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全国名校高中数学题库--函数2


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) 1. (2010 全国卷Ⅰ理) 函数 f ( x ) 的定义域为 R, f ( x ?1 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, 若 则(

)

A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) ? f ( x ? 2 ) 答案 D

B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数

解析 ? f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,
? f ( ? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f ( ? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,
? 函数 f ( x ) 关于点 (1, 0 ) ,及点 ( ? 1, 0 ) 对称,函数 f ( x ) 是周期 T ? 2[1 ? ( ? 1)] ? 4 的周

期函数.? f ( ? x ? 1 ? 4 ) ? ? f ( x ? 1 ? 4 ) , f ( ? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ? 3 ) 是奇函 数。故选 D 2.(2010 浙 江 理 ) 对 于 正 实 数 ? , 记 M ? 为 满 足 下 述 条 件 的 函 数 f ( x ) 构 成 的 集 合 :
? x1 , x 2 ? R 且 x 2 ? x1 , ? ? ( x 2 ? x1 ) ? f (x 2) ? (x ) f 有 1 ?( ? x
2

x? ) 1

. 下列结论中正确的 ( )

是 A.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1?? 2 B.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,且 g ( x ) ? 0 ,则
f (x) g (x) ?M
?1 ?2

C.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1 ? ? 2 D.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,且 ? 1 ? ? 2 ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1 ? ? 2 答案 C 解析 对于 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x 2 ? x1 ) ,即有 ? ? ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ?? ,



? k , 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 , 即 有

?? 1 ? k f ? ? 1 , ?? 2 ? k g ? ? 2 , 因 此 有 ?? 1 ? ? 2 ? k f ? k g ? ? 1 ? ? 2 , 因 此 有

f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1? ? 2 .

3.(2010 浙江文)若函数 f ( x ) ? x ?
2

a x

( a ? R ) ,则下列结论正确的是(



A. ? a ? R , f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数 B. ? a ? R , f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是减函数 启东中学内部资料
1

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! C. ? a ? R , f ( x ) 是偶函数 D. ? a ? R , f ( x ) 是奇函数 答案 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问. 解析 对于 a ? 0 时有 f ? x ? ? x 是一个偶函数
2

4. (2010 山东卷理)函数 y ?

e ?e
x

?x ?x

e ?e
x

的图像大致为

(

).

y y 1 O 1 x 1 O1 x

y

y

1 O 1 x O

1 1 D x

A 答案 A

B

C

解析 函数有意义,需使 e ? e
x

?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ? x | x ? 0 ? , 排 除 C,D, 又 因 为

y ?

e ?e
x

?x ?x

e ?e
x

?

e e

2x 2x

?1 ?1

? 1? e

2
2x

?1

,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难 点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 5.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为 A.-1 B. 0 答案 C
? log
2

(1 ? x ), x ? 0

? f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0

, )

( C.1 D. 2

解析 由已知得 f ( ? 1) ? lo g 2 2 ? 1 , f (0 ) ? 0 , f (1) ? f (0 ) ? f ( ? 1) ? ? 1 ,
f ( 2 ) ? f (1) ? f (0 ) ? ? 1 , f (3) ? f ( 2 ) ? f (1) ? ? 1 ? ( ? 1) ? 0 , f ( 4 ) ? f (3) ? f ( 2 ) ? 0 ? ( ? 1) ? 1 , f (5) ? f ( 4 ) ? f (3) ? 1 , f (6 ) ? f (5) ? f ( 4 ) ? 0 ,

所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 启东中学内部资料
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6.(2009 山东卷文)函数 y ?

e ?e
x

?x ?x

e ?e
x

的图像大致为( y

). y

y 1 O 1 x 1 O1 x

y

1 O 1 x O

1 1 D x

A 答案 A. 解析
x

B

C

函数有意义,需使 e ? e
x

?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ? x | x ? 0 ? , 排 除 C,D, 又 因 为

y ?

e ?e e ?e
x

?x ?x

?

e e

2x 2x

?1 ?1

? 1? e

2
2x

?1

,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(3)的值为 A.-1 答案 B 解析 由已知得 f ( ? 1) ? lo g 2 5 , f (0 ) ? lo g 2 4 ? 2 , f (1) ? f (0 ) ? f ( ? 1) ? 2 ? lo g 2 5 ,
f ( 2 ) ? f (1) ? f (0 ) ? ? lo g 2 5 , f (3) ? f ( 2 ) ? f (1) ? ? lo g 2 5 ? ( 2 ? lo g 2 5) ? ? 2 ,故选 B.

? log

2

( 4 ? x ),

x ? 0

? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 ), x ? 0



( B. -2 C.1 D. 2

)

【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 8.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2] 上是增函数,则 A. f ( ? 2 5 ) ? f (1 1) ? f (8 0 ) C. f (1 1) ? f (8 0 ) ? f ( ? 2 5) 答案 D B. f (8 0 ) ? f (1 1) ? f ( ? 2 5) D. f ( ? 2 5) ? f (8 0 ) ? f (1 1) ( ).

解析 因为 f ( x ) 满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x ) ,所以函数是以 8 为周期的 启东中学内部资料
3

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 周期函数, 则 f ( ? 25 ) ? f ( ? 1) , f ( 80 ) ? f ( 0 ) , f (11 ) ? f ( 3 ) ,又因为 f ( x ) 在 R 上是奇函 数, f (0 ) ? 0 ,得 f ( 80 ) ? f ( 0 ) ? 0 , f ( ? 25 ) ? f ( ? 1) ? ? f (1) ,而由 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) 得
f (11 ) ? f ( 3 ) ? ? f ( ? 3 ) ? ? f (1 ? 4 ) ? f (1) ,又因为 f ( x ) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f (1) ? f ( 0 ) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f ( ? 2 5) ? f (8 0 ) ? f (1 1) ,故选 D.

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想 和数形结合的思想解答问题. 9.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= ? x (x ? 0)的反函数是 (A) y ? x (x ? 0)
2


2



(B) y ? ? x (x ? 0) (D) y ? ? x (x ? 0)
2

(B) y ? x (x ? 0)
2

答案 B 解析 本题考查反函数概念及求法,由原函数 x ? 0 可知 AC 错,原函数 y ? 0 可知 D 错. 10.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= y ? lo g 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案 A 解析 本题考查对数函数及对称知识, 由于定义域为 (-2, 关于原点对称, f(-x)=-f(x), 2) 又 故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。 11.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e , b ? (lg e ) , c ? lg
2

2? x 2? x

的图像





(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

e, 则

( (D) c ? b ? a



(A) a ? b ? c 答案 B

(B) a ? c ? b

(C) c ? a ? b

解析 本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c=
x

1 2

lge, 作商比较知 c>b,选 B。

12.( 2009 广 东 卷 理 ) 若函数 y ? f ( x ) 是函数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1) 的反函数,其图像 经过点 ( a , a ) ,则 f ( x ) ?
1 2
x




2

A. lo g 2 x

B. lo g 1 x
2

C.

D. x

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4

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 答案 B 解析
f ( x ) ? l o ga x ,代入 ( a , a ) ,解得 a ?
1 2

,所以 f ( x ) ? lo g 1 x ,选 B.
2

13.( 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线) 行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲 和 v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t 0 和 t1 , 下列判断中一定正确的是 A. 在 t 1 时刻,甲车在乙车前面 B. t 1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知,曲线 v 甲 比 v 乙 在 0~ t 0 、0~ t 1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t 0 、t 1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A. 14.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a ) ( x ? b ) 的图像可能是
2









答案 C 解析
y ? ( x ? a) ( 3 x ? 2 a ? ,由 y ? 0 得 x ? a , x ? b)
/ /

2a ? b 3

,∴当 x ? a 时, y 取极

大值 0,当 x ?

2a ? b 3

时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。

或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时, y ? 0 选 C 15.(2009 安徽卷文)设 ,函数 的图像可能是 ( )

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答案 C 解析 可得 x ? a , x ? b 为 y ? ( x ? a ) ( x ? b ) ? 0 的两个零解.
2

当 x ? a 时,则 x ? b ? f ( x ) ? 0 当 a ? x ? b 时,则 f ( x ) ? 0, 当 x ? b 时,则 f ( x ) ? 0 . 选 C。 16.(2009 江西卷文)函数 y ? A. [ ? 4 , 1] 答案 D 解析 由?
?
2

? x ? 3x ? 4
2

的定义域为

( D. [ ? 4, 0 ) ? (0, 1]



x

B. [ ? 4 , 0 )
x ? 0

C. (0, 1]

?? x ? 3x ? 4 ? 0

得 ? 4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D.

17. ( 2009 江 西 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x ) 是 ( ? ? , ? ? ) 上 的 偶 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有
f ( x ? 2)? f ( x ),且当 x ? [0, 2 ) 时, f ( x ) ? lo g 2 ( x ? 1),则 f ( ? 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 9 ) 的

值为 A. ? 2 答案 C 解析

( B. ? 1 C. 1 D. 2



f ( ? 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 9 ) ? f (0 ) ? f (1) ? lo g 2 ? lo g 2 ? 1 ,故选 C.
1 2

y

18.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P ( x , y ) 在 x O y 平面上沿曲线运动, 速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x , 0 ) 的运动速度 V ? V ( t ) 的图象
O

P ( x, y )

大致为

(

)

Q ( x, 0)

x

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V (t )

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V (t ) V (t ) V (t )

A
O

O

B

t

O

C

t

O

D

t

t

答案 B 解析 由图可知,当质点 P ( x , y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x , 0 ) 的速度先

由正到 0、到负数,再到 0,到正,故 A 错误;质点 P ( x , y ) 在终点的速度是由大到小 接近 0,故 D 错误;质点 P ( x , y ) 在开始时沿直线运动,故投影点 Q ( x , 0 ) 的速度为常 数,因此 C 是错误的,故选 B . 19.(2009 江西卷理)函数 y ?
ln ( x ? 1) ? x ? 3x ? 4
2

的定义域为

(

)

A. ( ? 4 , ? 1) 答案 C 解析 由?

B. ( ? 4 , 1)

C. ( ? 1, 1)

D. ( ? 1,1]

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ? ? ? ? 1 ? x ? 1 .故选 C ? x ? 3x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1 ?
ax ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点
2

20. ( 2009 江 西 卷 理 ) 设 函 数 f ( x ) ?

( s , f ( t ))( s , t ? D ) 构成一个正方形区域,则 a 的值为

( D.不能确定

)

A. ? 2 答案 B

B. ? 4

C. ? 8

解析

| x1 ? x 2 | ? f m ax ( x ) ,

b ? 4ac
2

a

2

?

4ac ? b 4a

2

, | a | ? 2 ? a , a ? ? 4 ,选 B

21. (2009 天津卷文) 设函数 f ( x ) ? ? A. ( ? 3 ,1) ? ( 3 , ?? ) C. ( ? 1,1) ? ( 3 , ?? ) 答案 解析

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ? x ? 6, x ? 0

则不等式 f ( x ) ? f (1) 的解集是 ( )

B. ( ? 3 ,1) ? ( 2 , ?? ) D. ( ?? , ? 3 ) ? (1, 3 )

A 由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x ) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x ) ? 3 ,

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启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ? 3 故 f ( x ) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或 x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 22.(2009 天津卷文)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f’(x),且 2f(x)+xf’(x)>x ,x 下面的不等式 在 R 内恒成立的是 A. f ( x ) ? 0 B. f ( x ) ? 0 C. f ( x ) ? x D. f ( x ) ? x ( )
2

答案 A 解析 由已知,首先令 x ? 0 ,排除 B,D。然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考查 了分析问题和解决问题的能力。 23.(2009 湖北卷理)设 a 为非零实数, 函数 y ? A、 y ? C、 y ? 答案 解析
1 ? ax 1 ? ax
1? x a (1 ? x )

1 ? ax 1 ? ax

(x ? R,且 x ? ? 1 ? ax 1 ? ax

1 a

)的 反 函 数 是 ( 1 a )

)

(x ? R,且 x ? ?

1 a

)

B、 y ? D、 y ?

(x ? R,且 x ? ?

( x ? R , 且 x ? 1)

1? x a (1 ? x )

( x ? R , 且 x ? ? 1)

D 由原函数是 y ?
1? y

1 ? ax 1 ? ax

(x ? R,且 x ? ?

1 a

) ,从中解得
1? y a (1 ? y )

x ?

a (1 ? y )

( y ? R , 且 y ? ? 1) 即原函数的反函数是 x ?

( y ? R , 且 y ? ? 1) , 故选

择D 24..(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R ? t ? 。 若球的体积以均匀速度 c 增长, 则球 的表面积的增长速度与球半径 A.成正比,比例系数为 C C.成反比,比例系数为 C 答案 D 解析
c R (t ) R (t )
'

( B. 成正比,比例系数为 2C D. 成反比,比例系数为 2C
4 3

)

由题意可知球的体积为 V ( t ) ?

? R ( t ) ,则 c ? V ( t ) ? 4 ? R ( t ) R ( t ) ,由此可
3
' 2 '

? 4 ? R ( t ) ,而球的表面积为 S ( t ) ? 4 ? R ( t ) ,
2

所以 v 表 = S ( t ) ? 4 ? R ( t ) ? 8 ? R ( t ) R ( t ) ,
' 2 '

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8

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即 v 表 = 8 ? R ( t ) R ( t )= 2 ? 4 ? R ( t ) R ( t )=
' '

2c R (t ) R (t )
'

R ( t )=

'

2c R (t )

,故选

25.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有
5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) ,则 f ( ) 的值是 2

( C. 1 D.
5 2

)

A. 0 答案 解析 A

B.

1 2 1? x x

若 x ≠0,则有 f ( x ? 1 ) ?
1? ? 1

f ( x ) ,取 x ? ?

1 2

,则有:

1 1 f ( ) ? f ( ? ? 1) ? 2 2

1 1 1 2 f ( ? ) ? ? f ( ? ) ? ? f ( ) (∵ f ( x ) 是偶函数,则 1 2 2 2 2

f (?

1

1 1 ) ? f ( ) )由此得 f ( ) ? 0 于是 2 2 2
3 1? 3 2 3 2 f( ) ? f( ) ? f ( ? 1) ? [ 2 3 2 3 2 3 3 5 3 5 1 5 1? 1 2 1 2 1 1 ]f( ) ? 5f( ) ? 0 2 2

f ( ) ? f ( ? 1) ? 2 2

5

26.(2009 福建卷理)函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 2a

对称。据此

可推测,对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x ) ? ? n f ( x ) ? p ? 0 的解集都不可能是 A. ?1, 2 ? 答案 解析 D 本题用特例法解决简洁快速,对方程 m [ f ( x )] ? n f ( x ) ? P ? 0 中 m , n , p 分别
2

( B ?1, 4 ? C ?1, 2 , 3, 4 ? D ?1, 4,1 6, 6 4 ?

)

赋值求出 f ( x ) 代入 f ( x ) ? 0 求出检验即得. 27.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , ? ? ) 单调增加,则满足 f ( 2 x ? 1) < f ( )
3 1

的 x 取值范围是 (A) ( 答案 解析
1 3

( B.[
1 3

)



2 3





2 3



C.(

1 2



2 3



D.[

1 2



2 3



A 由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)

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1 3

∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<
1 3

),再根据 f(x)的单调性
1 3

解得

<x<

2 3

28.(2009 宁夏海南卷理)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f(x)=min{, x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 答案 C 29.(2009 陕西卷文)函数 f ( x ) ? (A) f (C) f 答案 解析 故f
?1

(

)

2 x ? 4 ( x ? 4 ) 的反函数为

(
2

)

?1

(x) ? (x) ?

1 2 1 2

x ? 4( x ? 0)
2

B. f

?1

(x) ?
?1

1 2

x ? 4( x ? 2) 1 2 x ? 2( x ? 2)
2

?1

x ? 2( x ? 0)
2

(D) f
学科

(x) ?

D 令原式
(x) ? 1 2
2

y ? f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 2)
故选 D.

则y 2 ? 2 x ? 4,即x ?

y2 ? 4 y2 ? ?2 2 2

x ? 2( x ? 2)

30.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x 2 ? [0 , ? ? )( x1 ? x 2 ) , 有
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ? 0 .则

(

)

(A) f (3) ? f ( ? 2 ) ? f (1) C. f ( ? 2 ) ? f (1) ? f (3) 答案 解析 A

B. f (1) ? f ( ? 2 ) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f ( ? 2 )

由 ( x 2 ? x1 )( f ( x 2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等价,于

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? 0 则 f (x) 在

x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ]( x1 ? x 2 ) 上单调递增, 又 f ( x ) 是偶函数,故 f ( x ) 在 x1 , x 2 ? (0 , ? ? ]( x1 ? x 2 ) 单调递减.且满足 n ? N 时, f ( ? 2 ) ? f ( 2 ) , 3 > 2 ? 1 ? 0 ,得
*

f (3) ? f ( ? 2 ) ? f (1) ,故选 A.

31.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意 的 x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ]( x1 ? x 2 ) ,有 ( x 2 ? x1 )( f ( x 2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N 时,有
*

(
10

)

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启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! (A) f ( ? n ) ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 1) C. C. f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1) 答案 C
0 f ( x在 (? ? , 0 ] 增 函 数 ) 为

B. f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1) D. f ( n ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( ? n )

解 析 : x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ] (x1 ? x 2 ) ? (x 2 ? x1 ) ( f (x2 )? f (x1 ) ) ? ? x 2 ? x1时 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

f ( x )为 偶 函 数 ? f ( x )在 ( 0 ? ? 为 减 函 数 , ] 而 n + 1 > n > n - 1 > 0 ,? f ( n ? 1 ) ? f ( n ) ? f ( n ? 1 ) ? f (n ? 1 ) ? f (? n ) ? f (n ? 1 )

32.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) ,则 f ( ) 的值是
2 5

( D.
5 2

)

A. 0 答案 解析 A

B.

1 2 1? x x

C. 1

若 x ≠0,则有 f ( x ? 1 ) ?
1? ? 1

f ( x ) ,取 x ? ?

1 2

,则有:

f ( ) ? f ( ? ? 1) ? 2 2

1

1

1 1 1 2 f (? ) ? ? f (? ) ? ? f ( ) ( ∵ f ( x) 是 偶 函 数 , 则 1 2 2 2 2

f (?

1

1 ) ? f( ) ) 2 2
1 2

由此得 f ( ) ? 0 于是,
1? 3 2 3 2 f( ) ? f( ) ? f ( ? 1) ? [ 2 3 2 3 2 3
1 ? 2x 1 ? 2x

f ( ) ? f ( ? 1) ? 2 2

5

3

3

5

3

5

1

5

1? 1 2

1 2 1 1 ]f( ) ? 5f( ) ? 0 2 2

33.(2009 湖北卷文)函数 y A. y C. y
? 1? 2x 1? 2x
1? x 2 (1 ? x )

?

(x ? R,且 x ? ?

1 2

) 的反函数是 1 2
( x ? R , 且 x ? ? 1)

(
)

)

(x ? R,且 x ?

1 2

)

B. y D. y

?

1? 2x 1? 2x
1? x

(x ? R,且 x ? ?

?

( x ? R , 且 x ? 1)

?

2 (1 ? x )

答案 解析

D 可反解得 x ?
1? y 2 (1 ? y ) 故f
?1

(x)

1? x 2 (1 ? x )

且可得原函数中 y∈R、y≠-1 所以

启东中学内部资料

11

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1? x 2 (1 ? x )

f

?1

(x)

且 x∈R、x≠-1 选 D
x 1? ?x

34.(2009 湖南卷理)如图 1,当参数 ? ? ? 2 时,连续函数 y ? 曲线 C 1 和 C 2 , 则 A 0 ? ?1 ? ? C ?1 ? ? 2 ? 0 答案 解析 B 解析由条件中的函数是分式无理型函数,先由函 B 0 ? ? ? ?1 D ? 2 ? ?1 ? 0

( x ? 0 ) 的图像分别对应

(

)

数在 (0, ? ? ) 是连续的,可知参数 ? 1 ? 0 , ? 2 ? 0 ,即排除 C,D 项,又取 x ? 1 ,知对应函 数值 y 1 ?
1 1 ? ?1 , y2 ? 1 1 ? ?2

,由图可知 y 1 ? y 2 , 所以 ? 1 ? ? 2 ,即选 B 项。

35.(2009 湖南卷理)设函数 y ? f ( x ) 在( ? ? ,+ ? )内有定义。对于给定的正数 K,定义函 数
? f ( x ), f ( x ) ? K fk ( x) ? ? ? K , f (x) ? K

(

)

取函数 f ( x ) = 2 ? x ? e 。若对任意的 x ? ( ? ? , ? ? ) ,恒有 f k ( x ) = f ( x ) ,则 ( A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1 答案 D 解析 由 f '( x ) ? 1 ? e
?x

?1

)

B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1

? 0, 知 x ? 0 , 所以 x ? ( ? ? , 0 ) 时, f '( x ) ? 0 , x ? (0, ??) 当

时, f '( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) m ax ? f (0 ) ? 1, 即 f ( x ) 的值域是 ( ? ? ,1] , 而要使 f k ( x ) ? f ( x ) 在 R 上恒成立,结合条件分别取不同的 K 值,可得 D 符合,此时 f k ( x ) ? f ( x ) 。故选 D 项。 36. (2009 天津卷理) 已知函数 f ( x ) ? ? 的取值范围是 A ( ?? , ? 1) ? (2, ?? ) 启东中学内部资料 B ( ? 1, 2 )
12

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x ? 0 x ? 0

若 f ( 2 ? a ) ? f ( a ), 则实数 a
2

( C ( ? 2 ,1) D ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )

)

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a
2

? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

37.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) ,则 f ( f ( )) 的值是
2 5

( D.
5 2

)

A.0

B.

1 2

C.1

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。 (同文 12) 答案 A 解析 令x ? ?
1 2

,则 ?

1 2

f(

1 2

) ?

1 2

f (?

1 2

) ?

1 2

f(

1 2

)? f(

1 2

) ? 0 ;令 x ? 0 ,则

f (0) ? 0
x ?1 x

由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) 得 f ( x ? 1 ) ?
5 f( 5 2 ) ? 3

f ( x ) ,所以

3 5 3 5 2 1 5 2 f( ) ? f( ) ? ? f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f ( 0 ) ? 0 ,故选择 A。 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2

38.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ?
1 x

1 x

有相同定义域的是

(

)

A . f ( x ) ? ln x 答案 A 解析 解析 由 y ?
1 x

B. f ( x ) ?

C. f ( x ) ? | x |

D. f ( x ) ? e

x

可得定义域是 x ? 0 . f ( x ) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x ) ?

1 x

的定

义域是 x ≠0; f ( x ) ? | x | 的定义域是 x ? R ; f ( x ) ? e 定义域是 x ? R 。故选 A.
x

39.(2009 福建卷文)定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示,则在 ? ? 2 , 0 ? 上, 下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 ( A. y ? x ? 1
2

)

B. y ? | x | ? 1 启东中学内部资料
13

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? 2 x ? 1, x ? 0 ? x ? 1, x ? 0
3
x

C. y ? ?

?e , x ? o ? D. y ? ? ? x ?e , x ? 0 ?

答案 C 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反, 故可知求在 ? ? 2 , 0 ? 上单调 递减,注意到要与 f ? x ? 的单调性不同,故所求的函数在 ? ? 2 , 0 ? 上应单调递增。而函数
y ? x ?1 在
2

? ? ? ,1 ? 上 递 减 ; 函 数

y ? x ?1 在

? ?? , 0? 时 单 调 递 减 ; 函 数

? 2 x ? 1, x ? 0 y ? ? 3 在( ? ? , 0 ] 上单调递减,理由如下 y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增, x ? 1, x ? 0 ?

显然符合题意;而函数 y ? ? 不符合题意,综上选 C。

?e , x ? 0 ?
x

?e ?

?x

,有 y’=- e

?x

<0(x<0),故其在( ? ? , 0 ] 上单调递减,

,x ? 0

40.(2009 重庆卷文)把函数 f ( x ) ? x ? 3 x 的图像 C 1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移
3

v 个单位长度后得到图像 C 2 .若对任意的 u ? 0 ,曲线 C 1 与 C 2 至多只有一个交点,则 v

的最小值为 A. 2 B. 4 答案 B 解析
3

( C. 6 D. 8



根据题意曲线 C 的解析式为 y ? ( x ? u ) ? 3( x ? u ) ? v , 则方程
3 3 2 3

( x ? u ) ? 3( x ? u ) ? v ? x ? 3 x ,即 3 u x ( u ? 3 u ? v ) ? 0 ,即 v ? ?
u?0

1 4

u ? 3 u 对任意
3

恒成立,于是 v ? ?
g (( u ) ? ? 3 4
2

1 4

u ? 3 u 的最大值,令 g ( u ) ? ?
3

1 4

u ? 3 u ( u ? 0 ), 则
3

u?0

u ?3? ?

3 4

( u ? 2 )( u ? 2 ) 由此知函数 g ( u ) 在(0,2)上为增函数,

在 ( 2 , ? ? ) 上为减函数,所以当 u ? 2 时,函数 g ( u ) 取最大值,即为 4,于是 v ? 4 。 41.(2009 重庆卷理)若 f ( x ) ? 答案
1 2 1 2 ?1
x

? a 是奇函数,则 a ?



解析

解法 1 f ( ? x ) ?
2

1
?x

?1

?a ?

2

x x

1? 2
14

? a, f (? x) ? ? f ( x)

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?

2

x x

1? 2

? a ? ?(

1 2 ?1
x

? a) ? 2a ?

1 1? 2
x

?

2

x x

1? 2

? 1故 a ?

1 2

42(2009 上海卷文) 函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________. 答案 解析
3

x ?1

由 y=x3+1,得 x= 3 y ? 1 ,将 y 改成 x,x 改成 y 可得答案。
?3 ,
x

44(2009 北京文)已知函数 f ( x ) ? ? 答案
5.u.c

x ? 1, x ? 1,

?? x,

若 f ( x ) ? 2 ,则 x ?

.

.w.w. k. s.5

lo g 3 2

.w

解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、 基本运算的 考查. 由?
?x ? 1
?x ? 1 ? x ? lo g 3 2 , ? 无解,故应填 lo g 3 2 . x ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2

?1 , x ? 0 ? ?x 45. (2009 北京理) 若函数 f ( x ) ? ? ?(1 )x , x ? 0 ? 3 ?

则不等式 | f ( x ) |?

1 3

的解集为____________.

答案

? ? 3,1 ?

解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查.
?x ? 0 ? (1)由 | f ( x ) | ? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . ? 3 ? 3 ? x 1
?x ? 0 ?x ? 0 ? ? x x (2)由 | f ( x ) | ? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ?1. ? 3 ?? ? ?? ? ? 3 3 3 ?? 3 ? ?? ? 1

∴不等式 | f ( x ) |?

1 3

的解集为 ? x | ? 3 ? x ? 1? ,∴应填 ? ? 3,1 ? .
5 ?1 2

46.(2009 江苏卷)已知 a ? 则 m 、 n 的大小关系为 解析

,函数 f ( x ) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f ( m ) ? f ( n ) ,
x

.

考查指数函数的单调性。

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5 ?1 2

a ?

? ( 0 ,1) ,函数 f ( x ) ? a 在 R 上递减。由 f ( m ) ? f ( n ) 得:m<n
x

47.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8 ,8 ? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

答案

-8

解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 4 ) ? f ( ? x ) ,所以, 由 f ( x ) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0 ) ? 0 ,由 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) 知
f ( x ? 8 ) ? f ( x ) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x ) 在区间[0,2]上是增函数,

所以 f ( x ) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8 ,8 ? 上有 四个不同的根 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,不妨设 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 由对称性知 x1 ? x 2 ? ? 1 2 x 3 ? x 4 ? 4 所以 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? 1 2 ? 4 ? ? 8

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 14.(2009 四川卷文)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V ? V , a ? V , 记 a 的象为 f ( a ) 。若映射 f : V ? V 满足:对所有 a、 b ? V 及任意实数 ? , ? 都有
f ( ? a ? ? b ) ? ? f ( a ) ? ? f ( b ),则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:

①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、 b ? V ,则 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ? V , 设 f ( a ) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变 换; 启东中学内部资料
16

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③对 a ? V , 设 f ( a ) ? ? a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ? V ,则对任意实数 k 均有 f ( k a ) ? k f ( a ) 。 其中的真命题是 答案 ①③④ 解析 (写出所有真命题的编号)

①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) 故①是真命题

同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f ( ka ) ? kf ( a ) 故④是真命题 ③:∵ f ( a ) ? ? a ,则有 f ( b ) ? ? b
f ( ? a ? ? b ) ? ? ( ? a ? ? b ) ? ? ? ( ? a ) ? ? ? ( ? b ) ? ? f ( a ) ? ? f ( b ) 是线性变换,故③是

真命题 ②:由 f ( a ) ? a ? e ,则有 f ( b ) ? b ? e
f ( ? a ? ? b ) ? ( ? a ? ? b ) ? e ? ? ? ( a ? e ) ? ? ? (b ? e ) ? e ? ? f ( a ) ? ? f (b ) ? e

∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新 颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。 48.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x ) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x ) 在 x =-1 处取 得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?
g (x) x

(1)若曲线 y ? f ( x ) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k ( k ? R ) 如何取值时,函数 y ? f ( x ) ? kx 存在零点,并求出零点. 解 (1)设 g ? x ? ? a x ? b x ? c ,则 g ? ? x ? ? 2 a x ? b ;
2

又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ? 1 取极小值,
?g
? b 2

? 2a ? 2

a ?1

? ? 1



b ? 2

?

?1 ? ? a ?b ? c 1 ?
g ?x? x m x

2 ?

? c

? ,? m 1

c? m;

f

?x? ?

? x?

?2,

设 P ? xo, yo ?

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2

则 PQ

2

? x0 ? ? y0 ? 2 ?
2

2

2 ? m ? m 2 ? x0 ? ? x0 ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 ? x0 ? x0 ?

2

2m

2

?2

?2

2m

2

? 2? 4

m ? ?

2 2



(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ? 1 ? k ? x ? 得

m x

? 2? 0,

?1 ? k ? x

2

? 2x ? m ? 0
m 2

?*?
,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ?
m 2 1 m

当 k ? 1 时,方程 ? * ? 有一解 x ? ?

; ,

当 k ? 1 时,方程 ? * ? 有二解 ? ? ? 4 ? 4 m ? 1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x
?2 ? 4 ? 4 m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ?2 ? 1? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

?

?

;若 m ? 0 ,

k ?1?

1 m

,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x

?

4 ? 4 m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ?

?

1?

1 ? m ?1 ? k ? k ?1



? 当 k ? 1 时 , 方 程 ? * ? 有 一 解 ? ? ? 4 ? 4m ? 1 k ? ? y ? f? x? ? k有一零点 x ? x
1 k ?1
3

0 ,

k ? 1?

1 m

, 函数

49.(2009 浙江理) (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ( k ? k ? 1) x ? 5 x ? 2 ,
2 2

g ( x ) ? k x ? kx ? 1 ,
2 2

其中 k ? R . (I)设函数 p ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .若 p ( x ) 在区间 ( 0 , 3 ) 上不单调,求 k 的取值范围; ... (II)设函数 q ( x ) ? ?
? g ( x ), x ? 0 , ? f ( x ), x ? 0 .

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一

的非零实数 x 2 ( x 2 ? x1 ) ,使得 q ? ( x 2 ) ? q ? ( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存 在,请说明理由. 解 (I)因 P ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ( k ? 1) x ? ( k ? 5) ? 1 ,
3 2

p ? ? x ? ? 3 x ? 2 ( k ? 1) x ? ( k ? 5 ) ,因 p ( x ) 在区间 ( 0 , 3 ) 上不单调,所以 p ? ? x ? ? 0 在 ....
2

? 0 , 3 ? 上有实数解,且无重根,由 p ? ? x ? ? 0 得 k ( 2 x ? 1) ?
?k ? ? (3 x ? 2 x ? 5 )
2

? (3 x ? 2 x ? 5 ),
2

2x ?1

? ?

3 ? 9 10 ? 2 x ? 1? ? ? ,令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ? 1, 7 ? ,记 ?? 4 ? 2x ?1 3 ? ?

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9 t , 则 h ? t ? 在 ? 1, 3 ? 上单调递减,在 ? 3, 7 ? 上单调递增,所以有 h ? t ? ? ? 6 ,1 0 ? , 9 2x ?1 ? ? 6 ,1 0 ? ,得 k ? ? ? 5, ? 2 ? ,而当 k ? ? 2 时有 p ? ? x ? ? 0 在 ? 0 , 3 ?

h (t ) ? t ?

于是 ? 2 x ? 1 ? ?

上有两个相等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 k ? ? ? 5, ? 2 ? ; (II)当 x ? 0 时有 q ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3 x ? 2 ( k ? k ? 1) x ? 5 ;
2 2

当 x ? 0 时有 q ? ? x ? ? g ? ? x ? ? 2 k x ? k ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 ,
2

q 下面讨论 k ? 0 的情形, A ? ( k , ? ? ) , ? 5, ? ? ?(ⅰ) x1 ? 0 时, ? ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 记 B= 当

上单调递增,所以要使 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立,只能 x 2 ? 0 且 A ? B ,因此有 k ? 5 , (ⅱ)当 x1 ? 0 时, q ? ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递减,所以要使 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立, 只能 x 2 ? 0 且 A ? B ,因此 k ? 5 ,综合(ⅰ) (ⅱ) k ? 5 ; 当 k ? 5 时 A=B, ? x1 ? 0 , q ? ? x1 ? ? B ? A , ? x 2 ? 0, 使得 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立, 则 即 因为 q ? ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增,所以 x 2 的值是唯一的; 同理,? x1 ? 0 ,即存在唯一的非零实数 x 2 ( x 2 ? x1 ) ,要使 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立,所 以 k ? 5 满足题意. 7.(2009 江苏卷)(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? 2 x ? ( x ? a ) | x ? a | .
2

(1)若 f (0 ) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x ) 的最小值; (3)设函数 h ( x ) ? f ( x ), x ? ( a , ? ? ) ,.... 直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h ( x ) ? 1 的 解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查

灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 (1)若 f (0 ) ? 1 ,则 ? a | a |? 1 ? ?
?a ? 0 ?a ? 1
2
2

? a ? ?1

(2)当 x ? a 时, f ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? a ,
2

f ( x ) m in

?2a , a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ? ? ? ? ? ? 2a 2 a ,a ? 0 ? f ( ), a ? 0 ? 3 ? ? 3
2

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? f ( ? a ), a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ??2a , a ? 0 ? ? ? 2 ?2a , a ? 0 ?
2

2 2 当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? 2 a x ? a , f ( x ) m in ? ?

综上 f ( x ) m in

??2a , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2

(3) x ? ( a , ? ? ) 时, h ( x ) ? 1 得 3 x ? 2 a x ? a ? 1 ? 0 ,
2 2

? ? 4 a ? 1 2 ( a ? 1) ? 1 2 ? 8 a
2 2

2

当a ? ?

6 2

或a ?

6 2

时, ? ? 0, x ? ( a , ? ? ) ;
? a? 3 ? 2a 3
2

当?

6 2

? a ?

6 2

时,△>0,得: ? ( x ? ?

)( x ?

a?

3 ? 2a 3

2

)? 0

? ?x ? a

讨论得:当 a ? (
6 2

2 2

,

6 2

) 时,解集为 ( a , ? ? ) ;

当 a ? (?

,?

2 2 2

) 时,解集为 ( a ,

a?

3 ? 2a 3

2

]? [

a?

3 ? 2a 3

2

, ?? ) ;

当 a ? [?

2 2

,

] 时,解集为 [

a?

3 ? 2a 3

2

, ?? ) .

2

50.(2009 年上海卷理)已知函数 y ? f ( x ) 的反函数。定义:若对给定的实数 a ( a ? 0 ) ,函 数 y ? f (x ? a) 与 y ? f
y ? f (ax) 与 y ? f
?1 ?1

( x ? a ) 互为反函数,则称 y ? f ( x ) 满足“ a 和性质” ;若函数

( a x ) 互为反函数,则称 y ? f ( x ) 满足“ a 积性质” 。
2

(1) 判断函数 g ( x ) ? x ? 1( x ? 0 ) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由; (2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数 y ? f ( x )( x ? 0 ) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x ) 的表达式。 解 (1)函数 g ( x ) ? x ? 1( x ? 0 ) 的反函数是 g ( x ) ?
2

?1

x ? 1 ( x ? 1)

?g

?1

( x ? 1) ?

x ( x ? 0)
2

而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? ? 1), 其反函数为 y ? 故函数 g ( x ) ? x ? 1( x ? 0 ) 不满足“1 和性质”
2

x ? 1 ? 1( x ? 1)

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20

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! (2)设函数 f ( x ) ? kx ? b ( x ? R ) 满足“2 和性质” k ? 0 . ,
? f
?1

(x) ?

x?b k

( x ? R ),? f

?1

( x ? 2) ?

x?2?b k

…….6 分 ………….8 分

而 f ( x ? 2 ) ? k ( x ? 2 ) ? b ( x ? R ), 得反函数 y ? 由“2 和性质”定义可知
x?2?b k

x ? b ? 2k k

=

x ? b ? 2k k

对 x ? R 恒成立

? k ? ? 1, b ? R , 即所求一次函数为 f ( x ) ? ? x ? b ( b ? R ) ………..10 分

(3)设 a ? 0 , x 0 ? 0 ,且点 ( x 0 , y 0 ) 在 y ? f ( a x ) 图像上,则 ( y 0 , x 0 ) 在函数 y ? f 图象上,

?1

(ax)



f ( a x 0 ) ? y 0 ,可得 a y 0 ? f ( x 0 ) ? a f ( a x 0 ) ,

... ...12 分

f

?1

( a y0 ) ? x0
x x0 x x0
x0 f ( x0 ) x

令 a x 0 ? x ,则 a ?

。? f ( x 0 ) ?
k x

f ( x ) ,即 f ( x ) ?



... ...14 分
k ax

综上所述, 1 ? b1 q 而f
?1

n ?1

? bn f ( x ) ?

( k ? 0 ) ,此时 f ( a x ) ?
?1

k ax

,其反函数就是 y ?



(ax) ?

k ax

,故 y ? f ( a x ) 与 y ? f

( a x ) 互为反函数 。

2005—2008 年高考题
一、选择题
?1 ? x , x ≤ 1, ? 1 ? ? 1.(2008 年山东文科卷)设函数 f ( x ) ? ? 2 则f ? ? 的值为( ? x ? x ? 2, x ? 1, ? f (2) ? ?
2



A.

15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

D. 1 8

答案 A 2.(07 天津)在 R 上定义的函数 f ? x ? 是偶函数,且 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 是减函数,则函数 f ? x ? A.在区间 ?? 2 , ? 1 ? 上是增函数,区间 ?3 , 4 ? 上是增函数 B.在区间 ?? 2 , ? 1 ? 上是增函数,区间 ?3 , 4 ? 上是减函数 启东中学内部资料
21





启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! C.在区间 ?? 2 , ? 1 ? 上是减函数,区间 ?3 , 4 ? 上是增函数 D.在区间 ?? 2 , ? 1 ? 上是减函数,区间 ?3 , 4 ? 上是减函数 答案 B
? 1 ?

3. (07 福建)已知函数 f ? x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? ? f ?1 ? 的实数 x 的取值范围 ? ? ? x ? 是 A. ? ? 1,1 ? C. ? ? 1, 0 ? ? ? 0 ,1 ? 答案 C 4.(07 重庆)已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8 , ?? ? 上为减函数, 且函数 y ? f ? x ? 8 ? 为 偶函数,则 A. f ? 6 ? ? f ? 7 ? C. f ? 7 ? ? f ?9 ? 答案 D 5.(07 安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为 A. y ?
3 2 | x ?1|
3 2 3 2 ? 3 2 ? | x ? 1 | (0≤x≤2)

( B. ? 0 ,1 ? D. ? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ?? ?



( B. f ? 6 ? ? f ?9 ? D. f ? 7 ? ? f ?10 ?



(

)

(0≤x≤2)

B. y ? C. y ?

| x ? 1 | (0≤x≤2)

D. y ? 1 ? | x ? 1 | 答案 B

(0≤x≤2)

6.(2005 年上海 13)若函数 f ( x ) ?
2

1
x

?1

,则该函数在 ( ?? , ?? ) 上是





A.单调递减;无最小值 B.单调递减;有最小值 C.单调递增;无最大值 D.单调递增;有最大值 答案 A 二、填空题 7.(2007 上海春季 5)设函数 y ? f ( x ) 是奇函数. 若 f ( ? 2 ) ? f ( ? 1) ? 3 ? f (1) ? f ( 2 ) ? 3 则 f (1) ? f ( 2 ) ? . 答案
? 3

8.(2007 年上海)函数 y ?

lg( 4 ? x ) x?3

的定义域是



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22

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答案

?x

x ? 4 且 x ? 3?

9. (2006 年安徽卷) 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 f

?x?

, f ? 1 ? ? ?5, 若

则f 答案 解析

? f ? 5 ? ? ? _______________。
f
1 5

? f ?5?? ?

f ( ? 5 ) ? f ( ? 1) ?

1 f (?1 ? 2)

? ?

1 5



10.(2006 年上海春)已知函数 f ( x ) 是定义在 ( ? ? , ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ? , 0 ) 时,
f (x) ? x ? x
4

,则当 x ? ( 0 , ? ? ) 时, f ( x ) ?

.

答案 -x-x 三、解答题

4

11.(2007 广东) 已知 a 是实数, 函数 f ? x ? ? 2 ax

2

? 2x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ? x ? 在区间

?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围.
解析 若 a ? 0 , f ( x ) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1 ? 上没有零点, 所以 a ? 0 . 令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ,
2

解得 a ?

?3 ? 2

7

①当 a ?

?3 ? 2

7

时,

y ? f

? x ? 恰有一个零点在 ? ? 1,1 ? 上;

②当 f ? ? 1 ? ? f ?1 ? ? ? a ? 1 ?? a ? 5 ? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在

? ? 1,1 ? 上也恰有一个零点.
③当 y ? f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上有两个零点时, 则
a ? 0 ? ? 2 ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1 ? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ? a ? 0 ? ? 2 ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 或? 2a ? f ?1 ? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ?

解得 a ? 5 或 a ?

?3 ? 2

5

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23

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综上所求实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ?

?3 ? 2

5

.

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1. (北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文理)函数 y ? f ( x ) 的定义域是

? ? ? , ?? ? ,若对于任意的正数 a ,函数 g ( x )
数,则函数 y ? f ( x ) 的图象可能是

? f ( x ? a ) ? f ( x ) 都是其定义域上的增函

(

)

答案

A
1 ?x ? x ? 2
2

2.(2009 龙岩一中)函数 y ?

的定义域是





A. ( ? ? , ? 1) 答案 B

B. ( ? 1, 2 )

C. ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? )

D. ( 2 , ? ? )

3.(2009 湘潭市一中 12 月考)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ? f ( x ?

3 2

) ,且

f ( ? 2 ) ? f ( ? 1) ? ? 1 , f (0 ) ? 2 , f (1) ? f ( 2 ) ? … ? f ( 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 9 ) ? (



A. ? 2 答案 A

B. ? 1

C. 0

D. 1

4.(2009 广东三校一模)定义在 R 上的函数 f ? x ? 是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则
f ?1 ? ? f ? 4 ? ? f ? 7 ? 等于

( C.1 D.4
? a x ? 1, ?
2 2 ax

)

A.-1 答案 B

B.0

5. 安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测) ( 函数 f ( x ) ? ? 在 ( ? ? , ? ? ) 上单调,则的取值范围是 启东中学内部资料
24

x ? 0

? ( a ? 1) e , x ? 0 ?

(

)

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A. ( ? ? , ? 2 ] ? (1, 2 ] C. (1, 2 ] 答案 A

B. [ ? 2 , ? 1) ? [ 2 , ? ? ) D. [ 2 , ? ? )

6.(黄山市 2009 届高中毕业班第一次质量检测)对于函数 f ( x ) ? lg x 定义域中任意
x 1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 有如下结论:① f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ;

② f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ③
x1 ? x 2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0;

④f(

)?

。上述结论中正确结论的序号是

(

)

A.② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 答案 B 7.(福州市普通高中 2009 年高中毕业班质量检查)已知函数
( x ? 1) ?8 x ? 8 f (x) ? ? 2 , g ( x ) ? ln x .则 f ( x ) 与 g ( x ) 两函数的图像的交点个数 ? x ? 6 x ? 5 ( x ? 1)

为 A.1 B.2 C.3 答案 B 8.(福州市普通高中 2009 年高中毕业班质量检查)已知
f ( x )( x ? 0 , x ? R ) 是奇函数
f ( x ) ? 0 的解集是

( D.4



, 当 x ? 0时 , f ? ( x ) ? 0 , 且 f ( ? 2 ) ? 0 ,则不等式

( B. ( 2 , ?? ) D. ( ?? , ? 2 ) ? ( 2 , ?? )



A. (—2,0) C. ( ? 2 , 0 ) ? ( 2 , ?? ) 答案 C

9. (江门市 2009 年高考模拟考试) 设函数 f ( x ) ? ln( ? 定义域为 N ,则 M ? N ? A. ?x x ? 0 ? 答案 C B. ?x x ? 0 且 x ? 1?

1 x

) 的定义域为 M ,g ( x ) ?

1? x

2

1? x



( C. ?x x ? 0 且 x ? ? 1? D. ?x x ? 0 且 x ? ? 1?
1? x 1? x

)

10. (2009 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科) )设 f ? x ? ?
f1 ? x ? ? f

,又记 ( )

?x?,

f k ?1 ? x ? ? f

? f ? x ?? , k
k

? 1, 2, ? , 则 f 2 0 0 9 ? x ? ?

A. ?

1 x

B. x
25

C.

x ?1 x ?1

D.

1? x 1? x

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启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 答案 D 11.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)设函数 数,若 0≤ ? ≤
?
2

f (x)

是奇函数,并且在 R 上为增函 )

时,f(msin ? )+f(1—m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(
1 2 )

A. (0,1)B. (-∞,0)C. ( ?? , 答案 D 二、填空题

D. (-∞,1)

12. (2009 年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查)已知函数 f ( x ) 为 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ( x ? 1) .若 f ( a ) ? ? 2 ,则实数 a ? 答案
?1
? 1 2 ? x ? m ? 1 2

.

13.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)给出定义:若 m 整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 { x } ,即 { x } ? 函数
f ( x ) ? | x ? { x } | 的四个命题:
? f (x)

(其中 m 为

m

. 在此基础上给出下列关于

①函数 y ②函数 y ③函数 y

的定义域是 R,值域是[0, 的图像关于直线 x
? k 2

1 2

]; 对称;

? f (x) ? f (x)

(k ? Z )

是周期函数,最小正周期是 1; 在 ??
? ? 1 2 , 1? ? 2?

④ 函数 y

? f (x)

上是增函数; .

则其中真命题是__ 答案 ①②③

14.(安徽省示范高中皖北协作区 2009 年高三联考)已知函数 f ? x ? ? ? 等式 f ? x ? ? 4 的解集为 答案
( ?? , 2 ) ? ( 3 , ?? )

?x ,x ? 0
2

? x ? 1, x ? 0

,则不

?x ? 2 ? 2 15.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)函数 f ( x ) ? ? x ?2 x ?
f (? 3 2 ) ? ________

( x ? ? 1) ( ? 1 ? x ? 2 ) ,则 ( x ? 2)

,若 f ( a ) ?

1 2

,则实数 a 的取值范围是

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26

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 答案
1 2 3 2 2 2 2 2

;?? , ? (

) ? (?



)

16. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试文)设 a 为常数, f ( x ) = x - 4 x + 3 .
2

若函数 f ( x + a ) 为偶函数,则 a =__________; f ( f ( a )) =_______. 答案 2,8
2

17.(2009 丹阳高级中学一模)若函数 y ? mx 值范围是____________。 答案 三、解答题
0 ? m ? 1 4

? x ? 5 在 ? ? 2 , ? ? ) 上是增函数,则 m 的取

18.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)设函数 (1)画出函数 y=f(x)的图像; (2)若不等式 a
? b ? a ? b ? a f (x)
( x ? 2) (1 ? x ? 2 ) ( x ? 1)

f (x) ? x ? 1 ? x ? 2



, (a?0,a、b?R)恒成立,求实数 x 的范围。
y

解:(1)

?2 x ? 3 ? f ( x ) ? ?1 ? ?3 ? 2 x

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x) 得
|a ? b|? |a ? b| |a | ? f (x) |a ? b? a ?b| |a |

1 1
? 2

2

x

又因为

|a ? b|? |a ?b| |a |

?

则有 2≥f(x) 解不等式 2≥|x-1|+|x-2| 得
1 2 ? x ? 5 2

2007—2008 年联考题
一、选择题 1.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足
f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ,且在[-1,0]上单调递增,设 a ? f ( 3 ) , b ? f ( 2 ) , c ? f ( 2 ) ,

则 a , b , c 大小关系是 A. a ? b ? c 答案 D
27

( B. a ? c ? b C. b ? c ? a D. c ? b ? a

)

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2.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)函数 y ? ? A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 答案 D B.偶函数

1? x ?

x ?1是

(

)

D.非奇非偶函数

3.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)设 f(x)是定义在 R 上的函数,且在 (-∞,+∞)上是增函数,又 F(x)=f(x)-f(-x),那么 F(x)一定是 A.奇函数,且在(-∞,+∞)上是增函数 C.偶函数,且在(-∞,+∞)上是增函数 ∞,+∞)上是减函数 答案 A 4.(广东省 2008 届六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积
y ( m ) 与时间 t (月)的关系: y ? f ( t ) ? a , 有以下叙述:
2 t

(

)

B.奇函数,且在(-∞,+∞)上是减函数 D.偶函数,且在(-

①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时, 浮萍面积就会超过 30 m ; ③浮萍从 4 m 蔓延到 12 m 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到 2 m , 3 m , 6 m 所经过的时间分别是 t1 , t 2 , t 3 , 则 t1 ? t 2 ? t 3 .其中正确的是 A.①② 答案 D B.①②③④ ( C.②③④⑤ ) D. ①②⑤
2 2 2
2 2 2

5.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练).映射 f:A→B,如果满足集合 B 中的任意一 个元素在A中都有原象,则称为“满射” 。已知集合 A 中有 4 个元素,集合 B 中有 3 个元 素,那么从 A 到 B 的不同满射的个数为 A.24 答案 C 二、填空题 B.6 C.36 ( D.72 )

6.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练)若对于任意 a ? [-1,1], 函数 f(x) = x + (a
2

-4)x + 4-2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围是 答案 ( ? ? ,1) ? ( 3 , ? )
2

7.(2007 年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数 f ( x ) ? | x ? a x ? b | ( x ? R , b ? 0 ) ,给 启东中学内部资料
28

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 出以下三个条件: (1) 存在 x 0 ? R ,使得 f ( ? x 0 ) ? f ( x 0 ) ; (2) f (3) ? f (0 ) 成立; (3) f ( x ) 在区间 [ ? a , ? ? ) 上是增函数. 若 f ( x ) 同时满足条件 式为 f ( x ) ? 答案 .
2 2



(填入两个条件的编号) ,则 f ( x ) 的一个可能的解析

满足条件(1)(2)时, y ? x ? 3 x ? 1 等;满足条件(1)(3)时, y ? x ? 2 x ? 1 等;
2

满足条件(2)(3)时, y ? x ? 3 x ? 9 等. 三、解答题 8.(2007 年 安 徽 省 六 校 ) 已 知 函 数 f ( x ) , g ( x ) 在 R 上 有 定 义 , 对 任 意 的 x , y ? R 有
f ( x ? y) ? f ( x) g ( y) ? g ( x) f ( y)

且 f (1) ? 0

(1)求证: f ( x ) 为奇函数 (2)若 f (1) ? f (2) , 求 g (1) ? g ( ? 1) 的值 解(1)对 x ? R ,令 x=u-v 则有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)g(u)f(v)]=-f(x) ??????4 分 (2)f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 ???????8 分

第二节 第一部分

基本初等函数 I 五年高考荟萃

2009 年高考题
1.(2009 年 广 东 卷 文 ) 若 函 数 y ? f ( x ) 是 函 数 y ? a( a ? 0 , 且 a ? 1)的 反 函 数 , 且
x

f ( 2 ) ? 1 ,则 f ( x ) ?

(
x?2

)

A. log 答案

2

x

B.

1 2
x

C. log

1 2

x

D.2

A
29

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解析 函数 y ? a( a ? 0 , 且 a ? 1) 的反函数是 f ( x ) ? lo g a x ,又 f ( 2 ) ? 1 ,即 lo g a 2 ? 1 ,
x

所以, a ? 2 ,故 f ( x ) ? lo g 2 x ,选 A. 2.(2009 北京文)为了得到函数 y ? lg
x?3 10

的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有

.w

点 ( ) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
1 0 .3 3 , c ? ( ) ,则 2

3.(2009 天津卷文)设 a ? log 1 2 , b ? log
3

1 2

(

)

A a<b<c B a<c<b 答案 B

C b<c<a

D b<a<c

o 解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a ? 0 , 0 ? c ? 1 ,而 b ? lg

2

3 ? 1,

因此选 B。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能 4.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A.
y ? 1 ? log x( x ? 0) x( x ? 0)
x ?1

( x ? R ) 的反函数是

2

B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ? 1)

C. y ? ? 1 ? log 答案 解析 C 由y ? 2

2

x ?1

? x ? 1 ? log

2

y ? x ? ? 1 ? log

2

y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ? 1 ? log

2

x( x ? 0)
3 , c ? lo g 3 2 ,则

5.(2009 全国卷Ⅱ理)设 a ? lo g 3 ? , b ? lo g 2 A. a ? b ? c 答案 A 解析 ? l o g 3
log 2 3 ?
2 ?

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

log 2

?2

log b ? c ? 3 2

l o g ?2 2

3

lo? g

3 ? l oag ? 3

? b

? a

? b

c .?

6.(2009 湖南卷文) lo g 2

2 的值为

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1 2 1 2

A. ? 2 答案 D

B. 2

C. ?

D.

1

解析 由 lo g 2

2 ? lo g 2 2 2 ?

1 2

lo g 2 2 ?

1 2

,易知 D 正确.

7.(2009 湖南卷文)设函数 y ? f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数
? f ( x ), f (x ) ? K , fK (x) ? ? f (x) ? K . ?K ,

取函数 f ( x ) ? 2 A . (?? , 0) 答案 C 解析

? x

。当 K =

1 2

时,函数 f K ( x ) 的单调递增区间为 C . ( ? ? , ? 1) D . (1, ? ? )

(

)

B. (0, ? ? )

函数 f ( x ) ? 2

? x

1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x ) ? K ? ? x ? ( ? ? , ? 1] ? [1, ? ? ) , 2 2

故在 ( ? ? , ? 1) 上是单调递增的,选 C. 8.(2009 福建卷理)下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) ,当 x1 < x 2 时, 都有 f ( x1 ) > f ( x 2 ) 的是 A. f ( x ) = C . f (x) =e 答案 A 解析 依题意可得函数应在 x ? (0, ? ? ) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。 9. (2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x ) 满足:x≥4,则 f ( x ) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x ) =
2
f ( x ? 1) ,则 f ( 2 ? lo g 2 3) =

1 x
x

B. f ( x ) = ( x ? 1)

2

D. f ( x ) ? ln ( x ? 1)

1

x

A.

1 24

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8

答案 A 解析 ∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)且 3+log23>4 ∴ f ( 2 ? lo g 2 3) =f(3+log23)

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=( )
2

1

3 ? lo g 2 3

?

?( ) 8 2

1

1

lo g 2 3

?

?( ) 8 2
x ?1

1

1

lo g 1
2

1 3

?

1 8

?

1 3

?

1 24

10.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A. y ? 1 ? log C. y ? ? 1 ? log 答案 解析 C 由y ? 2
x ?1

( x ? R ) 的反函数是

2

x( x ? 0) x( x ? 0)

B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ? 1)

2

? x ? 1 ? log

2

y ? x ? ? 1 ? log

2

y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ? 1 ? log

2

x( x ? 0)
n ?1

11.(2009 陕西卷文)设曲线 y ? x 标为 x n ,则 x1 ? x 2 ? ? ? x n 的值为 A.
1 n

( n ? N ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐
*

B. B
n ?1

1 n ?1

C.

n n ?1

D.1

答案

解析 对 y ? x
k ? n ? 1 ,在点

( n ? N ) 求 导 得 y ? ( n ? 1) x ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的斜率
* ' n

(1, 处的切线方程为 y ? 1 ? k ( x n ? 1) ? ( n ? 1)( x n ? 1) ,不妨设 y ? 0 , x n 1) 则 x1 ? x 2 ? ? ? x n ?
1 2 ? 2 3 ? 3 4 ? ... ? n ?1 n ? n n ?1 ? 1 n ?1

?

n n ?1

, 故选 B.

12. (2009 全国卷Ⅰ文) 已知函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x )=1+ 2 l g x ? x> 0 ? , f ( 1 ) ? g ( 1 ) ? 则 (A)0 答案 C 解析 由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f ( 1 ) ? 1 ,又 g ( 1 ) ? 1 ,所以 f ( 1 ) ? g ( 1 ) ? 2 , 故选择 C。 13.(2009 湖南卷理)若 lo g 2 a<0, ( ) >1,则
2 1
b

(B)1

(C)2

(D)4

( D. 0<a<1, b<0

)

A.a>1,b>0 答案 解析 D

B.a>1,b<0

C. 0<a<1, b>0

由 lo g 2 a ? 0 得 0 ? a ? , 由 ( ) ? 1 得 b ? 0 ,所以选 D 项。
b

1

2

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32

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传!
? a ? lo g 2 x (当 x ? 2 时 ) ? 在 点 x ? 2 处 连续,则常数 a 14.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 (当 x ? 2 时 ) ? ? x?2

的值是 A.2 B.3 C.4 D.5

(

)

【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。 答案 B 解析 由题得 a ? log
2

2 ? 2 ? 2 ? a ? 3 ,故选择 B。
x ?4
2

解 析 2 : 本 题 考 查 分 段 函 数 的 连 续 性 . 由 lim f ( x ) ? lim
x? 2

x? 2

x?2

? lim ( x ? 2 ) ? 4 ,
x? 2

f ( 2 ) ? a ? lo g 2 ? a ? 1 ,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
2

f ( 2 ) ? lim f ( x ) ? 4 ,可得 a ? 3 .故选 B.
x? 2

15.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超
x

过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4 x ? 1 C. f ? x ? ? e ? 1
x

B. f ? x ? ? ( x ? 1) D. f ? x ? ? In ? x ?
? ?

2

1? ? 2?

答案 A 解析 f ? x ? ? 4 x ? 1 的零点为 x= 为 x=0, f ? x ? ? In ? x ?
? ?

1 4

, f ? x ? ? ( x ? 1) 的零点为 x=1, f ? x ? ? e ? 1 的零点
2 x

3 1? x ? 的零点为 x= .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点, 2 2? 1 2

因 为 g(0)= -1,g(
x

1 2

)=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0,

), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与

g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f

?x? ?

4 x ? 1 的零点适合,

故选 A。 二、填空题 16.(2009 江苏卷)已知集合 A ? ? x lo g 2 x ? 2 ? , B ? ( ? ? , a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范 围是 ( c , ? ? ) ,其中 c = .

解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 33 启东中学内部资料

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 由 lo g 2 x ? 2 得 0 ? x ? 4 , A ? (0 , 4 ] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。 17.(2009 山东卷理)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围
x

是 答案 解析

.
{ a | a ? 1}

设函数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

x

有两个零点, 就是函数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当
x

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a ( a ? 1) 的图象过点
x

(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的 取值范围是 a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.(2009 重庆卷文)记 f ( x ) ? lo g 3 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f
x?
?1

( x ) ,则方程 f

?1

( x ) ? 8 的解

. 2
y ?1
?1

答案

解法 1 由 y ? f ( x ) ? lo g 3 ( x ? 1) ,得 x ? 3 解得 x ? 2

,即 f

(x ) ? 3 x ? ,于是由 3 x ? 1 ? 8 , 1

解法 2 因为 f ? 1( x ) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? lo g 3 (8 ? 1) ? 2

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年山东文科卷)已知函数 f ( x ) ? lo g a ( 2 ? b ? 1)( a ? 0, a ? 1) 的图象如图所示,
x

则 a, b 满足的关系是 A. 0 ? a C. 0 ? b
?1

( B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1 ?1

) y x
?1

? b ?1 ? a ? ?1

?1

O
?1

?b

?1

?1

答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得 a ? 1, ? 0 ? a
? ? 1 ? lo g
a

?1

? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ? 1 ? y ? lo g a b ? 0,
?1

1 a

? lo g b ? lo g 1 ? 0 , ? 0 ? a
a a

? b ?1.

2. (07 山东)设 ? ? ? ? 1,1,
?

?

1

? ? , 3 ? ,则使函数 y ? x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值 2 ?
34

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启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 为 A.1,3 答案 A ( D.-1,1,3 )

B.-1,1

C.-1,3

3.(2006 年安徽卷)函数 y ? e A. y ? 1 ? ln x ( x ? 0 ) C. y ? ? 1 ? ln x ( x ? 0 ) 答案 D 解析 由 y ? e
x ?1

x ?1

( x ? R ) 的反函数是





B. y ? 1 ? ln x ( x ? 0 ) D. y ? ? 1 ? ln x ( x ? 0 )

得: x+1=lny, x=-1+lny,所以 y ? ? 1 ? ln x ( x ? 0 ) 为所求, 即 故选 D。
2? x 2? x

4.(2006 年湖北卷)设 f ( x ) ? lg A. ( ? 4 , 0 ) ? (0 , 4 ) C. ( ? 2 , ? 1) ? (1, 2 ) 答案 解析 B

,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为
2 x

x

2

(

)

B. ( ? 4 , ? 1) ? (1, 4 ) D. ( ? 4, ? 2 ) ? ( 2, 4 )

f(x)的定义域是(-2,2) ,故应有-2?

x 2

?2 且-2?

2 x

?2 解得-4?x?-1 或

1?x?4 故选 B。 5.(07 天津)设 a , b , c 均为正数,且 2 则 A. a ? b ? c 答案 A 二、填空题
a

? log

1 2

?1? a ,? ? ?2?

b

? log

1 2

?1? b ,? ? ?2?

c

? log

2

c.

( B. c ? b ? a C. c ? a ? b



D. b ? a ? c

6. (2008 年山东文科卷) 已知 f (3 ) ? 4 x lo g 2 3 ? 2 3 3 , f ( 2 ) ? f ( 4 ) ? f (8) ? ? ? f ( 2 ) 则
x
8

的值等于 答案 2008



解析 本小题主要考查对数函数问题。
? f (3 ) ? 4 x lo g 2 3 ? 2 3 3 ? 4 lo g 2 3 ? 2 3 3,
x x

? f ( x ) ? 4 lo g 2 x ? 2 3 3, ? f ( 2 ) ? f ( 4 ) ? f (8) ? ? ? f ( 2 ) ?
8

8 ? 2 3 3 ? 4 (lo g 2 2 ? 2 lo g 2 2 ? 3 lo g 2 2 ? ? ? 8 lo g 2 2 ) ? 1 8 6 4 ? 1 4 4 ? 2 0 0 8 .

7.(07 山 东 ) 函 数 y ? l o g a ? x ? 3 ? ? 1( a ? 0 , a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线
mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 m

?

2 n

的最小值为

.

答案

8
35

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? e , x ? 0.
x

8.(2006 年辽宁卷)设 g ( x ) ? ?

? ln x , x ? 0 .

则 g ( g ( )) ? __________
2

1

答案 解析

ln 1 1 1 g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 2 ? . 2 2 2

1

本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
l g x( ? x 2 ?
2

9.(2006 年 重 庆 卷 ) 设 a ? 0, a ? 1 , 函 数 f ( x ) ? a
lo g a ? x ? 5 x ? 7 ? ? 0 的解集为
2

3 )

有最大值,则不等式

.
lg ( x ? 2 x ? 3 )
2

解析

设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x ) ? a
2

有最大值,∵ lg ( x ? 2 x ? 3) ≥ lg 2 有最
2

?x ? 5x ? 7 ? 0 小值, 0<a<1, 则不等式 lo g a ? x ? 5 x ? 7 ? ? 0 的解为 ? 2 ∴ , 解得 2<x<3, ? x ? 5x ? 7 ? 1
2

所以不等式的解集为 ? 2 , 3 ? . 10.(2005 年上海 2)方程 4 ? 2 ? 2 ? 0 的解是__________.
x x

解析

4

x

? 2

x

? 2 ? 0 ? (2

x

? 1 )( 2

x

? 2) ? 0 ? 2

x

?1? x ? 0

三、解答题
2 11.(07 上海)已知函数 f ? x ? ? x ?

a x

( x ? 0, a ? R )

(1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2)若 f ? x ? 在区间 ?2 , ?? ? 是增函数,求实数 a 的取值范围。
2 解析 (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 为偶函数;当 a ? 0 时, f ? x ? 既不是奇函数也不是

偶函数.
2 (2) x 2 ? x 1 ? 2 , f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? x 1 ? 设

a x1

? x2 ?
2

a x2

?

x1 ? x 2 x1 x 2

?x1 x 2 ? x1

? x2 ? ? a?,

由 x 2 ? x 1 ? 2 得 x 1 x 2 ? x 1 ? x 2 ? ? 16 , x 1 ? x 2 ? 0 , x 1 x 2 ? 0 要使 f ? x ? 在区间 ?2 , ?? ? 是增函数只需 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 , 即 x 1 x 2 ? x 1 ? x 2 ? ? a ? 0 恒成立,则 a ? 16 。 另解(导数法) f ' ? x ? ? 2 x ? :
a x
2

,要使 f ? x ? 在区间 ?2 , ?? ? 是增函数,只需当 x ? 2 时,

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f ' ? x ? ? 0 恒成立,即 2 x ?
a x
2

? 0 ,则 a ? 2 x ? ?16 , ?? ? 恒成立,
3

故当 a ? 16 时, f ? x ? 在区间 ?2 , ?? ? 是增函数。

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)函数 f ( x ) = 2 的反函数 y ? f
x ?1

? x ? 的图象






答案

A

2. (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)下列函数中,在区间 (1, ? ? ) 上为增函数的 是 A. y ? ? 2 ? 1
x

( B. y ?
2



x 1? x

C. y ? ? ( x ? 1) 答案 B

D. y ? lo g 1 ( x ? 1)
2

3.(2009 福建省)函数 y ? log

2

| x | 的图象大致是

(

)

答案

C

4.(2009 厦门集美中学)若 y ? log a ( 2 ? ax ) 在 [ 0 ,1] 上是减函数,则 a 的取值范围 是 A. ( 0 ,1) 答案 C B. ( 0 , 2 ) C. (1, 2 ) D. ( 2 , ?? ) ( )

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37

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lg | x | x

5.(2009 岳阳一中第四次月考)函数 y ?

的图象大致是

(

)

答案 二、填空题

D

6.(2009 泉州市)已知函数 f(x)= ?

? log
x

2

x( x ? 0) ,

?2 , ( x ? 0)

若 f(a)= 2

1

.

答案 -1 或 2 7.(2009 厦门十中)定义:若存在常数 k ,使得对定义域 D 内的任意两个 x 1 , x 2 ? x 1 ? x 2 ? , 均有 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? k x 1 ? x 2 成立, 则称函数 f ? x ? 在定义域 D 上满足利普希茨条件。 若函数 f ? x ? ? 答案
1 2
x ? x ? 1 ? 满足利普希茨条件,则常数 k 的最小值为_____。

8.(2009 中学第六次月考)定义区间 [ x 1 , x 2 ]( x 1 ? x 2 ) 的长度为 x 2 ? x 1 ,已知函数
f ( x ) ? | log
1 2

x | 的定义域为 [ a , b ] ,值域为 [ 0 , 2 ] ,则区间 [ a , b ] 的长度的最大值与最小值

的差为 答案 3

.

9.(江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)函数 f ( x ) ? 为 答案 .
[3, ? ? )

x ? 2 ?1 lo g 2 ( x ? 1)

的定义域

三、解答题 10.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

?2 2

x

?b ? a

x ?1

是奇函数.

解 (1) 因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f ( 0 ) ? 0 , 即 启东中学内部资料
38

?1? b 2? a

? 0 , 解得 b ? 1

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1 2 1? a

从而有 f ( x ) ?

? 2 2

x

?1 ? a

x ?1

. 又由 f (1 ) ? ? f ( ? 1 ) 知 ?2
x

? 2 ?1 4? a
1
x

? ? ?

?1

,解得 a ? 2

(2)解法一:由(1)知 f ( x ) ?

, 2 2 ?1 由上式易知 f ( x ) 在 R 上为减函数,又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式 2
x ?1

?1

? 2

? ?

1

?

f (t

2

? 2t ) ? f (2t

2

? k ) ? 0 等价于 f ( t

2

? 2t ) ? ? f (2t
2

2

? k ) ? f (?2t

2

? k ).

因 f ( x ) 是 R 上的减函数,由上式推得 t ? 2 t ? ? 2 t ? k .
2

即对一切 t ? R 有 3 t ? 2 t ? k ? 0 , 从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0 , 解得 k ? ?
2

1 3

解法二:由(1)知 f ( x ) ? 又由题设条件得 即 (2
2 t ? k ?1
2
2

?2 ?1
x

2
?2
2

x ?1

? 2
2 2

,
?1 ? 2 ? 0
2t ?k
2

t ?2t

2

?1 ? 2

2

t ? 2 t ?1

?

? 2 2

2t ?k

2 t ? k ?1
2

? 2 )( ? 2

t ?2t

2

? 1) ? ( 2

t ? 2 t ?1

? 2 )( ? 2
2

? 1) ? 0

整理得 2

3t ? 2t ? k

? 1 ,因底数 2>1,故 3 t

? 2t ? k ? 0

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12 k ? 0 , 解得 k ? ? 14.(2009 广东三校一模)设函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? .
2

1 3

.

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1 ? 时,(其中 e ? 2 . 718 ? )不等式 f ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的 ?e ? 取值范围;
2 (3)试讨论关于 x 的方程: f ? x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0 , 2 ? 上的根的个数.

?1

?



? (1)函数的定义域为 ? ? 1, ?? ?, f ? ? x ? ? 2 ? ? x ? 1 ? ? x ? 1? ? ?

?

1

?

2 x?x ? 2 ? x ?1

.

1分

由 f ?? x ? ? 0 得 x ? 0 ; 由 f ?? x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , 则增区间为 ? 0 , ?? ? ,减区间为 ? ? 1, 0 ? . (2)令 f ? ? x ? ? 递增,
2 x?x ? 2 ? x ?1 ? 0 , 得 x ? 0 ,由(1)知 f ? x ? 在

2分 3分 4分
?1 ? ? 1, 0 上递减,在 ?0 , e ? 1 ? 上 ?e ? ? ?

6分

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39

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由f?

?1

1 1 ? 2 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 , f ? e ? 1 ? ? e ? 2 ,且 e ? 2 ? 2 ? 2 , e e ?e ?

8分

? x?

?1 ? 2 2 ? 1, e ? 1 时, f ? x ? 的最大值为 e ? 2 ,故 m ? e ? 2 时,不等式 f ? x ? ? m ?e ? ? ?

恒成立.

9分

2 (3)方程 f ? x ? ? x ? x ? a , 即 x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ? a .记 g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ,则

g ?? x ? ? 1 ?

2 1? x

?

x ?1 x ?1

.由 g ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 ;由 g ? ? x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 .

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解, 当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解; 当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时, 方程无解. 字上所述,a ? (1, ?? ) ? ( ?? , 2 ? 2 ln 2 ) 时,方程无解;
a ? ( 3 ? 2 ln 3 ,1]

10 分

13 分

或 a=2-2ln2 时,方程有唯一解; 时,方程有两个不等的解. 14 分

a ? ( 2 ? 2 ln 2 , 3 ? 2 ln 3 ]

2007—2008 年联考题
一、选择题 x 1.(2008 年高考数学各校月考试题)若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=a x 与 g(x)=b 的图象 ( ) A.关于直线 y=x 对称 B.关于 x 轴对 称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称 答案 C 解析 取满足 lg a ? lg b ? 1的特殊值 a ? 2,则 b ?
1 2

可得答案 C.

2.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练)已知 a>1,则函数 f(x)= loga x 的图象与 -1 其反函数 y=f (x)的图象 ( ) A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D 3.(2007 届高三数学二轮复习新型题专题训练)一次研究性课堂上,老师给出函数
f (x) ? x 1? | x |

(x ? R),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题:
40

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启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 甲:函数 f(x)的值域为(-1,1) ;乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2); 丙:若规定
f1 ( x ) ? f ( x) , f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x ))



fn (x) ?

x 1? n | x |

对任意 n ? N 恒成立. ( )

*

你认为上述三个命题中正确的个数有 A.0 个 答案 D 二、填空题 4.(2008 年高考数学各校月考试题)已知函数 线 y ? x 对称,令 h ( x ) ?
g (1 ? | x |),

B.1 个

C.2 个

D.3 个

f (x) ? (

1 2

)

x

的图象与函数 g(x)的图象关于直

则关于函数 h ( x ) 有下列命题: ② h ( x ) 为偶函数; ④ h ( x ) 在(0,1)上为减函数. (注:将所有正确命题的序号都填上) ..

① h ( x ) 的图象关于原点对称; ③ h ( x ) 的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 答案 ②③

5.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)幂函数 y 满足 答案
f (x)

? f (x)

的图象经过点 ( ? 2 ,

?

1 ) 8

,则

=27 的 x 的值是

.

1 3 2008
2

三、解答题 6.( 陕 西 长 安 二 中
f ( x ) ? lg( x ?

届 高 三 第 一 学 期 第 二 次 月 考 ) 已 知 函 数
2

2 ? x ) ? lg

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性。 解 (1) f ( ? x ) ? lg( ? x ?

(2)判断函数 f ( x ) 的单调性。
2 ? x ) ? lg
2

2 ? lg x?

2 2? x
2

? lg

2

= lg

2 ? lg( x ?

2 ? x ) ? ? f (x)
2

∴ f ( x ) 为奇函数 (2) f ( x ) 是 R 上的增函数, (证明略) 7.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0, 当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; 启东中学内部资料
41

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
f (? x) ? 1 f (x)
2 2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴
f (x) ? 1 f (? x) ? 0

又 x=0 时,f(0)=1>0

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f (x2 ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? 1

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 8.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)已知函数 y ?
?1

2

2

2

2

2

10 ? 10
x

?x

(x ? R)

2

(1)求反函数 y ? f (2)判断 y ? f
?1

(x)

( x ) 是奇函数还是偶函数并证明。
x

解 (1)令 t ? 1 0 则 t ? 0 ∵t -2yt-1=0 ∴t=y+ ∵10 =y+
-1 x 2

y

2

?1

y

2

?1

w.w.
x
2

∴f (x)=lg(x+ (2)? f = lg
x? 1 x
2

?1

)(x ? R)
x ? 1)
2

?1

( ? x ) ? lg ( ? x ?

=-lg(x+
?1

x

2

?1

)=-f (x)

-1

? f

?1

( x ) 为奇函数

第三节
启东中学内部资料

函数、方程及其应用
42

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第一部分

五年高考荟萃

2009 年高考题
1.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过
x

0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4 x ? 1 C. f ? x ? ? e ? 1
x

B. f ? x ? ? ( x ? 1) D. f ? x ? ? In ? x ?
? ?

2

1? ? 2?

答案 A 解析
f

?x? ?

4 x ? 1 的零点为 x=
? ?

1 4

, f ? x ? ? ( x ? 1) 的零点为 x=1, f ? x ? ? e ? 1 的零
2 x

点为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 点 , 因 为 g(0)= -1,g(
x

3 1? x ? 的零点为 x= .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零 2 2? 1 2

1 2

)=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0,

), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与

g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f

?x? ?

4 x ? 1 的零点适合,

故选 A。 2.(2009 山东卷文)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围
x

是 答案 解析

.
{ a | a ? 1}

设函数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

x

有两个零点, 就是函数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当
x

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a ( a ? 1) 的图象过点
x

(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实 数 a 的取值范围是 { a | a ? 1} . 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 启东中学内部资料
43

上选择一点 C 建

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总 影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地 点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距 离的平方成反比, 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理 的中点时, 对城 A 和城 B 的总影响

厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在, 求出该点到城 A 的距离;若不存在, 说明理由。 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, B C ? 4 0 0 ? x , y ?
2 2

4 x
2

?

k 400 ? x
2

(0 ? x ? 2 0 ) C

其中当 x ? 1 0 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ?
4 x
4

x
(0 ? x ? 2 0 )

4 x
2

?

9 400 ? x
2

A

B

(2) y ?

2

?

9 400 ? x
2 2

2

, y'? ?

8 x
2

3

?

9 ? (?2 x) (400 ? x )
2 2

?

18 x ? 8(400 ? x )
4 2

2

x (400 ? x )
3 2

2

,令 y'? 0 得

18 x ? 8(400 ? x ) 18 x ? 8(400 ? x )
4 2 4 2

, 所 以 x ? 160

, 即 x ? 4 10

, 当 0 ? x ? 4 10

时 ,

2

, 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 ,

1 8 x ? 8 ( 4 0 0 ? x ) ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 1 0 时, 即当 C 点到
2

城 A 的距离为 4 1 0 时, 函数 y ? 解法二: (1)同上. (2)设 m ? x , n ? 4 0 0 ? x ,
2 2

4 x
2

?

9 400 ? x
2

( 0 ? x ? 2 0 ) 有最小值.

则 m ? n ? 400 , y ?
y ?
4n m

4 m

?

9 n

,所以 当 且 仅 当

4 m
?

?
9m n

9 n

? (

4 m

?

9 m?n 1 4n 9m 1 1 ) ? [1 3 ? ( ? )] ? (1 3 ? 1 2 ) ? n 400 400 m n 400 16

即?

? n ? 240 ?m ? 160

时取”=”.
9 400 ? m
4 m1

下面证明函数 y ?

4 m

?

在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
? 9 4 0 0 ? m1 ?( 4 m2 ? 9 400 ? m2

设 0<m1<m2<160,则 y 1 ? y 2 ?

)

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44

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4 (m 2 ? m 1 ) 9 m1 ( ? m2 ) 9 9 ) ?( ? ? ) ? m2 4 0 0 m1 ? 4 0?0 m 2 m1 m 2 ( 4 0 ? m 1 ) ( 4?0 0m 2 0 4 4 m1m 2 9 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

? (

4 m1

?

)

? ( m 2 ? m 1 )[

?

]

? ( m 2 ? m1 )

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

,

因为 0<m1<m2<160,所以 4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以
4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 0,

所 以 ( m 2 ? m1 )

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1m m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

2

? 0 即 y1 ? y 2 函 数 y ?

4 m

?

9 400 ? m



(0,160)上为减函数. 同 理 ,函数 y?
y1 ? y 2 ? 4 m1 ?

4 m
9

?

9 400 ? m
?( 4 m2 ?

在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 160<m1<m2<400, 则
9 400 ? m2

4 0 0 ? m1

)

? ( m 2 ? m1 )

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以
4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 0,

所 以 ( m 2 ? m1 )

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1m m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

2

? 0 即 y1 ? y 2 函 数 y ?

4 m

?

9 400 ? m



(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 1 0 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 上存在一点,当 x ? 4 1 0 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响

度最小. 【命题立意】 :本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 启东中学内部资料
45

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 ( 2 ?
x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其

他因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m , 即 n = 所以
? 256 x x y=f(x)=256n+(n+1)(2+ ?m x ? 2m ? 256.
3 3 2

m x

?1 m x (2 ? x )x

x )x=256(

m x

-1)+

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x ) ? ?
3

256m
2

?

1 2

mx

2

?

m 2x

( x 2 ? 5 1 2 ).

x

令 f '( x ) ? 0 ,得 x 2 ? 5 1 2 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x ) <0,
f ( x ) 在区间(0,64)内为减函数;

当 6 4 ? x ? 6 4 0 时, f '( x ) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。
a ? 0 .1 ? 1 5 ln , ( x ? 6) ? ? a? x 6.(2009 年上海卷理)有时可用函数 f ( x ) ? ? ? x ? 4 .4 , ( x ? 6 ) ? x?4 ?
m x ?1 ? 640 64 ? 1 ? 9.

描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) f ( x ) ,
*

表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1)证明 当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x ) 总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为
(1 1 5,1 2 1] , (1 2 1,1 2 7 ] , (1 2 1,1 3 3] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相

应的学科。 启东中学内部资料
46

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证明 (1)当 x ? 7 时 , f ( x ? 1) ? f ( x ) ?

0 .4 ( x ? 3)( x ? 4 )

而当 x ? 7 时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4 ) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4 ) >0……..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x ) 单调递减
? 当 x ? 7 时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x ) 总是下降……………..6 分

(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得
a a?6
e e

a a?6

=0.85……………….9 分

? e

0 .0 5

0 .0 5

解得 a ?

0 .0 5

?1

? 6 ? 2 0 .5 0 ? 6 ? 1 2 3 .0 ,1 2 3 .0 ? (1 2 1,1 2 7 ] …….13 分

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分 7.(2009 上海卷文) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满
a ? 0 .1 ? 1 5 ln ,   x ? 6, ? ? a? x 分 10 分 .有时可用函数 f ( x ) ? ? ? x ? 4 .4 ,           6 ? ? x?4 ?
* 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) f ( x ) 表示 ,

对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 证明 (1)当 x ? 7 时, f ( x ? 1) ? f ( x ) ?
0 .4 ( x ? 3)( x ? 4 )

而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4 ) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4 ) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x ) 单调递减 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x ) 总是下降 (2)有题意可知 0 .1 ? 1 5 ln
a a?6 ? 0 .8 5

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a a?6
e e

整理得

? e

0 .0 5

0 .0 5

解得 a ?

0 .0 5

?1

? 6 ? 2 0 .5 0 ? 6 ? 1 2 3 .0 ,1 2 3 .0 ? (1 2 1,1 2 7 ] …….13 分

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年全国一 2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一 过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是 ( ) s s s s

O 答案 A A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

2. 2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图, ( 那么 y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 ( )

答案 D 3. (07 广东) 客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地, 在乙地停留了半小时, 然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地, 下列描述客车从甲地出发.经过乙地, 最 后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是 ( )

A 答案 C

B

C

D

4.某地一年内的气温 Q ( t ) (单位:℃)与时刻 t (月份)之间的关系如图所示,已知该年的 平均气温为 10℃ .令 C(t)表示的时间段[0,t]的平均气温, C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是





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答案 A 解析 由图可以发现当 t=6 时,C(t)=0,排除 C;t=12 时,C(t)=10,排除 D;t 在大于 6 的某一段气温超于 10,所以排除 B,故选 A。 二、填空题 5.(2006 年上海春季 2)方程 log 3 ( 2 x ? 1) ? 1 的解 x ? 答案 2 . .

x x 6.(2007 年上海 4)方程 9 ? 6 ? 3 ? 7 ? 0 的解是

答案

log

3

7

7.(2006 年北京卷 14)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如 下:第 k 棵树种植在点 Pk ( x k , y k ) 处,其中 x1 ? 1 , y 1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时,
? ? ? k ?1? ? x k ? x k ?1 ? 1 ? 5 ? T ? ??T ? ? ? 5 ? ? ? k ?1? ?k ? ? y ? y k ?1 ? T ? ??T ? ? k ? 5 ? ? 5 ? ? k ? 2 ?? ? ??, ? 5 ?? T (a ) 表 示 非 负 实 数 a 的 整 数 部 分 , 例 如 2? ?. ?

T ( 2 .6 ) ? 2 ,T (0 .2 ) ? 0 .按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为

;第 2008 棵树种

植点的坐标应为 . 答案 (1,2) (3,402)

三、解答题 8.(2008 年江苏卷 17)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD
D P C

的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB=10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上 (含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长 启东中学内部资料
49

O

A

B

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为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总 长度最短. 解 本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①设 AB 中点为 Q,由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则
OA ? AQ cos ? ? 10 cos ?

, 故O B ?
10 cos ?

10 cos ? ?

,又 OP= 1 0 ? 1 0 tan ? ,
? 1 0 ? 1 0 ta n ? ,

所以 y ? O A ? O B ? O P ?

10 cos ?

所求函数关系式为 y ?

2 0 ? 1 0 s in ? cos ?

? ? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? 4 ? ?
2 2

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA=OB= ? 1 0 ? x ? ? 1 0 ? 所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 2 0 x ? 2 0 0 ? 0 ? x ? 1 0 ?
2

x ? 20 x ? 200
2

(Ⅱ)选择函数模型①, y ? ?
1 2
?? ? 6

? 10 cos ? cos ? ? ( 20 ? 10 sin ? ) cos
2

?

?

10 ( 2 sin ? ? 1) cos
2

?

令 y ? ? 0 得 sin ? ?

,因为 0 ? ? ?

?
4

,所以 ? =

?
6

.当 ? ? ? 0 ,
?

?

? ?

? 时, y ? ? 0 , y 是 ? 的减 6 ?

函数;当 ? ? ?

,

? ?

? ? 时, y ? ? 0 ,y 是 ? 的增函数.所以当 ? = 时, y iin 6 4 ?
10 3 3

? (10 ? 10

3)

(km)。

这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

km 处。

9.(2008 年湖北卷 20).(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现用 t 表示时间, 以月为单位,年初为起点.根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近 似函数关系式为
t ? ? ( ? t 2 ? 14 t ? 40 ) e 5 ? 50 , 0 ? t ? 10 , V (t ) ? ? ? 4 ( t ? 10 )( 3 t ? 41 ) ? 50 ,. 10 ? t ? 12 . ? 1

( Ⅰ ) 该 水 库 的 蓄 求 量 小 于 50 的 时 期 称 为 枯 水 期 . 以 i ? 1 ? t ? i 表 示 第 i 月 份 ( i ? 1, 2 , ? ,1 2 ),问一年内哪几个月份是枯水期? 启东中学内部资料
50

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2 .7 计算).
1

解 (1)①当 0<t ? 10 时,V(t)=(-t2+14t-40) e 4 ? 50 ? 50 , 化简得 t2-14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t ? 10,故 0<t<4. ②当 10<t ? 12 时,V(t)=4(t-10) (3t-41)+50<50, 化简得(t-10) (3t-41)<0, 解得 10<t<
41 3

t

,又 10<t ? 12,故 10<t ? 12.

综上得 0<t<4,或 10<t≤12, 故知枯水期为 1 月,2 月, 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. ,3 (2)由(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.
1

由 V′ = e 4 ( ? (t)

t

1 4

t

2

?

3 2

t ? 4) ? ?

1 4

1

e 4 ( t ? 2 )( t ? 8 ), 令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去).

t

当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t)
2

(4,8) +

8 0 极大值

(8,10) -

由上表,知 V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e +50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 泉州市)函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 ( ) A. ?
?1 ?8 , 1 ? ? 4?

B. ?

?1 ?4

,

1? ? 2?

C. ?

?1 ? 2

? ,1 ? ?

D.(1,2)

答案 C 2.(2009 厦门二中) lg x ? A. (0, 1] 启东中学内部资料
1 x ? 0 有解的区域是

( D. (1 0 0, ? ? )



B. (1, 1 0 ]

C. (1 0, 1 0 0 ]

51

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 答案 B 3.(2009 莆田一中)若函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范
3

围是 A. ? ? 2 , 2 ? B. ? ? 2 , 2 ? C. ? ? ? , ? 1 ? D. ? 1, ? ? ?





答案 A 4. ( 沈 阳 市 回 民 中 学 2008-2009 学 年 度 上 学 期 高 三 第 二 次 阶 段 测 试 文 科 ) 函 数
f ( x ) ? x ? ln x 的零点所在的区间为

( B. (0,1) D. (1,e)



A. (-1,0) C. (1,2) 答案 B 二、填空题
w..

5.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)已知函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 在 [ ? 2 , 2 ] 的图 象如下所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x )] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x )] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 ②方程 g [ f ( x )] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g [ g ( x )] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

答案 ①③④ 6.(2009 龙岩一中)我市某旅行社组团参加香山文化一日游, 预测每天游客人数在 5 0 至 1 3 0 人之间,游客人数 x (人)与游客的消费总额 y (元)之间近似地满足关系:
y ? ? x ? 240 x ? 10000
2

.那么游客的人均消费额最高为_________元.

答案 40 7.(安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测)函数 f ( x ) ? ? x ? lo g 2 x 的零点 所在区间为 A. [ 0 , ]
8 1

B. [ , ]
8 4
52

1 1

C. [ , ]
4 2

1 1

D. [ ,1]
2

1

答案 C 启东中学内部资料

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 三、解答题 8. ( 2009 福 州 八 中 ) 某 造 船 公 司 年 造 船 量 是 20 艘 , 已 知 造 船 x 艘 的 产 值 函 数 为 2 3 R(x)=3700x+45x -10x (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元) ,又 在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 (Ⅰ)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (Ⅲ)求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意 义是什么? 3 2 * 解 ( Ⅰ ) P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3240x-5000,(x ? N , 且 1 ≤ x ≤ 20); 2 * MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3275,(x ? N ,且 1≤x≤19) (Ⅱ) P ?( x ) ? ? 30 x ? 90 x ? 3240 ? ? 30 ( x ? 12 )( x ? 9 ) . ∴当 0<x<12 时 P ?( x ) >0,当 x<12 时, P ?( x ) <0.
2

∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. 2 2 (Ⅲ)∵MP(x)=-30x +60x+3275=-30(x-1) +3305, * 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,x 的取值范围为[1,19],且 x ? N
M P (x)

是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.

9.(2009 福建省)已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国 际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部 分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位 待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留岗员 工每人每年可为企业多创利润(181 100 x

)万元;当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时,留

岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待 岗? 解 设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵2000×1%=20,∴当 0<x≤20 且 x∈N 时, y=(2000-x)(3.5+1∵x≤2000×5%
81 100 x

)-0.5x=-5(x+

324 x

)+9000.81.

∴x≤100,∴当 20<x≤100 且 x∈N 时,

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. ∴y
324 ? ) ? 9000 . 81 , ( 0 ? x ? 20 且 x ? N), ?? 5( x ? ? ? x ? ? 4 . 9595 x ? 8919 , ( 20 ? x ? 100 且 x ? N). ?

当 0<x≤20 时,有 y=-5(x+
324 x

)+9000.81≤-5×2 324 +9000.81=8820.81,
324 x

当且仅当 x=

,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值.

当 20<x≤100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数, 启东中学内部资料
53

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 所以 y<-4.9595×20+8919=8819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗.

2007—2008 年联考题
一、选择题 1.(广东省惠州市 2008 届高三第三次调研考试)若函数 f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零 点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

f (1) = -2 f (1.375) = -0.260

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054
( D.1.5 )

那么方程 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为 A.1.2 答案 解析 C B.1.3 C.1.4

f(1.40625)=-0.054< 0,f(1.4375)=0.162> 0 且都接近 0,由二分法可知其根

近似于 1.4。 2.(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)如果二次方程 x -px-q=0(p,q∈N ) 的 正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 答案 C
f (x) ? x
3

2

*

( C. 7 个 D. 8 个



B. 6 个

3.(2008 年全国百校月考) 用二分法研究函数
f ( 0 ) ? 0, f ( 0 . 5 ) ? 0 ,可得其中一个零点 x 0 ?

? 3 x ? 1 的零点时,第一次经计算

,第二次应计算

. 以上横线上

应填的内容为 A. (0,0.5) f ( 0 . 25 ) , C. (0.5,1) f ( 0 . 75 ) , B. (0,1) f ( 0 . 25 ) ,
2 1 D. (0,0.5) f ( 0 .5 , )

答案 A 4.(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)在股票买卖过程中, 经常用到两种曲线, 一 种是即时价格曲线 y=f(x),一种是平均价格曲线 y=g(x)(如 f(2)=3 表示开始交易后 第 2 小时的即时价格为 3 元;g(2)=4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均 价格为 4 元).下面所给出的四个图象中,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其中可 启东中学内部资料
54

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 能正确的是 ( )

y

y

y

y

x

x

x

x

A B C D 答案 C 解析 刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,A 错误;开始交易后,平均价格 应该跟随即使价格变动,在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度,B、D 均错 误. 二、解答题 5.(2007 年岳阳市一中训练)某工厂统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 n (件)(n ? N*, 且 1≤n≤98)的关系表如下: N 1 2 3 4 98 ┅ P
2 99 1 49 2 97 1 48



1

又知每生产一件正品盈利 a 元,每生产一件次品损失

a 2

元( a ? 0 ).

(1)将该厂日盈利额 T(元)表示为日产量 n (件)的一种函数关系式; (2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件? ( 3 ? 1 .7 3) 解 (1)由题意可知 P 额 T ( n ) ? a ( n ? pn ) ? (2)
T (n) a ? 3? n?
? 2 100 ? n (1 ? n ? 98 , n ? N )
*

日产量 n 件中,正品(n-pn)件,日盈利
*

a 2

pn ? a ( n ?

3n 100 ? n

)( 1 ? n ? 98 , n ? N ) .
300 100 ? n
*

300 100 ? n

( a ? 0 ) ? 103 ? [( 100 ? n ) ?
3 ? 82 . 7 , 而 n ?

] ? 103 ? 2 300 ? 68 . 4 ? T ( 83 ) a ,

当且仅当 100-n= 故 n ? 83 时
T a

300 100 ? n

, 即 n=100- 10

N

,且

T ( 82 ) a

取最大值,即 T 取最大值.

6.( 2008 年高考数学各校月考试题)某公司以每吨 10 万元的价格销售某种化工产品,每 年可售出该产品 1000 吨, 若将该产品每吨的价格上涨 x%, 则每年的销售数量将减少 mx%, 其中 m 为正常数. (1)当 m ?
1 2

时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大?

(2)如果涨价能使销售总金额增加,求 m 的取值范围. 解(1)由题设,当价格上涨 x%时,销售总金额为: 启东中学内部资料

55

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! (2) y ? 10 ? 1000 ? (1 ? x %) ? (1 ? mx %) (万元) 即 y ? ? mx 当m ?
1 2
2

? 100 (1 ? m ) x ? 1000 。
1 2
max

时, y ?

[ ? ( x ? 50 ) ? 22500 ],
2

当 x=50 时, y

? 11250 万元.

即该吨产品每吨的价格上涨 50%时,销售总最大. (2)由(1) y ? ? mx ? 100 (1 ? m ) x ? 10 000 , ( 0 ? x ?
2

100 m

)

如果上涨价格能使销假售总金额增加, 则有 x ? 0时 y ? 10 ? 1 000 即 x>0 时, ? mx ? 100 (1 ? m ) x ? 10 000 ? 10 000
2

∴ ? mx ? 100 (1 ? m ) ? 0 注意到 m>0 ∴
100 (1 ? m ) m ? x,



100 (1 ? m ) m

? 0

∴ 0 ? m ? 1,

∴m 的取值范围是(0,1) 7.(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)某机床厂今年年初用 98 万元购进一台 数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用 12 万元,从第二年开始, 每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元, 设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由. 解 (1)依题得: y ? 50 ?12 x ?
? ? x ( x ? 1) 2 ? * 2 ? 4 ? 98 ? ? 2 x ? 40 x ? 98 . (x ? N ) ? ?

(2)解不等式 ? 2 x ? 4 0 x ? 9 8 ? 0, 得 : 1 0 ?
2

51 ? x ? 10 ?

51

∵x ? N ,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。 (3) (Ⅰ)?
y x ? ?2 x ? 40 ? 98 x 98 x ? 40 ? (2 x ? 98 x ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12

*

当且仅当 2 x ?

时,即 x=7 时等号成立.

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.

(Ⅱ)y=-2x +40x-98=-(x-10) +102,当 x=10 时,ymax=102 启东中学内部资料
56

2

2

启东中学内部资料 请注意保存,严禁外传! 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 8.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)为了保护环境,实现城市绿化,某房地 产公司要在拆迁地长方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建造公园,公园一边落在 CD 上, 但不得越过文物保护区 ? AEF 的 EF.问如何设计才能使公园占地面积最大, 并求这最 大面积( 其中 AB=200 m,BC=160 m,AE=60 m,AF=40 m.) 解 设 CG=x,矩形 CGPH 面积为 y, 如图作 EN⊥PH 于点 N,则 ∴HC=160 ?
2 x ? 280 3 ?
EN 40 ? x ? 140 60 ? EN ? 2 x ? 280 3

760 ? 2 x 3

y ? x?

760 ? 2 x 3

?

1 6

? 2 x ( 760 ? 2 x ) ?

1 ? 760 ? ? ? 6? 2 ?

2

?

72200 3

当 2 x ? 760 ? 2 x ? x ? 190 (m)即CG长为190m时,最大面积为

72200 3

(m )

2

启东中学内部资料

57


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