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贵州省册亨一中2012-2013学年高二下学期3月月考卷数学(文科)


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贵州省册亨一中 2012-2013 学年高二下学期 3 月月考卷数学(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 1.设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ' ( x) 的图像如图所示,则下列结论中一 定成立的是( )
,

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

A.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x) 有极大值 f ( ?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f ( ?2) D.函数 f ( x) 有极大值 f ( ?2) 和极小值 f (2) 【答案】D 2.函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( A.(
? 3?
, 2 2 )

)
, 5? 2 )

B. (? ,2? )

C. (

3? 2

D. ( 2? ,3? )

【答案】B 3.由直线 y ? x, y ? ? x ? 1 ,及x轴围成平面图形的面积为( A. ? ??1 ? y ? ? y ?dy
0
1

)

1

1

B. ? 2 ??? x ? 1? ? x ?dx
0

C. ? 2 ??1 ? y ? ? y ?dy
0

D. ? x ? ??? x ? 1??dx
0

1

【答案】C 4.已知
? 0 (3ax ? 1)( x ? b) dx ? 0
1

, a, b ? R ,则 a ? b 的取值范围为( B. ? ??,
? ? 1? ? ? ?1, ?? ? 9?

)

A. ? ??,
?

?

1? ? 9?
1 9

a ? b ? ( ??,

] ? [1,??)

C. 【答案】C
第 1 页(共 7 页)

D.

?1, ?? ?

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5. 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2

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/

记函数 f (x ) 的导函数为 f ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M ( x0 , y0 ) ,
//

(x ) ,

f

/

( x ) 的导函数为 f

//

( x ) ,则有 f

( x 0 ) ? 0 。若函数 f

? x? ? x
)

3

? 3 x ,则可求得
2

? 1 ? ? 2 ? ? 4022 ? ? 4023 ? f ? ?? f ? ? ? ... ? f ? ? ?f ? ??( ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ?

A. 4023 【答案】D
2

B. ?4023

C. 8046

D. ?8046

6. ? ( 4 ? x ? x) dx 等于(
2 ?2

)

A.0 B. ? D. 2? ? 4 【答案】C 7. 若在曲线 f ( x, y ) ? 0(或y ? f ( x)) 上两个不同点处的切线重合, 则称这条切线为曲线 f(x, =0(或 y=f(x)) y) 的“自公切线” .下列方程:①x —y =1;②y= x —|x|;③y=3 sinx+4cosx;④|x|+1= 4 ? y 对应的曲线
2
2 2 2

C. 2?

中存在“自公切线”的有( A.①③ 【答案】C 8.曲线 x-y=0, A.1 【答案】B B.①④

) C.②③ D.②④

y ? x ? 2 x ,所围成的图形的面积是(
2

) D.
5 2

B.

9 2

C.9

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) g ( x)

? a ,且 f '( x ) g ( x ) ? f ( x ) g '( x ) ,
x

f (1) g (1)

?

f ( ?1) g ( ?1)

?

5 2

,若有穷数列 ? B.5

? f ( n) ? 31 ,则 n 等于( ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 32 ? g ( n) ?

)

A.4 【答案】B

C.6
1 1 , )的切线的倾斜角为( 2 4

D. 7

10.过抛物线 y ? x 上的点 M( ?
2

) D.
?
2

A.

?
4

B.

?
3

C.

3? 4

【答案】C 11.定义在 (1, ??) 上的函数 f ( x) 满足:① f (2 x) ? cf ( x ) ( c 为正常数) ;②当 2 ? x ? 4 时,
f ( x ) ? 1 ? ( x ? 3) ,若函数 f ( x ) 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上,则 c 等于(
2

)

A.1 【答案】D
第 2 页(共 7 页)

B.2

C.2 或 4

D.1 或 2
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f ( x)

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12.已知函数

f( ?? ? ( ?x x 3x f x ? ) ) lm i ? x 在 R 上可导,则 等于(
? 0 x ?

)

? A. 4 f (x)

? B. 3 f (x)

? C. f ( x )

? D. ? f (x)

【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题
1

共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设 为 【答案】 ?? ?,?3? 14.曲线 y ? x 在点 ( a, a ) (a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成三角形的面积为
3 3

a?

?

1 ? x dx
2

0

,对任意 x ? R ,不等式 a (cos x ? m) ? ? cos x ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围
2

.

1 6

,则 a ?



【答案】 ?1 15.已知三次函数 f (x ) ?
1 3 x ?
3

b 2

x ? x 在 R 上有极值,则实数 b 的范围为____________
2

【答案】 ( ??, ?2) ? (2, ??) 16.如图是函数 y ? f ( x) 的导数的图象,对于下列四个命题:

① f ( x) 在 [?2, ?1] 上是增函数; ② x ? ?1 是 f ( x) 的极小值点; ③ f ( x) 在 [?1, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减函数; ④ x ? 3 是 f ( x) 的极小值点. 其中正确的命题的序号是____________. 【答案】②③ 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 f ( x) ?
2x ? a x ?2
2

( x ? R)

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程;
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(2)若 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上是增函数,求实数 a 的取值范围 A ; (3)在(2)的条件下,设关于 x 的方程 f ( x) ?
2

1 x

的两个根为 x1 、 x2 ,若对任意

a ? A , t ? [ ?1,1] ,不等式 m ? tm ? 1 ? x1 ? x2 恒成立,求 m 的取值范围.
?2( x ? x ? 2)
2

【答案】 (1)a=1 时, f ( x) ?
/

( x ? 2)
2

2



f (2) ? 0 ,过点 (2,f (2)) 的切线方程为 y=
/

1 2

(2) f ( x) ?
/

4 ? 2ax ? 2 x ( x ? 2)
2 2

2

?

?2( x ? ax ? 2)
2

( x ? 2)
2

2



∵ f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上是增函数, ∴ f ( x) ? 0 对 x ? [ ?1,1] 恒成立,
/

即 x ? ax ? 2 ? 0 对 x ? [ ?1,1] 恒成立
2

设 ? ( x) ? x ? ax ? 2 ,则问题等价于
2

?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? ?1 ? a ? 1 , ? ?? ( ?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0

∴ A ? [ ?1,1] (3)由
2x ? a x ?2
2

?

1 x

,得 x ? ax ? 2 ? 0 ,
2 2

∵ ? ? a ? 8 ? 0, ∴ x1 , x2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两非零实根,
2

∴ x1 ? x2 ? a, x1 x2 ? ?2 ,从而 x1 ? x2 ? ∵ ?1 ? a ? 1 ,∴ x1 ? x2 ?
2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?
2

a ?8 ,
2

a ?8 ? 3.
2

∴不等式 m ? tm ? 1 ? x1 ? x2 对任意 x ? A 及 t ? [ ?1,1] 恒成立
? m ? tm ? 1 ? 3 对任意 t ? [ ?1,1] 恒成立 ? m ? tm ? 2 ? 0 对任意 t ? [ ?1,1] 恒成立
2 2

设 g (t ) ? m ? tm ? 2 ? mt ? (m ? 2) ,则问题又等价于
2 2

? g ( ?1) ? m ? m ? 2 ? 0 ? ? m ? ?2, m ? 2 ? 2 ? g (1) ? m ? m ? 2 ? 0 ?
2

即 m 的取值范围是 ( ??, ?2] ? [2, ??)
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18.求由抛物线 y 2

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? 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.

【答案】焦点坐标为 F (a,0) ,设弦 AB、CD 过焦点 F,且 AB ? OF . 由图得知: S ACF
? S AGF ? S FBE ? S FBD ,故 S ACFDOA ? S AFBDOA .
2 ? y ?a ? ? 4a ?

所求面积为: A ? 2 ?

2a 0

? 8 ?dy ? a 2 . ? 3 ?

19.某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为 30 元,并且每件玩具的加工费为 t 元(其中 t 为常数,且
2?t ?5) ,设该工厂每件玩具的出厂价为 x 元( 35 ? x ? 41 ) ,根据市场调查,日销售量与 e
x

( e 为自然对

数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为 40 元时,日销售量为 10 件. (Ⅰ)求该工厂的日利润 y (元)与每件玩具的出厂价 x 元的函数关系式; (Ⅱ)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求 y 的最大值.
k

【答案】 (Ⅰ)设日销量为
10e e
40 x 40

e

x

, 则

k e
40

? 10, ? k ? 10e

40

.
40

则日售量为
?y ?
40

, ? 日利润 y ? ( x ? 30 ? t ) ?

10e e
x

.

10e ( x ? 30 ? t ) e
x

,其中 35 ? x ? 41 .

(Ⅱ) y ? ?

10e (31 ? t ? x ) e
x

,

令 y ? ? 0 得 x ? 31 ? t .
? 当 35 ? x ? 41 时, y ? ? 0 .

①当 2 ? t ? 4 时, 33 ? 31 ? t ? 35 .
? 当 x ? 35 时, y

取最大值,最大值为 10(5 ? t )e5 .
?

②当 4 ? t ? 5 时,35 ? t ? 31 ? 36 , 函数 y 在 [35, t ? 31] 上单调递增, [t ? 31, 41] 上单减. 在 取最大值 10e9 ?t .
? 当 2 ? t ? 4 时, x ? 35 时,日利润最大值为 10(5 ? t )e
5

当 x ? t ? 31 时, y



当 4 ? t ? 5 时, x ? 31 ? t 时,日利润最大值为 10e9 ?t 元. 4 20.若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. 【答案】 (1)由题意可知 f′(x)=3ax2-b, ?f′?2?=12a-b=0, ?a=1, ? ? 1 于是? 解得? 3 故所求的解析式为 f(x)= x3-4x+4. 4 3 ? ? ?f?2?=8a-2b+4=-3, ?b=4. (2)由(1)可知 f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2.
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当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:

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28 4 ;当 x=2 时,f(x)有极小值- . 图(略) . 3 3 4 28 故要使 g(x)=f(x)-k 有三个零点,实数 k 的取值范围是- <k< . 3 3 21.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨)之间的关系式为: 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值
p ? 24200 ? 1 5 x
2

,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达

到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本) 【答案】每月生产 x 吨时的利润为
f ( x ) ? ( 24200 ?
3 5

1 5

x ) x ? (50000 ? 200 x )
2

??

1 5

x ? 24000 x ? 50000
3

( x ? 0)



f ?( x ) ? ?

x ? 24000 ? 0
2

解得: x ? 200 或 x ? ?200 (舍去) .因为

f ( x ) 在 [0, ??) 内只有一个点 x ? 200 使得

f ?( x ) ? 0

,故它就是最大值点,且最大值为:

因f ( x )在[0,??)内只有一个点x ? 200使f ?( x ) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为
f (200) ? ? 1 5 (200) ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元)
3

答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 22.已知函数 f ( x) ?
ax ? b x ?1
2

在点M (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0.

(I)求 f ( x) 的解析式; (II)设函数
g ( x ) ? ln x, 证明 : g ( x) ? g ( x)对x ? [1, ??) 恒成立。

【答案】 (Ⅰ)将 x ? 1 代入切线方程得 y ? f (1) ? 0 , 又 f (1) ?
a?b 2

,化简得 a ? b ? 0 .

f ?( x ) ?

a ( x ? 1) ? ( ax ? b) ? 2 x
2

(1 ? x )
2

2



f ?(1) ?

2a ? 2( a ? b) 4

?

?2b 4

?

?b 2

? 1. 2x ? 2 x ?1
2

解得: a ? 2, b ? ?2 ;所以 f ( x) ? (Ⅱ)证明:要证 ln x ?
2



2x ? 2 x ?1
2

在 [1,??) 上恒成立,

即证 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 在 [1,??) 上恒成立,

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即证 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立 . 设 h( x) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 x

?2

∵ x ? 1 ,∴ 2 x ln x ? 0,

x?

1 x

? 2 ,即 h ?( x ) ? 0 .

∴ h(x) 在 [1,??) 上 x ? [1,??) 单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 ∴ g ( x) ? f ( x) 在上恒成立 .

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