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 | m |? 2 | n |? 2 ,求 a 的大小.

1 1 ? 有 a b A.最小值 9


B.最大值 9

C.最小值 4

D.最大值 4
·1·

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18. (本小题满分 12 分) 环保组织随机抽检市内某河流 2015 年内 100 天的水质,检测单位体积河水中重金属含量 x ,并 根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失 y (单位:元)与单位体积河水中重金属 含量 x 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e ? x ( a ? R ) .

1 时,试证明 f / ( x) ? 1 ; 2 (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 (1 , 3) 上的单调性.
(Ⅰ)当 a ?

?0 , ? 的关系式为 y ? ?4 x ? 400, ?5 x ? 600, ?

0 ? x ? 100 100 ? x ? 200 ,若将频率视为概率,在本年内随机抽取一天,试估 200 ? x ? 250
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清 题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C 为⊙ O 上一点, AD 和过 C 点的切线互相垂直,垂足为 D . (Ⅰ)求证: AC 平分 ? DAB ; (Ⅱ)若 AB ? 9 , AC ? 6 ,求 CD .

计这天经济损失不超过 500 元的概率.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? 19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABA 1 ? DCD1 中, D1C ?

?x ? sin ? ? cos? ( ? 为参数, ? ? [0 , 2? ) ) ,以 ? y ? 1 ? sin 2?

原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? 2 .

2a , DD1 ? DA ? DC ? a ,点 E 、 F 分别是
D1 A1

(Ⅰ)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标.

BC 、 DC 的中点.
(Ⅰ)证明: AF ? ED1 ; (Ⅱ)求点 E 到平面 AFD 1 的距离.

D A 20. (本小题满分 12 分)

F O

C E B

5 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4 ,且经过点 P ( 2 , ) . 2 3 a b (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; 2 (Ⅱ)若直线 l 经过 M (0 , 1) ,与 ? 交于 A 、 B 两点, MA ? ? MB ,求 l 的方程. 3
已知椭圆 ? :

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)解不等式 | 3 ? 2 x |? 5 ; (Ⅱ)若 ?x ? [1 , 2] , x? | x ? a |? 1 恒成立,求常数 a 的取值范围.

·2·

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评分参考
一、选择题:BDAC CBDD ABCA

AF ? 平面 ABCD ,所以 DD1 ? AF ??3 分

DA ? DC ? a , CE ? DF ?

1 a , ?ADF ? ?DCE ? 900 , ?ADF ? ?CDE , 2

1 2n 二、填空题: , 2 , 9? , 3 n ?1 三、解答题:
17.解: (Ⅰ)依题意 c ? cos B ? (2a ? b) ? cosC ??1 分 由正弦定理得, sin C cos B ? (2 sin A ? sin B) ? cosC ??3 分

?DAF ? ?CDE , AF ? DE ??4 分

DD1 ? DE ? D ,所以 AF ? 平面 D1 DE , AF ? ED1 ??5 分
(Ⅱ)设三棱锥 D1 ? AEF 的体积为 V ,点 E 到平面 AFD 1 的距离为 h

V ?

sin(B ? C) ? sin C cos B ? sin B cosC ? 2 sin A cosC ??5 分
1 B ? C ? ? ? A ,所以 sin(B ? C ) ? sin A , cos C ? 2
0 ? C ? ? ,C ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? S ?AEF ? DD1 ? ? (a 2 ? 2 ? ? a ? a ? ? a ? a) ? a ? a 3 ??7 分 3 3 2 2 2 2 2 8

D1 F ? AF ?
的面积 S ?

5 3 过 F 作 FG ? AD1 于 G , 则 FG ? a ,AD1 ? 2a , a ??9 分,?AD1 F 2 2

?

3

??6 分

6 2 a ??10 分 4

2 2 (Ⅱ)由 | n |? 1得 cos B ? cos C ? 1, cos C ?

B?

?
6

或B ?

5? ? ? ,因为 C ? ,所以 B ? ??8 分 6 3 6

1 3 得 cos B ? ? ??7 分 2 2

1 6 2 1 6 ? a ? h ? a 3 ??11 分,解得 h ? a ??12 分 3 4 8 4
20.解: (Ⅰ)依题意, 2c ? 4 ,椭圆 ? 的焦点为 F1 (?2 , 0) , F2 (2 , 0) ??1 分

所以 ?ABC 是直角三角形, b ?

1 3 a,c ? a ??9 分 2 2

5 5 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (2 ? 2) 2 ? ( ) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ( ) 2 ? 6 ??3 分 3 3
x2 y2 ? ? 1 ??4 分 所以 b ? a ? c ? 5 ,椭圆 ? 的方程为 9 5
2 2 2

由 | m |? 2 得, (2a ? b) 2 ? c 2 ? 4 ??10 分 代入得, (2a ?

1 2 3 2 2 3 ??12 分 a) ? ( a) ? 4 ,解得 a ? 2 2 3

(Ⅱ)若 l 与 x 轴垂直,则 l 的方程为 x ? 0 , A 、 B 为椭圆短轴上两点 (0 , ? 5 ) ,不符合 题意??5 分

18.解: (Ⅰ)依题意, a ? 50 ? 2 ? 0.004 ? 50 ? 0.005 ? 50 ? 0.006 ? 50 ? 1??2 分 解得 a ? 0.001 ??3 分 (Ⅱ)解 4 x ? 400 ? 500 ,得 x ? 225 ??5 分 解 5 x ? 600 ? 500 ,得 x ? 220 ??7 分 所求概率为 2 ? 0.004? 50 ? 0.005? 50 ? 0.006? 50 ? 0.001? (220? 200) ??10 分

? 0.97 ??11 分
答: (略)??12 分 19.证明与求解: (Ⅰ)由已知得 DD1 ? DC 2 ? D1C 2 , DD1 ? DC ??1 分 连接 DE ,由已知得 AD ? DD1 ,又 DD1 ? DC , AD ? DC ? D ,所以 DD1 ? 平面
2

ABCD ??2 分
·3·

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 设 l 的方程 y ? kx ? 1 ,由 ? 9 得, (9k ? 5) x ? 18kx ? 36 ? 0 ??7 分 5 ? y ? kx ? 1 ? 18 k 36 , x1 ? x 2 ? ? 2 ??8 分 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 2 9k ? 5 9k ? 5 2 2 2 由 MA ? ? MB 得, ( x1 , y1 ? 1) ? ? ( x 2 , y 2 ? 1) , x1 ? ? x 2 ??9 分 3 3 3 1 18k 2 2 36 54 k 2 54 ) ? 2 所以 x 2 ? ? 2 , ? x2 ? ? 2 , (? 2 ??11 分 3 3 9k ? 5 9k ? 5 9k ? 5 9k ? 5 1 1 解得 k ? ? ,直线 l 的方程为 y ? ? x ? 1 ??12 分 3 3

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( x 2 ? x) 21.解: (Ⅰ) f ( x) ? , f / ( x) ? (? x 2 ? x ? 1)e ? x ??1 分 x e
设 g ( x) ? f / ( x) ,则 g / ( x) ? ( x 2 ? 3x)e ? x ??2 分 解 g / ( x) ? ( x 2 ? 3x)e ? x ? 0 得, x ? 0 或 x ? 3 ??3 分

因为 AD ? CD ,所以 AD // OC , ?DAC ? ?OCA ??4 分

?OAC ? ?DAC , AC 平分 ? DAB ??5 分 (Ⅱ)连接 BC ,则 BC ? AC ,又 AC 平分 ? DAB ,所以 ?ABC ~ ?ACD ??7 分

AB AC ? ,解得 AD ? 4 ??9 分,所以 CD ? AC2 ? AD2 ? 2 5 ??10 分 AC AD
3

x
g / ( x)
g ( x)

(?? , 0)

0

(0 , 3)

(3 , ? ?)

2 23.解: (Ⅰ)由 x ? sin ? ? cos ? 得, x ? 1 ? sin 2? ??2 分,所以 x 2 ? y ??3 分

+ ↗

0
极大值

- ↘

0
极小值

+ ↗ ??5 分

又 x ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ?

?
4

) ,所以 x ?[? 2 ,

2 ] ,与参数方程等价的普通方程是

x 2 ? y , x ? [? 2 ,

2 ] ??4 分

⑵由 ? sin ? ? ? cos? ? 2 得 x ? y ? 2 ? 0 ??6 分 解?

g (0) ? 1 , g (3) ? ?5e ?3 ,且 x ? ??) 时, g ( x) ? (? x 2 ? x ? 1)e ? x ? 0 ,所以 g ( x) 的最大
值为 g (0) ? 1 , g ( x) ? f ( x) ? 1 ??6 分
/

?x 2 ? y ? x ? ?1 ?x ? 2 得? ,或 ? ??9 分(对 1 个给 2 分,全对 3 分) y ? 1 y ? 4 x ? y ? 2 ? 0 ? ? ?

(Ⅱ) f / ( x) ? ?[ x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a]e ? x ??7 分 解 f / ( x) ? 0 得, x1 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 或 x2 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 ??8 分

检验知,交点为 ( ?1 , 1) ??10 分 24.解: (Ⅰ)由 | 3 ? 2 x |? 5 得 | 2 x ? 3 |? 5 ,所以 2 x ? 3 ? 5 或 2 x ? 3 ? ?5 ??2 分

x

(?? , x1 )
/

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 , ? ?)

解得 x ? 4 或 x ? ?1 ??4 分,原不等式的解集为 ?x | x ? 4或x ? ?1???5 分
2 2 (Ⅱ)由已知得, | x ? a |? x ? 1 ? 0 , ( x ? a) ? ( x ? 1) ??6 分

(a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 ,


f ( x)

0



0



a ? 1 时, (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 恒成立??7 分 a ? 1 时,由 (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 得, a ? 2 x ? 1 ,从而 a ? 3 ??8 分

f ( x)



极小值



极大值

↘ ??9 分

a ? 1 时,由 (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 得, a ? 2 x ? 1 ,从而 a ? 1 ??9 分
综上所述, a 的取值范围为 (?? , 1] ? [3 , ? ?) ??10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

3 ,解 1 ? a ? 1 ? a 2 ? 3 得 a ? ? ??10 分 f / (1) ? e ?1 ? 0 (即 1 ? ( x1 , x2 ) ) 4 3 当 a ? ? 时, x2 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 ? 3 , f ( x) 在区间 (1 , 3) 上的单调递增??11 分 4 3 当 a ? ? 时, x2 ? 1 ? a ? 1 ? a 2 ? 3 , f ( x) 在区间 (1 , 1 ? a ? 1 ? a 2 ) 上的单调递增,在 4
区间 (1 ? a ? 1 ? a 2 , 3) 上的单调减??12 分(不计是否包括 1 ? a ? 1 ? a 2 ) 22.证明与求解: (Ⅰ)连接 OC ,则 OC ? CD , ?OAC ? ?OCA ??2 分
·4·


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