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高二数学,人教A版,选修4-4, 简单曲线,的极坐标方程 , 课件


第一讲 坐标系 ? 1.3 简单曲线的极坐标方程 课前教材预案 ?要点一 曲线与方程的关系 ? 在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方 程f(x,y)=0表示.曲线与方程满足如下关系: ? (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; ? (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线 C上. ? 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对 应的关系,方程是曲线的方程,曲线是方程 的曲线. ?要点二 曲线的极坐标方程 ? 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上 的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0,并且坐标满足方程 f(ρ,θ)=0的 极坐标方程 点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲 线C的________________. ?要点三 常见的曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 ? π? 圆心为?r,2?,半径为 r 的圆 ? ? 图形 极坐标方程 ρ=r ___________ ρ=2rcos θ ___________ ρ=2rsin θ ___________ 曲线 过极点,倾斜角为 α 的直线 图形 极坐标方程 θ= α和θ=π+α(ρ≥0) ____________________ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos θ=a ___________ ρsin θ =a(0<θ<π) ___________ ? π? 过点?a,2?,且与极轴平行 ? ? 课堂深度拓展 ?考点一 圆的极坐标方程 ? 求圆的极坐标方程的步骤 ? (1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ,θ). ? (2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余 弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并 化简. ? (3)验证极点、圆心与M三点共线时,点M(ρ, θ)的极坐标也适合上述极坐标方程. ? 3 ? ? 5? 【例题 1】求圆心在 C?2,2π?处并且过极点的圆的极坐标方程, 并判断点?-2,6π? ? ? ? ? 是否在这个圆上. ? 思维导引:已知圆心,又知圆过极点,也就 知道半径,作出图形,依据题意列出圆上任 意一点(ρ,θ)满足的方程. 解析:由题意可知,圆经过极点 O,OA 为其一条直径,设 M(ρ,θ)为圆上除去 O, A 以外任意一点,则???OA???=2r,连接 AM,则 OM⊥MA.在 Rt△OMA 中,???OM???=???OA???cos ∠AOM,即 ρ=2rcos ?3 ? ? π-θ?,则 ρ=-4sin ?2 ? ? 3 ? θ.经验证,点 O(0,0),A?4,2π?的坐标也 ? ? ? 5? θ.经判断点?-2,6π?满足圆的极坐标 ? ? 满足方程.故所求圆的极坐标方程为 ρ=-4sin 方程为 ρ=-4sin ? 5? θ,故点?-2,6π?在圆上. ? ? 【变式 1】 (2016· 江西高三联考)在极坐标系中,已知圆 C 为 3,Q 点在圆周上运动. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 P 是 OQ 中点,求 P 的轨迹. ? π? 的圆心为?3,3?,半径 ? ? 解析:(1)如图,设 Q(ρ,θ)为圆上任意一点,连接 DQ,OQ,则|OD|=6,∠DOQ π π π =3-θ,或∠DOQ=θ-3,∠DQO=2. ? π? ? π? 在 Rt△ODQ 中,|OQ|=|OD|cos?θ-3?,即 ρ=6cos?θ-3?. ? ? ? ? (2)若 P 的

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