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北京市2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编11:概率与统计


北京 2013 届高三理科数学最新模拟试题分类汇编 11:概率与统计 (一)概率
一、选择题 1 . 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) ( 在平面区域 ?

?0 ? x ? 1, 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) ?0 ? y ? 1

满足 2x ? y ? b 的概率大于 A. (??, 2)
【答案】

1 ,则 b 的取值范围是 4
C. (1,3) D. (1, ??)





B. (0, 2) D.

2 . 2013 届 北 京 大 兴 区 一 模 理 科 ) 若 实 数 (

a, b 满 足 a 2 + b 2 ≤ 1 , 则 关 于 x 的 方 程
( )

x 2 - 2 x + a + b = 0 有实数根的概率是
A.

1 4

B.

3 4

C.

3π + 2 4π

D.

π- 2 4π

【答案】C 3 .2013 北京海淀二模数学理科试题及答案) ( 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向

正方形内随机撒豆子,若撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的 估计值为

?
( )

ma A. n
【答案】

na B. m
C.

ma 2 C. n

na 2 D. m

4 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题) 将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第

一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量 p =(m,n), q =(3,6),则向量 p 与 q 共线 的概率为 A. ( B. )

??

?

??

?

1 3

1 4

C.

1 6

D.

1 12

【答案】D 5 . (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)在下列命题中,

? x3 1 4 ”是“ sin ? ? 1 ”的充要条件;② ( ? ) 的展开式中的常数项为 2 ; 2 2 x 1 ③设随机变量 ? ~ N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? ? p . 2
①“ ? ? 其中所有正确命题的序号是 A.② ( B.③ )

-1-

C.②③
【答案】C

D.①③

6 . (2013 届东城区一模理科)某游戏规则如下:随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标,若飞标

1 1 ,则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于 ,则成绩为优秀;若 2 4 1 1 飞标到圆心的距离大于 且小于 ,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得 4 2
到圆心的距离大于 到成绩为良好的概率为 A. ( )

3 16

B.

1 4

C.

3 4

D.

1 16

【答案】A 7 . 2013 北 京昌 平二模数 学理科 试题 及答案 ) 在区间 (

?0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件
( )

“ tan xgcos x ? A.

1 3

1 ”发生的概率为 2 1 B. 2
C.

C.

2 3

D.

3 4

【答案】 二、填空题

8 . 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 理 科 试 题 ) 将 一 个 质 点 随 机 投 放 在 关 于 (

x, y 的 不 等 式 组

?3 x ? 4 y ? 19, ? ? x ? 1, ?y ?1 ? 所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于
1 的概率是_______.
【答案】 三、解答题 9 . (2013 北京朝阳二模数学理科试题)为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数

1?

? 12

独比赛”.比赛成绩共有 90 分,70 分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩共分五个等 级.从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了 统计,得到如下数据表: 成绩 等级 成绩 (分) 人数 (名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人, 其成绩等级为“ A 或 B ”的概率; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3 人, 记 X 表示抽到成绩等级为“ A 或 B ”的学生人数,求 X 的分布列及其数学期望 EX ;

-2-

(Ⅲ)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 20 分”的概率.
【答案】解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这 30 名学生中任选一人,分数等级为“ A 或 B ”

的频率为

4 6 10 1 ? ? ? . 30 30 30 3 1 3

从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ A 或 B ”的概率约为 (Ⅱ)由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 0 2 3 8 2 2 12 4 1 1 1 ? ; ; P ( X ? 1) ? C3 ( ) ? ( ) ? 3 3 27 3 3 27 9 1 2 6 2 2 1 3 1 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ? ; P( X ? 3) ? C3 ( )3 ? ( ) 0 ? . 3 3 27 9 3 3 27 随机变量 X 的分布列为 0 1 2 3 X 8 4 2 1 P 27 9 9 27 8 12 6 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 所以 EX ? 0 ? 27 27 27 27 (Ⅲ)设事件 M:从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分. 设从这 30 名学生中,随机选取 2 人,记其比赛成绩分别为 m, n .
所以 P ( X ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ?
0

2 显然基本事件的总数为 C30 .

不妨设 m ? n ,
1 1 1 1 当 m ? 90 时, n ? 60 或 40 或 30 ,其基本事件数为 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ; 1 1 1 当 m ? 70 时, n ? 40 或 30 ,其基本事件数为 C6 ? (C7 ? C3 ) ; 1 1 当 m ? 60 时, n ? 30 ,其基本事件数为 C10 ? C3 ;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ? C6 ? (C7 ? C3 ) ? C10 ? C3 34 所以 P( M ) ? ? . 2 C30 87

所以从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这 两个人的成绩之差大于 20 分的概率为

34 87
10.(2013 届门头沟区一模理科)交通指数是

频率 组距 0.24 0.2 0.16 0.1

交通拥堵指数的简称, 是综合反映道路网 畅通或拥堵的概念性指数值, 交通指数取 值范围为 0~10, 分为五个级别, 0~2 畅 通; 2~4 基本畅通; 4~6 轻度拥堵; 6~ 8 中度拥堵;8~10 严重拥堵. 3 4 5 6 7 8 9 交通指数

-3-

早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的 50 个交通路段,依据其交通 指数数据绘制的直方图如右图. (Ⅰ)这 50 个路段为中度拥堵的有多少个? (Ⅱ)据此估计,早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少? (III)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟,基本畅通为 30 分钟,轻度拥堵为 36 分钟;中度拥堵为 42 分钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用时间的数学期望.

【答案】解: (Ⅰ) (0.2 ? 0.16) ?1? 50 ? 18

这 50 路段为中度拥堵的有 18 个. (Ⅱ)设事件 A “一个路段严重拥堵” ,则 P( A) ? 0.1

???????????3 分

事件 B “至少一个路段严重拥堵” ,则 P( B) ? (1 ? P( A))3 ? 0.729

P(B) ? 1 ? P(B) ? 0.271
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271 ?????8 分 (III)分布列如下表:

X P

30 0.1

36 0.44

42 0.36

60 0.1

EX ? 39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟.???????????13 分
11. (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)国家对空气质量的分级规定如下表:

污染指数 空气质量

0~50 优

51~100 良

101~150 轻度污染

151~200 中度污染

201~300 重度污染

>300 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a ,b, x ,y 的值; (Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质 量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 频 分组 数 [0,50] 14 频 率

7 15

-4-

(50,100] (100,150] (150,200] (200,250]
【 答 案 】

a
5 b 2 30

x 1 6
y

1 15
1

合计

1 1 解:(Ⅰ) a ? 6, b ? 3, x ? , y ? , 5 10
(Ⅱ)由题意,该市 4 月份空气质量为优或良的概率为 P=
4

4 2 2 ? ? , 15 5 3
3

1 8 ? 2? ?1? 0 ?1? 1 P( X ? 0) ? C4 ? ? ? ? , P( X ? 1) ? C4 ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3 ? 81 8 32 ? 2? ?1? ?2? 1 3 P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? , 27 81 ? 3 ? ? 3? ? 3? 3
2 4 2 2 3

? 2 ? 16 P( X ? 4) ? C ? ? ? ? ? 3 ? 81
4 4

4

? X 的分布列为:
X P 0 1 2 3 4

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

2 2 8 ? X~B(4, ), ? EX ? 4 ? ? 3 3 3
12. (2013 届北京海滨一模理科)在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参

加了 “数学与逻辑” “阅读与表达” 和 两个科目的考试, 成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某 考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生 “数学与逻辑”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

-5-

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级

等级

【答案】解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,

所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人??????1 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ??????3 分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40

??????7 分 (Ⅲ)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20??????8 分
2 C6 15 P(? ? 16) ? 2 ? , C10 45 1 1 2 C6C2 C2 13 ? 2 ? , 2 C10 C10 45 2 C2 1 ? 2 C10 45 1 1 C6C2 12 P(? ? 17) ? 2 ? C10 45 1 1 C2C2 4 ? 2 C10 45

P(? ? 18) ?

P(? ? 19) ?

P(? ? 20) ?

所以 ? 的分布列为

X P

16

17

18

19

20

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45

??????11 分

-6-

所以 Eξ ? 16 ?

15 12 13 4 1 86 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5 86 ??????13 分 5

所以 ? 的数学期望为

13. (2013 届东城区一模理科)某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有 1,2,3,4,5,

6 六个数字的形状相同的卡片,其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片 上所标数字相同,游戏规则如下:每人每次不放回抽取一张,抽取两次. (Ⅰ)求所得奖品个数达到最大时的概率; (Ⅱ)记奖品个数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望.

【答案】 (Ⅰ)由题意可知所得奖品个数最大为 10,概率为:

p?

2 A2 1 ? . 2 A6 15

(Ⅱ) X 的可能取值是: 0, 2, 4,6,8,10 .

1 1 1 4 5 5 5 15 1 1 1 4 1 1 ?4. 所以 EX ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 8 ? ? 10 ? 5 5 5 15 15 15

X p

0

2

4

6

8

10

1 15

1 15

14. (2013 届房山区一模理科数学) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称

为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ? 75 微克/立方米之间空气质量为 二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测 数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图 所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天 数据,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (Ⅱ)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到
PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列和数学期望;
PM2.5 日均值(微克/立方米)

2 3 4 6 7 8 9

8 7 4 3 9 6 2

1 5 8 3 5

4 5

3

(Ⅲ)根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算) 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

-7-

【答案】 (Ⅰ)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5

天 记“从 15 天的 PM 2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为 事件 A
1 C4 ? 11 44 C2 则 P( A) ? ? 3 C15 91

??????????????3 分

(Ⅱ) ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,

????????4 分
1 2 C5C10 45 ? 3 C15 91

P(? ? 0) ?

3 C50C10 24 ? 3 C15 91

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

1 C52C10 20 ? 3 C15 91

P(? ? 3) ?

3 0 C5 C10 2 ? 3 C15 91

?????????????????8 分 所以 ? 的分布列为

?

P

0 24 91

1 45 91

2 20 91

3 2 91

?????????????9 分

E? ?

24 45 20 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 91 91 91 91

????????????10 分

(Ⅲ) 15 天的空气质量达到一级或二级的频率为

10 2 ? 15 3

??????11 分

2 1 365 ? ? 243 , 3 3
所以估计一年中有 243 天的空气质量达到一级或二级. ?????? 13 分 (说明:答 243 天,244 天不扣分)
15. (2013 北京西城高三二模数学理科) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300

1 3

元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回的 每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸 到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ)解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A ,

则 P( A) ?

2 A3 1 ? , A3 4 4

-8-

故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为

1 4

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15, 20

1 P ( X ? 0) ? , 4

A2 1 P( X ? 5) ? 2 ? , A2 6 4 P( X ? 15) ? C1 ? A2 1 2 2 ? , 3 A4 6

P( X ? 10) ?

1 A2 1 2 ? 3 ? , 2 A4 A4 6 A3 1 3 ? A4 4 4

P( X ? 20) ?

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

0
5

10

15

20

P

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4

1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 10 4 6 6 6 4
16. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召

义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直 方图如图所示, 其中年龄分组区间是: ?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传 活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志 愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 频率/组距 0.07 x

0.04 0.02 3 4 4 3 2 2 年 龄 / 0 0 5 5 0 5 岁 【答案】解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除 ?35,40? 外的频率和为 0.70, 0.01 O

-9-

?x ?

500 名志愿者中,年龄在 ?35,40? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人). (II)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3,

1 ? 0.70 ? 0.06 5

P? X ? 0 ? ? P? X ? 2 ? ?

3 C8 C1 C 2 14 28 , P? X ? 1? ? 12 3 8 ? , ? 3 285 95 C20 C20 2 1 C12 C8 C3 44 11 , P? X ? 3? ? 12 ? , ? 3 3 95 C20 57 C 20

故 X 的分布列为

X P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

3

14 285

28 95

44 95

11 57

14 28 44 11 171 ? 1? ? 2? ? 3? ? 285 95 95 57 95

17. (2013 届北京西城区一模理科)某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行学 业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

【答案】 (Ⅰ) 依题意, 乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 , 解: 甲、 ????

1分 所以,从甲组抽取的学生人数为

2 1 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 .?2 分 3 3
??3 分

设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 则 P( A) ?

C1 ? C1 15 3 5 , ? 2 C8 28
15 . 28
????5 分 ???6 分

故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 (Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,1, 2,3 .
2 C5 ? C1 5 2 , P( X ? 0) ? 2 1 ? C8 ? C4 28

2 C1 ? C1 ? C1 C5 ? C1 25 3 5 2 2 P( X ? 1) ? ? 2 1 ? , 2 C8 ? C1 C8 ? C4 56 4

- 10 -

2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 P( X ? 2) ? 2 1 ? 3 2 5 1 2 ? , C8 ? C4 C8 ? C4 28

2 C3 ? C1 3 2 P( X ? 3) ? 2 1 ? .?????10 C8 ? C4 56

分 所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

5 28

25 56

9 28

3 56
??????11 分

EX ? 0 ?

5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 28 56 28 56 4

??????13 分

18. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福

利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该 福利彩票中奖率为 50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种;(3)顾客 购买一张彩票获得 150 元奖金的概率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2% . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求
【答案】解:(I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) ? 1 ? 0.5 ? 0.75

p 的取值范围.

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145

? 的分布列为

?
P

5

0

?45

?145

50%

50% ? 2% ? p

2%

p

所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? ( ?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145p
所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即

p?

8 725

所以当

0? p?

8 725 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业

- 11 -

19. (2013 届北京市延庆县一模数学理)空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米
3

空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

PM 2 甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数甲城市.5 进行监测,获得 PM 2.5 日 乙城市
均浓度指数数据如茎叶图所示: 3 4 (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内 6 哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由) 7 (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市 8 9 空气质量类别均为优或良的概率; 0224 896 151 8 230 8 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809

(Ⅲ) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优或良的天数, 求 X 的分布列及数学期望.
【答案】解: (Ⅰ)甲城市空气质量总体较好.

???2 分 (Ⅱ)甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天,任取 1 天,空气质量类别 为优或良的概率为

10 2 ? , 15 3

???4 分

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优或良 的概率为

5 1 ? , 15 3

???6 分

在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

2 1 2 ? ? . 3 3 9
???8 分

(Ⅲ) X 的取值为 0,1,2 ,

???9 分

P( X ? 0) ?

2 C50 C10 3 C 2C 0 C 1C 1 10 2 ? , P( X ? 1) ? 5 2 10 ? , P( X ? 0) ? 5 2 10 ? 2 C15 21 7 21 C15 C15

X 的分布列为:
X

0
3 7

2

10 21 3 10 2 2 数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 7 21 21 3
P

2 21
???13 分

20. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的

- 12 -

颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超 标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这 两天空气质量恰好有一天为一级的概率; (Ⅲ)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数, 求 ? 的分布列及期望.

【答案】

21. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 现有甲、乙两个靶.某射手向 )

甲靶射击两次,每次命中的概率为

3 ,每命中一次得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击一 4
- 13 -

次,命中的概率为

2 ,命中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设 3

该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.
【答案】 解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件 A ,“该射手第一次射击甲靶命中”为

事件 B ,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件 C ,“该射手射击乙靶命中”为事件 D . 由题意知, P ?B ? ? P ?C ? ?

所以 P? A? ? P BC D ? P BC D ? P BCD

?

? ?

3 2 , P ?D ? ? , 4 3

? ?

?

? P?B ?P?C ?P D ? P?B ?P C P?D ? ? P B P?C ?P?D ?

? ?

??

??

?
?

3 3 ? 2? 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3
7 16

(II)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

3? ? 3? ? 2? 1 ? , P ? X ? 0 ? ? P B C D ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 48 ?
P? X ? 1? ? P BC D ? P BC D ?
? 1 . 8

?

?

?

? ?

?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3?

P? X ? 2 ? ? P BC D ? P BC D ? P? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

? ?

?

3 3 ? 2? ? 3? ? 3 ? 2 11 , ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? ? 4? ? 4 ? 3 48 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4

?

? ?

?

P? X ? 4? ? P?BCD ? ?
故 X 的分布列是

3 3 2 3 ? ? ? , 4 4 3 8

X

0

1

2

3

4

- 14 -

P

1 48

1 8

11 48

1 4

3 8

所以 EX ? 0 ?

1 1 11 1 3 17 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 48 8 48 4 8 6

(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件 A1 ,“该射手向甲靶射击 命中一次且向乙靶射击未命中”为事件 B1 ,“该射手向甲靶射击命中 2 次且向乙靶射击 命中”为事件 B2 ,则 A1 ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件.

P? A1 ? ? P?B1 ? ? P?B2 ?
?
?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 3 3 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 4 4 3
1 . 2 1 2

所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为

22. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)小明从家到学校有两条路线,路线 1 上有三个路

口,各路口遇到红灯的概率均为

1 ;路线 2 上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 2

3 4 , . 4 5
(Ⅰ)若小明上学走路线 1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (Ⅱ)若小明上学走路线 2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选 择一条最好的上学路线,并说明理由. 【答案】(Ⅰ)设走路线 1 最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( ) 2 ? 2 2 2 2 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. 3 4 1 P ( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 20 3 4 3 4 7 P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 4 5 20 3 4 3 P( X =2)= ? ? 4 5 5 随机变量 X 的分布列为: 0 X 1 P 20

1

2

7 20

3 5

- 15 -

EX ?

1 7 3 31 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? 20 20 5 20
1 2

(Ⅲ)设选择路线 1 遇到红灯次数为 Y ,则 Y ? B (3, ) , 所以 EY ? 3 ?

1 3 ? 2 2

因为 EX ? EY ,所以选择路线 1 上学最好
23. (2013 北京东城高三二模数学理科)某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、

良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人) 优 秀 男 女 良 好 合 格

180 120

70

a

20 30

按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.
【答案】(共 13 分)解:(Ⅰ)设该年级共 n 人,由题意得

50 30 ? ,所以 n ? 500 . n 180 ? 120

则 a ? 500 ? (180 ? 120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 . (Ⅱ)依题意, X 所有取值为 0,1, 2 .

P( X ? 0) ?

2 C1C1 3 C2 3 C2 1 ? , P( X ? 1) ? 2 2 3 ? , P( X ? 2) ? 32 ? . C52 10 C5 5 C5 10

X 的分布列为:

X
P

0 1 10

1 3 5

2 3 10

EX ? 0 ?

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? 10 5 10 5

24. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经

济发展有大的提速,对市民进行了“生活满意”度的调查.现随机抽取 40 位市民,对他们 的生活满意指数进行统计分析,得到如下分布表: 满意级别 满意指数 (分) 非常满意 90 满意 60 一般 30 不满意 0

- 16 -

人数(个)

15

17

6

2

(I)求这 40 位市民满意指数的平均值; (II)以这 40 人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数很 多)中任选 3 人,记 ? 表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求 ? 的分布 列; (III)从这 40 位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为 m ,然后再随机选另一个人, 记他的满意指数为 n ,求 n ? m ? 60 的概率.
【答案】解:(Ⅰ)记 X 表示这40位市民满意指数的平均值,则

X?

1 (90 ? 15 ? 60 ? 17 ? 30 ? 6 ? 0 ? 2) ? 63.75 (分) 40

(Ⅱ) ξ 的可能取值为0、1、2、3.

4 1 1 12 P(? ? 0) ? C30 ( ) 0 ( ) 3 ? 1 4 1 1 2 5 5 125 , P(? ? 1) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 125 4 1 48 1 64 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? 3 4 , P (? ? 3) ? C3 ( ) 3 ( ) 0 ? 5 5 125 5 5 125
? ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125

(Ⅲ)设所有满足条件 n ? m ? 60 的事件为 A ①满足 m ? 0且n ? 60 的事件数为: A21 A1 ? 34 17 ②满足 m ? 0且n ? 90 的事件数为: A21 A1 ? 30 15 ③满足 m ? 30且n ? 90 的事件数为: A61 A1 ? 90 ? P( A) ? 15 所以满足条件 n ? m ? 60 的事件的概率为

34 ? 30 ? 90 77 ? 2 A40 780

77 780

25. (2013 届北京丰台区一模理科)在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽

奖规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽 取 1 人获奖 600 元,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元。 (Ⅰ)求甲和乙都不获奖的概率; (Ⅱ)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和均值 EX 。
【答案】解: (Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件 A ,
- 17 -

????????????1 分

则 P(A)=

2 1 1 C4 C2 C2 1 ? 1? 1 ? , 2 C6 C4 C4 10

答:甲和乙都不获奖的概率为

1 . ??????????????5 分 10

(Ⅱ)X 的所有可能的取值为 0,400,600,1000,?????????????6 分 P(X=0)=

3 C2 3 1 1 C2 1 3 1 , P(X=400)= 5 ? ? ? , P(X=600)= 5 ? ? ? , 2 2 8 C6 4 4 8 C6 4 4 8
1 C5 C52 1 1 3 ? 2 ? ? ? , ????????????????10 分 2 C6 C6 4 4 8

P(X=1000)=

∴X 的分布列为 X P 0 400 600 1000

3 8

1 8

1 8

3 8
?????11 分

∴E(X)=0×

3 1 1 3 +400× +600× +1000× =500(元). 8 8 8 8
??????????13 分

答: 甲获奖的金额的均值为 500(元).

26. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)盒子中装有四张大小形状均相同的卡

1, 片,卡片上分别标有数字 ?1,0,2 .称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数字后并放
回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响). (Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率; (Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率; (Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为 ?,? ,试求随机变量 X=? ?? 的分布列与数 学期望 EX .
【答案】解:(Ⅰ)设事件 A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则

P ( A) ?

2 1 ? . 4 2 1 2 1 . 2

答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是

(Ⅱ)设事件 B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数. 由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 所以 P ( B ) ? 1 ? [C4 ( ) ? ( ) ? C4
0 0 4

1 2

1 2

1

1 1 3 11 ?( ) ] ? . 2 2 16

- 18 -

答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

11 16

1, (Ⅲ) 由 题 意 可 知 , ?,? 的 可 能 取 值 为 ?1,0,2 , 所 以 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 ?2, ?1 0,2, 4 . ,1,
P( X= ? 2) ? 2 1 ? ; 4? 4 8 7 7 P( X=0) ? ? ; 4 ? 4 16 2 1 P( X =2) ? ? ; 4? 4 8
?2

P ( X= ? 1) ?

2 1 ? ; 4? 4 8 2 1 P( X =1) ? ? ; 4? 4 8 1 1 P ( X =4) ? ? . 4 ? 4 16
?1

所以随机变量 X 的分布列为

X
P

0

1

2

4

1 7 1 1 8 16 8 8 1 1 7 1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 所以 E ( X ) = ?2 ? ? 1? ? 0 ? 8 8 16 8 8 16 4

1 8

1 16

27. (2013 届北京大兴区一模理科)期末考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数

学与物理成绩,如下表: 学生 数学 物理
A1 A2 A3 A4 A5

89 87

91 89

93 89

95 92

97 93

(1)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那 科更稳定。 从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中同学的物理成 绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值.

【答案】解: (Ⅰ)5 名学生数学成绩的平均分为:

1 (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5

5 名学生数学成绩的方差为:

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5

- 19 -

5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5 名学生物理成绩的方差为:

1 5

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成 绩稳定. (Ⅱ)由题意可知, X ? 0 , 1 , 2

P( X ? 0) ?

0 2 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

P( X ? 1) ?

1 1 C2 ? C2 2 ? 2 C4 3

P( X ? 2) ?

2 0 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

随机变量 X 的分布列是 X P(X) 0 1 2

2 1 3 6 1 2 1 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6

1 6

(二)统计
一、选择题 1 . (2013 北京东城高三二模数学理科)如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直

方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则 图中 x 的值等于? A. 0.754 B. 0.048 ?? C. 0.018 D. 0.012 ( )

- 20 -

【答案】 二、填空题

C.

2. (2013 届北京丰台区一模理科)某校从高一年级学生中随机

抽取 100 名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整 数)分成六段:[40,50),[50,60),?,[90,100]后得 到频率分布直方图(如图所示) .则分数在[70,80)内的 人数是________。
【答案】30; 3 . (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 下图是根据 50 个城市某年 6 )

月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是

?20.5,26.5?

,

















?20.5,21.5?

,

?21.5,22.5? , ?22.5,23.5? , ?23.5,24.5? , ?24.5,25.5? , ?25.5,26.5? . 由 图 中 数 据 可 知
a ? _______;样本中平均气温不低于 23.5℃的城市个数为________.

【答案】答案 0.18,33 因为 (0.10 ? 0.12 ? 2 ? a ? 0.22 ? 0.26) ?1 ? 1 ,所

以 a ? 0.18 .不低于 23.5℃的频率为 (0.18 ? 0.22 ? 0.26) ?1 ? 0.66 ,所 以样本中平均气温不低于 23.5℃的城市个数为 0.66 ? 50 ? 33 .
4 . (2013 届东城区一模理科)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育

测试成绩的茎叶图,则甲 5 次测试成绩的平均数是
- 21 -

,乙 5 次测试成绩的平均数与中位

数之差是
【答案】 84



2

5 . (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 ( x, y ) 的

? 一 组 数 据 如 下 : (0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) , 其 回 归 方 程 为 y ? 1.4 x ? a , 则 a 的 值 是
_______.
【答案】

0.9;

- 22 -


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