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2015-2016学年高中数学 2.5 等比数列的前n项和课时作业14 新人教A版必修5


课时作业(十四)

等比数列的综合应用
)

A 组 基础巩固 1.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( A.31 B.33 C.35 D.37 S10-S5 5 解析:根据等比数列性质得 =q ,

S5

=2 ,∴S10=33. 1 答案:B 2.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是( ) A.14 B.16 C.18 D.20 解析:S4=1,S8=3.∴S8-S4=2, ∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16,…,成等比数列,且公比为 2, 4 ∴a17+a18+a19+a20=S20-S16=1·2 =16. 答案:B 3.如果一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1, 且中间两项的和为 96,则此等比数列的项数为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 解析:设等比数列为{an},其项数为 2n,公比为 q,则 a1=1,an+an+1=96. a2?1-q2n? a1?1-q2n? S 偶= ,S 奇= . 2 2 1-q 1-q 由 S 偶=2S 奇,得 a2=2a1=2.∴q=2. n-1 n 由 an+an+1=96,得 2 +2 =96. n-1 n-1 ∴3·2 =96,即 2 =32, ∴n=6,2n=12. 答案:A ∴ 4.在等比数列中,已知 a1a8a15=243,则 A.3 B.9 C.27 D.81 2 解析:∵a1a15=a8, 5 5 ∴a8=243=3 ,∴a8=3, a3 a9·a7·a11 9 2 ∴ = =a9·a7=a8=9.
3

S10-1

5

a3 9 的值为( a11

)

a11

a11

答案:B 1? ? 1? ? 1 1? ? 1 1 5.1+?1+ ?+?1+ + ?+…+?1+ + +…+ 10?的值为( ) 2 ? ? 2? ? 2 4? ? 2 4 1 1 A.18+ 9 B.20+ 10 2 2 1 1 C.22+ 11 D.18+ 10 2 2 1 1 1 ? 1? 解析:该数列的通项为 an=1+ + +…+ n-1=2?1- n?,可以看作 11 项求和,则前 11 2 4 2 ? 2?

-1-

1 1? 1- 11? ? ? 2? 2 ? 1? ? 1? 1? 1 ? ? 项的和为 S11=2?1- ?+2?1- 2?+…+2?1- 11?=2×11-2× =20+ 10,所以 B 正 1 2 ? 2? ? 2 ? ? 2 ? 1- 2 确. 答案:B 2 6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=Sn·Sn-1(n≥2),a1= ,则 a10 等于( ) 9 4 4 A. B. 9 7 4 5 C. D. 63 63 解析:由 an=Sn·Sn-1(n≥2), 得 Sn-Sn-1=Sn·Sn-1(n≥2), 1 1 1 9 11 ∴ - =-1,∴ = -n+1= -n, Sn Sn-1 Sn 2 2 2 ∴Sn= , 11-2n 2 2 4 ∴a10=S10-S9= - = . 11-20 11-18 63 答案:C 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以 上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________,

T16 成等比数列. T12 T8 T12 T16 解析:对于等比数列,通过类比,若等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, , , 成 T4 T8 T12
答案:

等比数列.

T8 T12 T4 T8
? ?bnbn+1?

8.在等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列? 项和 Sn=________. 3 解析:∵a1=3,a4=81,∴3q =81, n-1 n ∴q=3,an=3×3 =3 , 1 1 n ∴bn=log33 =n, = , bnbn+1 n?n+1? 1 1 1 1 ∴ Sn = + + +…+ +

1 ? ?的前 n

1 1 1 1 + + +…+ + b1b2 b2b3 b3b4 bn-1bn bnbn+1 1×2 2×3 3×4 ?n-1?n 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 -1? =?1- ?+? - ?+? - ?+…+? ? n?n+1? ? 2? ?2 3? ?3 4? ?n-1 n? 1 ? 1 n ?1 +? - ?=1-n+1=n+1. ?n n+1? = 答案:

1

n n+1

9.已知等差数列{an}满足 a2=0,.a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列?
?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和.

-2-

解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由已知条件, 得? 故数列{an}的通项公式为 an=2-n. (2)设数列?
?

?a1+d=0, ? ?2a1+12d=-10. ?

解得?

?a1=1, ? ?d=-1. ?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和为 Sn,

即 Sn=a1+ +…+ n-1. 2 2 故 S1=1, = + +…+ n. 2 2 4 2 所以,当 n>1 时, Sn a2-a1 an-an-1 an =a1+ +…+ n-1 - n 2 2 2 2 1 ? 2-n ?1 1 =1-? + +…+ n-1?- n 2 ? 2 ?2 4 1 2 - n n ? ? =1-?1- n-1?- n = n. 2 ? 2 ? 2 所以 Sn= n-1.当 n=1 时,S1 符合此式. 2
n-1. 2 2 * 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n +n,n∈N ,数列{bn}满足 an=4log2bn+3, n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 2 解:(1)由 Sn=2n +n,得当 n=1 时,a1=S1=3; * 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1,当 n=1 时也适合,所以 an=4n-1,n∈N . n-1 * 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2 ,n∈N . n-1 * (2)由(1)知 an·bn=(4n-1)·2 ,n∈N , 2 n-1 所以 Tn=3+7×2+11×2 +…+(4n-1)·2 , 2 n-1 n 2Tn=3×2+7×2 +…+(4n-5)·2 +(4n-1)·2 , n 2 n-1 n 所以 2Tn-Tn=(4n-1)·2 -[3+4(2+2 +…+2 )]=(4n-5)·2 +5. n * 故 Tn=(4n-5)·2 +5,n∈N . B 组 能力提升 11.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是 ( )

a2

an

Sn a1 a2

an

n

综上,数列?

?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和 Sn=

n

a5 S5 B. a3 S3 an+1 Sn+1 C. D. an Sn
A. 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 8a1q+a1q =0,得 q=-2, a5 2 an+1 S5 1-q5 11 Sn+1 1-qn+1 ∴ =q =4; =q=-2; = ;而 = 3= n ,由于 n 未知,故无法确定 a3 an S3 1-q 3 Sn 1-q 其值. 答案:D * 12.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意的 n∈N 都有 an+2+an +1-2an=0,则 S5=________. 2 2 解析: 由 an+2+an+1-2an=0, 得 anq +anq-2an=0, 显然 an≠0, 所以 q +q-2=0.又 q≠1, 5 1×[1-?-2? ] 解得 q=-2.又 a1=1,所以 S5= =11. 1-?-2?
-34

答案:11 2 13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n ,数列{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)∵当 n=1 时,a1=S1=2; 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n -2(n-1) =4n-2, 故{an}的通项公式为 an=4n-2, 即{an}是 a1=2,公差 d=4 的等差数列. 设{bn}的公比为 q,则 b1qd=b1, 1 1 n-1 ∴q= .故 bn=b1q =2× n-1. 4 4 2 即{bn}的通项公式为 bn= n-1. 4 an 4n-2 n-1 (2)∵cn= = =(2n-1)4 , bn 2 n-1 4 1 2 n-1 ∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3×4 +5×4 +…+(2n-1)4 , 2 3 n-1 n 4Tn=1×4+3×4 +5×4 +…+(2n-3)4 +(2n-1)4 . 两式相减,得 3Tn=-1-2(4 +4 +4 +…+4
1 2 3

an bn

n-1

1 n n )+(2n-1)4 = [(6n-5)4 +5], 3

1 n ∴Tn= [(6n-5)4 +5]. 9 14.将各项均为正数的数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表,如 下表.记表中各行的第一个数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},各行的最后一个数 a1, a3,a6,a10,…构成的数列为{cn},第 n 行所有数的和为 sn(n=1,2,3,4,…).已知数列{bn} 是公差为 d 的等差数列,从第二行起,每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面 5 一个数的比是常数 q,且 a1=a13=1,a31= . 3

a1 a2 a 3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
… … … … … … … … (1)求数列{cn},{sn}的通项公式; 2n-1 2n+1 4n 2 * (2)记 dn= + (n∈N ),求证:d1+d2+d3+…+dn> - . sn+cn sn+1 3 9 解析:(1)由题意得 bn=dn-d+1. n?n+1? 前 n 行共有 1+2+3+…+n= 个数. 2 4×5 2 2 ∵13= +3,∴a13=b5×q ,即(4d+1)q =1. 2 7×8 2 又∵31= +3,∴a31=b8×q , 2 5 1 2 即(7d+1)q = ,解得 d=2,q= , 3 3 ?1?n-1 2n-1 ∴bn=2n-1,cn=bn? ? = n-1 , 3 ?3?

-4-

? 1? ?2n-1??1- n? n 3 -1 ? 3? 3 sn= = (2n-1)· n . 1 2 3 1- 3 2n-1 2n+1 (2)证明:dn= + sn+cn sn+1 2n-1 2n+1 = + n n+1 3 - 1 2 3 3 -1 3 ? ? ?2n-1?? n + n? ?2n+1?· n+1 3? 2 3 2 ? 3 n n+1 3 1 1 ? 2? 3 ? 2? = ? n + n+1 ?= ?2+ n+1 - n ? 3 -1 3 +1? 3?3 +1 3 -1? 3? n 2?3 -1? 2? ?. = ? 2- n+1 n ?3 -1??3 +1?? 3? ?
2 n n 3 2?3 -1? 2?3 -1? 2 又∵ n+1 < = n < n+1, n n+1 n ?3 -1??3 +1? ?3 -3??3 +1? 3 +1 3 ∴d1+d2+d3+…+dn> 1 ?? 2? ?1 1 ?2n-2?32+33+…+3n+1?? 3? ? ?? 4n 2 2 4n 2 = - + n+2> - . 3 9 3 3 9

-5-


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