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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 平行与垂直的综合应用 文

【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 平行与垂直的综合应用 文

1.证明方法 (1)证明平行关系的方法: ①证明线线平行的常用方法 a.利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; b.利用平行四边形进行转换; c.利用三角形中位线定理证明; d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明. ②证明线面平行的常用方法 a.利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证线线平行; b.利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行. ③证明面面平行的方法 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从 而将证面面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行. (2)证明空间中垂直关系的方法: ①证明线线垂直的常用方法 a.利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直; b.利用勾股定理逆定理; c.利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. ②证明线面垂直的常用方法 a.利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; b.利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证面面垂直; c.利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. ③证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面 垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中 点、高线或添加辅助线解决.

1

2.应特别注意的几个易错点 定理 图形语言 易错点

等角定理

? ? OA∥O′A′, ? OB∥O′B′ ? 且方向相同 ?
∠AOB和 ∠A′O′B′中 ? ∠AOB =∠A′O′B′

易忽略“方向相同”

线面平行的 判定定理 线面平行的 性质定理 直线和平面 垂直的判定 定理 两个平面垂 直的性质定 理 面面平行的 判定定理

a?α ,b? α ? ? a∥b

易丢掉“a?α ”或 “ b? α ” 易忽略“α ∩β =

?? a∥α ? ?

a∥α ,a? β ? ?
α ∩β =b

?? a∥b ? ?

b”

l⊥a,l⊥b ? ? a? α ,b? α ?? l⊥α a∩b=O
α ⊥β

? ?

易忽略“a∩b=O”

? ? α ∩β =c ?? a⊥β a? α ,a⊥c? ?
a∥α ,b∥α ? ? a? β ,b? β ?? α ∥β a∩b=O a? α ,b? α

易忽略“a? α ”

? ?

易忽略“a∩b=O”

面面平行的 判定定理的 推论

? ?a∩b=O ? ? c? β ,d? β ? α ∥β ?c∩d=O′ ? ? ?a∥c,b∥d ? ?

易忽略“a∩b=O” 或“c∩d=O′”

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等,则直线与平面平行.( × (2)若直线 a∥α ,P∈α ,则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条.( × ) (3)若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c.( × ) (4)α ,β ,γ 为三个不同平面,α ∥β ,β ∥γ ? α ∥γ .( √ )
2

)

(5)若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,且 α ∩β =l,则 l⊥γ .( √ ) (6)α ⊥β ,a⊥β ,b⊥α ? a∥b.( × )

1.(教材改编)如图,已知平面 α ,β ,且 α ∩β =AB,PC⊥α ,垂足为 C,PD⊥β ,垂足为

D,则直线 AB 与 CD 的位置关系是________.

答案 AB⊥CD 解析 ∵PC⊥α ,∴PC⊥AB, 又∵PD⊥β ,∴PD⊥AB, ∴AB⊥平面 PCD,∴AB⊥CD. 2.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为 B1C1,A1D1,A1B1 的中点,则平面 EBD 与平面

FGA 的位置关系为________.
答案 平行 3.如图所示,边长为 a 的正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知△A′ED 是△AED 绕

DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中错误的是________.

①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②恒有平面 A′GF⊥平面 BCED; ③三棱锥 A′—FED 的体积有最大值; ④异面直线 A′E 与 BD 不可能互相垂直. 答案 ④ 解析 由题意知,DE⊥平面 A′FG,又 DE? 平面 ABC,所以平面 A′FG⊥平面 ABC,且它们的 交线是 AF,过 A′作 A′H⊥AF,则 A′H⊥平面 ABC,所以 A′在平面 ABC 上的射影一定在线 段 AF 上,且平面 A′GF⊥平面 BCED,故①②均正确;三棱锥 A′—EFD 的体积可以表示为 V 1 = S△EFD·A′H,当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,A′H 最大,故三棱锥 A′—EFD 的体积有最大 3 值,故③正确;连结 CD,EH,当 CD∥EH 时,BD⊥EH,又知 EH 是 A′E 在平面 ABC 内的射影,
3

所以 BD⊥A′E,因此异面直线 A′E 与 BD 可能垂直,故④错误. 4.已知点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABC,PA=8,在△ABC 中,底边

BC=6,AB=5,则 P 到 BC 的距离为________.
答案 4 5 解析 取 BC 的中点 D,连结 AD,PD.∵AD⊥BC,PA⊥BC,且 AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAD, ∴BC⊥PD, ∴在 Rt△PAD 中,PD= 8 +4 =4 5. 5.(教材改编)如图,在三棱锥 V—ABC 中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则平面 VBA 与平面
2 2

VBC 的位置关系为_____________________________________________________.

答案 垂直 解析 ∵∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°, ∴BC⊥AB,VA⊥AC,VA⊥AB, 由
? VA⊥AB? ?? VA⊥平面 ABC,

VA⊥AC? ?

∴VA⊥BC, 由

VA⊥BC? ?
? AB⊥BC?

?? BC⊥平面 VAB

∴BC⊥AB,又 BC? 平面 VBC, ∴平面 VBC⊥平面 VBA

. 题型一 线、面平行垂直关系的判定 例1 (1)如图所示,在直棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 D 是 AB 的中点,则 AC1 与平面 CDB1 的关系

为________.

①AC1∥平面 CDB1;
4

②AC1 在平面 CDB1 中; ③AC1 与平面 CDB1 相交; ④无法判断关系. (2)已知 m,n 为直线,α ,β 为平面,给出下列命题: ①?
? ?m⊥α , ? ?m⊥n

? n∥α ;②?

? ?m⊥β , ? ?n⊥β

? m∥n;

? ?m⊥α , ③? ?m⊥β ?

m? α , ? ? ? α ∥β ;④?n? β , ? ?α ∥β

? m∥n.

其中正确的命题是________. 答案 (1)① (2)②③ 解析 (1)连结 BC1,BC1 与 CB1 交于 E 点,(如图)

连结 DE,则 DE∥AC1, 又 DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (2)对于①,n 可能在 α 内;对于④,m 与 n 可能异面.易知②,③是真命题. 思维升华 对线面平行、垂直关系的判定: (1)易忽视判定定理与性质定理的条件, 如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条 件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)可举反例否定结论或用反证法判 断结论是否正确. (1)在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别为 G1G2,G2G3 的中点.现在沿 SE,SF 及 EF 把 这个正方形折成一个四面体,使点 G1,G2,G3 重合,记为点 G,则 SG 与平面 EFG 的位置关系 为________.

答案 垂直 解析 翻折后 SG⊥EG,SG⊥FG,从而 SG⊥平面 EFG. (2)已知三个平面 α ,β ,γ .若 α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,且直线 c? β ,c∥b.
5

①判断 c 与 α 的位置关系,并说明理由; ②判断 c 与 a 的位置关系,并说明理由. 解 ①c∥α ,∵α ∥β ,∴α 与 β 没有公共点.又∵c? β , ∴c 与 α 无公共点,故 c∥α . ②c∥a.∵α ∥β ,∴α 与 β 没有公共点. 又 α ∩γ =a,β ∩γ =b, ∴a? α ,b? β ,且 a,b? γ ,∴a∥b.又 c∥b,∴a∥c. 题型二 平行与垂直关系的证明 命题点 1 线面平行的证明 例 2 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 BC,C1D1 的中点.求证:EF∥平面 BB1D1D. 证明 如图所示,

1 连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OE,则 OE∥DC,OE= DC.∵DC∥D1C1,DC=D1C1,F 为 D1C1 的中点, 2 ∴OE∥D1F,OE=D1F,∴四边形 D1FEO 为平行四边形,∴EF∥D1O.又∵EF?平面 BB1D1D,D1O? 平面 BB1D1D,∴EF∥平面 BB1D1D. 命题点 2 面面平行的证明 例 3 如图所示,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1.

(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C. (2)若 E,F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明

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(1)∵B1B∥DD1,B1B=D1D, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴B1D1∥BD,又 BD? 平面 A1BD,B1D1? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C, 又∵A1D∩BD=D,A1D,BD? 平面 A1BD, ∴平面 A1BD∥平面 B1D1C. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.如图所示,取 BB1 的中点 G,连结 AG,GF,易得 AE∥B1G, 又∵AE=B1G, ∴四边形 AEB1G 是平行四边形, ∴B1E∥AG. 同理 GF∥AD.又∵GF=AD, ∴四边形 ADFG 是平行四边形, ∴AG∥DF,∴B1E∥DF,∴DF∥平面 EB1D1. 又∵BD∩DF=D, ∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 命题点 3 直线与平面垂直的证明 例 4 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC、BD 相交于点 O,EF∥AB,AB= 2EF,平面 BCF⊥平面 ABCD,BF=CF,点 G 为 BC 的中点.

(1)求证:OG∥平面 EFCD; (2)求证:AC⊥平面 ODE. 证明 (1)∵四边形 ABCD 是菱形,AC∩BD=O, ∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点,∴OG∥CD,

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又∵OG?平面 EFCD,CD? 平面 EFCD, ∴OG∥平面 EFCD. (2)∵BF=CF,点 G 为 BC 的中点,∴FG⊥BC. ∵平面 BCF⊥平面 ABCD, 平面 BCF∩平面 ABCD=BC,

FG? 平面 BCF,FG⊥BC,
∴FG⊥平面 ABCD. ∵AC? 平面 ABCD,∴FG⊥AC, 1 1 ∵OG∥AB,OG= AB,EF∥AB,EF= AB, 2 2 ∴OG∥EF,OG=EF, ∴四边形 EFGO 为平行四边形,∴FG∥EO. ∵FG⊥AC,FG∥EO,∴AC⊥EO. ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥DO, ∵EO∩DO=O,EO、DO 在平面 ODE 内, ∴AC⊥平面 ODE. 命题点 4 面面垂直的证明 例 5 如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E 为 BB1 的中点,求证:截面 A1CE⊥侧面 ACC1A1.

1 证明 如图所示,取 A1C 的中点 F,AC 的中点 G,连结 FG,EF,BG,则 FG∥AA1,且 GF= AA1. 2 因为 BE=EB1,A1B1=CB, ∠A1B1E=∠CBE=90°,所以△A1B1E≌△CBE,

所以 A1E=CE.
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因为 F 为 A1C 的中点,所以 EF⊥A1C. 1 又 FG∥AA1∥BE,GF= AA1=BE, 2 且 BE⊥BG,所以四边形 BEFG 是矩形,所以 EF⊥FG. 因为 A1C∩FG=F, 所以 EF⊥侧面 ACC1A1. 又因为 EF? 平面 A1CE, 所以截面 A1CE⊥侧面 ACC1A1. 命题点 5 平行、垂直的综合证明 例 6 如图,四边形 ABCD 是正方形,DE⊥平面 ABCD.

(1)求证:AC⊥平面 BDE; 1 (2)若 AF∥DE,DE=3AF,点 M 在线段 BD 上,且 BM= BD,求证:AM∥平面 BEF. 3 证明 (1)因为 DE⊥平面 ABCD,所以 DE⊥AC.因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD.又

BD∩DE=D,从而 AC⊥平面 BDE. GA AF 1 (2)如图,延长 EF,DA 交于点 G.因为 AF∥DE,DE=3AF,所以 = = . GD DE 3

1 BM 1 因为 BM= BD,所以 = , 3 BD 3 所以 =

BM GA 1 = ,所以 AM∥GB. BD GD 3

又 AM?平面 BEF,GB? 平面 BEF, 所以 AM∥平面 BEF. 思维升华 (1)空间线面的位置关系的判定方法 ①证明直线与平面平行,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行,解答时合理利用中位 线性质、线面平行的性质,或构造平行四边形,寻求比例关系确定两直线平行.
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②证明直线与平面垂直, 主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意 分析观察几何图形,寻求隐含条件. (2)空间面面的位置关系的判定方法 ①证明面面平行,需要证明线面平行,要证明线面平行需证明线线平行,将“面面平行”问 题转化为“线线平行”问题. ②证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再将“线面垂直”问题转 化为“线线垂直”问题. 如图, 四边形 AA1C1C 为矩形, 四边形 CC1B1B 为菱形, 且平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C,

D,E 分别为边 A1B1,C1C 的中点.

求证:(1)BC1⊥平面 AB1C; (2)DE∥平面 AB1C. 证明 (1)∵四边形 AA1C1C 为矩形,∴AC⊥C1C. 又平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C, 平面 CC1B1B∩平面 AA1C1C=CC1, ∴AC⊥平面 CC1B1B. ∵BC1? 平面 CC1B1B, ∴AC⊥BC1. 又四边形 CC1B1B 为菱形,∴B1C⊥BC1. ∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面 AB1C. (2)取 AA1 的中点 F,连结 DF,EF.

∵四边形 AA1C1C 为矩形,E,F 分别为 C1C,AA1 的中点,∴EF∥AC. ∵EF?平面 AB1C,AC? 平面 AB1C, ∴EF∥平面 AB1C. ∵D,F 分别为边 A1B1,AA1 的中点,∴DF∥AB1. ∵DF?平面 AB1C,AB1? 平面 AB1C, ∴DF∥平面 AB1C.
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∵EF∩DF=F,EF? 平面 DEF,DF? 平面 DEF, ∴平面 DEF∥平面 AB1C. ∵DE? 平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C. 题型三 平行与垂直的应用 例 7 (2015·安徽)如图,三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC =60°.

(1)求三棱锥 P?ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,并求

PM 的值. MC

(1)解 由题设 AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 1 3 可得 S△ABC= ·AB·AC·sin 60°= . 2 2 由 PA⊥平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P?ABC 的高,又 PA=1. 1 3 所以三棱锥 P?ABC 的体积 V= ·S△ABC·PA= . 3 6 (2)证明 在平面 ABC 内,过点 B 作 BN⊥AC,垂足为 N,在平面 PAC 内,过点 N 作 MN∥PA 交

PC 于点 M,连结 BM.由 PA⊥平面 ABC 知 PA⊥AC,所以 MN⊥AC.由于 BN∩MN=N,故 AC⊥平面 MBN,又 BM? 平面 MBN,所以 AC⊥BM.
1 3 PM AN 1 在 Rt△BAN 中,AN=AB·cos∠BAC= ,从而 NC=AC-AN= ,由 MN∥PA,得 = = . 2 2 MC NC 3 思维升华 (1)利用平行关系可以转移点到面的距离, 从而求几何体体积或解决关于距离的最 值问题. (2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径: 途径一:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; 途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性. 途径三:将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1,

AB= 3,点 F 是 PD 的中点,点 E 是边 DC 上的任意一点.
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(1)当点 E 为 DC 边的中点时,判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; (2)证明:无论点 E 在边 DC 的何处,都有 AF⊥EF; (3)求三棱锥 B—AFE 的体积. (1)解 当点 E 为 DC 边的中点时,EF 与平面 PAC 平行. 证明如下:在△PDC 中,E,F 分别为 DC,PD 的中点, ∴EF∥PC,又 EF?平面 PAC, 而 PC? 平面 PAC,∴EF∥平面 PAC. (2)证明 ∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴PA⊥CD.∵四边形 ABCD 是矩形,∴CD⊥AD. ∵AD∩AP=A,∴CD⊥平面 PAD. 又 AF? 平面 PAD,∴AF⊥CD. ∵PA=AD,点 F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD. 又 CD∩PD=D,∴AF⊥平面 PCD. ∵EF? 平面 PCD,∴AF⊥EF. 即无论点 E 在边 DC 的何处,都有 AF⊥EF. 1 3 (3)解 作 FG∥PA 交 AD 于 G,则 FG⊥平面 ABCD,且 FG= ,又 S△ABE= , 2 2 1 3 ∴VB—AEF=VF—AEB= S△ABE·FG= . 3 12 ∴三棱锥 B—AFE 的体积为 3 . 12

6.立体几何平行、垂直的证明问题

典例 (14 分)(2014·北京)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1 =AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.

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(1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积. 规范解答 (1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB.[1 分] 又因为 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1,[2 分] 又 AB? 平面 ABE, 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1.[3 分] (2)证明 取 AB 的中点 G,连结 EG,FG.[4 分]

因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC.[6 分] 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG.[8 分] 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE.[10 分] (3)解 因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC -BC = 3.[12 分] 所以三棱锥 E-ABC 的体积
2 2

V= S△ABC·AA1

1 3

13

1 1 3 = × × 3×1×2= .[14 分] 3 2 3

证明线面平行问题(一) 第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线. 第二步:证明线线平行. 第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行. 第四步:反思回顾.检测关键点及答题规范. 证明线面平行问题(二) 第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面. 第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行; 第三步:证明所作平面与所证平面平行. 第四步:转化为线面平行. 第五步:反思回顾,检查答题规范. 证明面面垂直问题 第一步:根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线. 第二步:结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线. 第三步:得出确定的这条直线垂直于另一平面. 第四步:转化为面面垂直. 第五步:反思回顾,检查答题规范. 温馨提醒 (1)证线面平行的方法: ①利用判定定理, 关键是找平面内与已知直线平行的直线. 可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四 边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.②若要借助于面面平行来证明线面平行, 则先要 确定一个平面经过该直线且与已知平面平行,此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该 平面的平行线.(2)证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实 现,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.

[方法与技巧] 1.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,其转化关系为

在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定, 决不可过于“模式化”.
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2.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化,每一 种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的,其转化关系为

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则 可通过作辅助线来解决. [失误与防范] 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加,在添加辅助线、辅助面时一定要以 某一性质定理为依据,绝不能主观臆断. 3.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时,考生易忽视说明平面内的两条直线相交,而导 致被扣分,这一点在证明中要注意.口诀:线不在多,重在相交. 4.面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理,这个定理的主要作用是作一个 平面的垂线, 在一些垂直关系的证明中, 很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线.注意定 理使用的条件,在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整,同时要注意推理论证的层次 性,确定先证明什么、后证明什么.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.设 α ,β 为两个不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若 α ∥β , l? α , 则 l∥β ; ②若 m? α , n? α , m∥β , n∥β , 则 α ∥β ; ③若 l∥α , l⊥β , 则 α ⊥β ;④若 m,n 是异面直线,m∥α ,n∥α ,且 l⊥m,l⊥n,则 l⊥α .其中真命题的 序号是________. 答案 ①③④ 解析 ①由 α ∥β , l? α 知,l 与 β 无公共点, 故 l∥β .②当 m? α , n? α ,m 与 n 相交,

m∥β , n∥β 时, α ∥β .③由 l∥α 知, α 内存在 l′, 使得 l′∥l.因为 l⊥β , 所以 l′⊥β ,
故 α ⊥β .④易知 α 内存在 m′,n′,使得 m′∥m,n′∥n,且 m′,n′相交,由 l⊥m,

l⊥n 知,l⊥m′且 l⊥n′,故 l⊥α .
2.已知平面 α ,β ,直线 m,n,给出下列命题: ①若 m∥α ,n∥β ,m∥n,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,m∥α ,n∥β ,则 m∥n;
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③若 m⊥α ,n⊥β ,m⊥n,则 α ⊥β ; ④若 α ⊥β ,m⊥α ,n⊥β ,则 m⊥n. 其中是真命题的是________.(填写所有真命题的序号) 答案 ③④ 解析 对于①,平面 α 与 β 可能相交,故①错;对于②,若 α ∥β ,m∥α ,n∥β ,则直 线 m 与 n 可能平行,可能相交,也可能异面,故②错;对于③,由面面垂直的判定可知③正 确;对于④,由面面垂直的性质可知 m⊥n,故④正确.因此真命题的序号为③④. 3.在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上一动点,当 M 满足是 ________时,平面 MBD⊥平面 ABCD. 答案 PC 的中点 解析 当 M 是 PC 中点时, 连结 AC, BD 交于 O, 由题意知, O 是 AC 的中点, 连结 MO, 则 MO∥PA. ∵PA⊥平面 ABCD,∴MO⊥平面 ABCD,MO? 平面 MBD,∴平面 MBD⊥平面 ABCD. 4.如图,ABCD 是空间四边形,E,F,G,H 分别是四边上的点,且它们共面,并且 AC∥平面

EFGH,BD∥平面 EFGH,AC=m,BD=n,当 EFGH 是菱形时,AE∶EB=________.

答案

m n

解析 设 AE=a,EB=b,由题意知,EF∥AC, 得 EF=

bm an ,同理 EH= . a+b a+b bm an a m = ,所以 = . a+b a+b b n

因为 EF=EH,所以

5.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三 角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平 面 B1DF.

答案 a 或 2a

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解析 由题意易知,B1D⊥平面 ACC1A1, 所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x. 易知 Rt△CAF∽Rt△FA1D, 得 =

AC A1F 2a 3a-x ,即 = , AF A1D x a
2 2

整理得 x -3ax+2a =0, 解得 x=a 或 x=2a. 6.如图, 四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, 平面 PBD⊥平面 ABCD, PB=PD, PA⊥PC,

CD⊥PC,O,M 分别是 BD,PC 的中点,连结 OM.

求证:(1)OM∥平面 PAD; (2)OM⊥平面 PCD. 证明 (1)连结 AC.因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 O 为 AC 的中点.在△PAC 中, 因为 O,

M 分别是 AC,PC 的中点,所以 OM∥PA.
因为 OM?平面 PAD,PA? 平面 PAD, 所以 OM∥平面 PAD. (2)连结 PO.因为 O 是 BD 的中点,PB=PD, 所以 PO⊥BD.

因为平面 PBD⊥平面 ABCD,平面 PBD∩平面 ABCD=BD,PO? 平面 PBD,所以 PO⊥平面 ABCD, 从而 PO⊥CD. 因为 CD⊥PC,PC∩PO=P,

PC? 平面 PAC,PO? 平面 PAC,
所以 CD⊥平面 PAC.

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因为 OM? 平面 PAC,所以 CD⊥OM. 因为 PA⊥PC,OM∥PA,所以 OM⊥PC. 因为 CD? 平面 PCD,PC? 平面 PCD,

CD∩PC=C,所以 OM⊥平面 PCD.
7.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.

(1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. (1)证明 如图,因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,

所以 B1C1⊥面 ABB1A1. 因为 A1B? 面 ABB1A1,所以 B1C1⊥A1B. 又因为 A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1, 所以 A1B⊥面 ADC1B1.因为 A1B? 面 A1BE, 所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)解 当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F∥平面 A1BE. 1 证明如下:易知:EF∥C1D,且 EF= C1D. 2 1 设 AB1∩A1B=O,则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 2 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F∥OE. 又因为 B1F?面 A1BE,OE? 面 A1BE. 所以 B1F∥面 A1BE. 8.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 DD1,C1D1 的中点.

18

(1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)证明:B1F∥平面 A1BE; (3)若正方体棱长为 1,求四面体 A1—B1BE 的体积. (1)证明 如图, 连结 AB1.因为 ABCD—A1B1C1D1 为正方体, 所以 B1C1⊥平面 ABB1A1.因为 A1B? 平 面 ABB1A1,所以 B1C1⊥A1B. 因为 A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1, 所以 A1B⊥平面 ADC1B1.因为 A1B? 平面 A1BE, 所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)证明

如图,连结 EF,DC1,OE,B1F. 1 由已知条件得 EF∥C1D,且 EF= C1D. 2 设 AB1∩A1B=O, 1 则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 2 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形, 所以 B1F∥OE. 因为 B1F?平面 A1BE,OE? 平面 A1BE, 所以 B1F∥平面 A1BE. 1 1 (3)解 VA1—B1BE=VE—A1B1B= S△A1B1B·B1C1= . 3 6 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 9.在正四面体 P—ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,给出下面三个结论:
19

①BC∥平面 PDF;②DF⊥平面 PAE;③平面 PDF⊥平面 ABC. 其中不成立 的结论是________.(填写所有不成立的结论的序号) ... 答案 ③ 解析

如图,由题知 BC∥DF, ∴BC∥平面 PDF. ∵四面体 P—ABC 为正四面体, ∴BC⊥PA,AE⊥BC,BC⊥平面 PAE, ∴DF⊥平面 PAE,∴平面 PAE⊥平面 ABC,∴①和②成立. 设此正四面体的棱长为 1,则 PA=1,AM= +PM ,故③不成立. 10.如图, 过四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的木块上底面内的一点 P 和下底面的对角线 BD 将木块锯开, 得到截面 BDEF.
2

3 ? 3?2 ?1?2 11 2 2 2 2 2 ,PM =PD -DM =? ? -? ? = ,∴PA ≠AM 4 ? 2 ? ?4? 16

(1)请在木块的上表面作出过点 P 的锯线 EF,并说明理由; (2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形 BB1D1D 是矩形,试证明:平面 BDEF⊥平面 ACC1A1. (1)解

在上底面内过点 P 作 B1D1 的平行线分别交 A1D1,A1B1 于 E,F 两点,则 EF 为所作的锯线.在四

20

棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,侧棱 B1B∥D1D,B1B=D1D, 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形,B1D1∥BD. 又 EF∥B1D1,所以 EF∥BD,故 EF 为截面 BDEF 与平面 A1B1C1D1 的交线,故 EF 为所作锯线.如图 所示. (2)证明 由于四边形 BB1D1D 是矩形, 所以 BD⊥B1B.又 A1A∥B1B,所以 BD⊥A1A. 又四棱柱的底面为菱形,所以 BD⊥AC. 因为 AC∩A1A=A,所以 BD⊥平面 A1C1CA. 因为 BD? 平面 BDEF, 所以平面 BDEF⊥平面 A1C1CA. 11.如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,AD=PA=2,CD=2 2,E,F 分别是 AB,PD 的中 点.

(1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求四面体 PECF 的体积. (1)证明 设 G 为 PC 的中点,连结 FG,EG.

∵F 为 PD 的中点,E 为 AB 的中点, 1 1 ∴FG 綊 CD,AE 綊 CD,∴FG 綊 AE, 2 2 ∴四边形 AEGF 为平行四边形,∴AF∥GE. ∵GE? 平面 PEC,AF?平面 PEC, ∴AF∥平面 PCE. (2)证明 ∵PA=AD=2, ∴AF⊥PD.
21

又∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AD⊥CD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD. ∵AF? 平面 PAD,∴AF⊥CD. ∵PD∩CD=D, ∴AF⊥平面 PCD,∴GE⊥平面 PCD. ∵GE? 平面 PEC,∴平面 PCE⊥平面 PCD. (3)解 由(2)知 GE⊥平面 PCD, 所以 EG 为四面体 PEFC 的高, 1 又 EG=AF= 2,CD=2 2,S△PCF= PF·CD=2, 2 1 2 2 所以四面体 PEFC 的体积 V= S△PCF·EG= . 3 3

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