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2018版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教A版必修4_图文

第一章 三角函数 §1.6 三角函数模型的简单应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题. 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中,周期现象广泛存在,潮起潮落、星月运转、昼夜更替、 四季轮换,甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期 性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述? 答案 三角函数模型. 答案 梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤: 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景, 在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:收集、整理数据,建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知 识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数 学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化. 第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步:将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示: 题型探究 类型一 三角函数模型在物理中的应用 例1 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). π (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象,根据 2 图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式; 解答 1 (2)如果t在任意一段 的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和 150 最小值,那么ω的最小正整数值是多少? 解 1 2π 1 依题意知,周期 T≤150,即 ω ≤150(ω>0), ∴ω≥300π>942,又ω∈N*, 故所求最小正整数ω=943. 解答 反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、 识图、用图是数形结合的有效途径. 跟踪训练 1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回 摆动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系 是S=6sin(2πt+π ). 6 (1)画出它的图象; 解答 (2)回答以下问题: ①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置是多少? 解 小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? 解 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要多少时间? 解 小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 解答 类型二 例2 三角函数模型在生活中的应用 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108米,直径长是98米,匀速旋 转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时, 那么: 69 (1)当此人第四次距离地面 2 米时用了多少分钟? 解答 49 (2)当此人距离地面不低于(59+ 2 3)米时可以看到游乐园的全貌,求摩天 轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌? 解 π 49 由题意得-49cos9t+59≥59+ 2 3, π 3 即 cos9t≤- 2 . 故不妨在第一个周期内求即可, 5π π 7π 15 21 所以 6 ≤9t≤ 6 ,解得 2 ≤t≤ 2 , 21 15 故 2 - 2 =3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌. 解答 反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行: (1) 认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论; (2) 建立三角函数 模型,将实际问题数学化; (3) 利用三角函数的有关知识解决关于三 角函数的问题,求得数学模型的解; (4) 根据实际问题的意义,得出 实际问题的解;(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练2 如图所示,一个摩天轮半径为10 m, 轮子的底部在距离地面2 m处,如果此摩天轮按逆 时针转动,每 30 s 转一圈,且当摩天轮上某人经 过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; 解 设在t s时,摩天轮上某人在高h m处. 2π π 这时此人所转过的角为30 t=15 t, π 故在 t s 时,此人相对于地面的高度为 h=10sin 15t+12(t≥0). 解答 (2)在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 解 π π 1 由 10sin15t+12≥17,得 sin15t≥2, 5 25 则2≤t≤ 2 . 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m. 解答 当堂训练 1.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平 衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos ? ? ? ? g π? ? t + ? ,其中g是 l 3? g 4π2 cm. 重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l=_____ 解析 2π ∵T= =1,∴ g l g g l =2π,∴l=4π2. 1 2 3 4 解析 答案 2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a +Acos ?π ? ? ? ? x - 6 ? ? ? ?6 ? (x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温 最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温 20.5 ℃. 为______ ?π ? 28-18 28+18 ? ? x - 6 ? 解析 由题意可知 A= 2 =5, a= 2 =23, 从而 y=5cos? ? ?+23. 6 ? ? 故10月份的平均气温值为 ?π ?

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