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北京市通州区2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)(理科)


2016-2017 学年北京市通州区高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.) 1.已知集合 M={﹣1,0,1,2},N={x||x|>1},则 M∩N 等于.( A.{0} B.{2} C.{1,2} D.{﹣1,0,1} 2.执行如图所示的程序框图,输出的 A 值为( ) )

A.7

B.15 C.31 D.63 则 z=x+y 的最大值为( )

3.若变量 x,y 满足条件

A.

B.2

C.

D.0 表示双曲线”的( )

4.“m>1”是“方程

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( A.y=x3 B.y=2|x| C.y=cosx D. ,△ABC 的面积等于 ,则 b 等于(

6.在△ABC 中,a=2,



A.

B.1

C.

D.2

7.如图,某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形,俯视图是边长 为 2 的正方形,那么它的体积为( )

A.

B.4

C.

D.

8.设集合 Sn={1,2,3,…2n﹣1},若 X 是 Sn 的子集,把 X 的所有元素的乘积叫 做 X 的容量(规定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集.其中 Sn 的奇子集的个数为( A. B.2n﹣1 C.2n D.22n﹣1﹣2n+1 )

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.复数 z 满足(1+i)?z=1﹣i,则 z= 10. 11.已知直线 展开式中的常数项是 . .

(t 是参数),曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,那么直 . . ,则

线 l 与曲线 C 的公共点的个数是

12.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,S7﹣S5=24,则 S6= 13.如图,在正方形 ABCD 中,P 为 DC 边上的动点,设向量 λ+μ 的最大值为

14.已知函数 零点,则实数 k 的取值范围是

若函数 g(x)=f(x)﹣k(x﹣1)有且只有一个 .

三、 解答题 (共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. ) 15.(13 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x. (Ⅰ)求 f(x)最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

16.(13 分)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动的次 数与相对应的人数的对应关系如表: 次数 人数 1 1 2 4 3 4 4 1

现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表在活动总结会上发言. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 6”,求事件 A 发生的概 率; (Ⅱ) 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之和, 求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 17.(14 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,△PAB 为正三角形,四边形 ABCD 为矩形, 平面 PAB⊥平面 ABCD,AB=2AD,M,N 分别为 PB,PC 中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 B﹣AM﹣C 的大小; (Ⅲ)在 BC 上是否存在点 E,使得 EN⊥平面 AMN?若存在,求 存在,请说明理由. 的值;若不

18.(13 分)设函数 f(x)=ekx﹣1(k∈R). (Ⅰ)当 k=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)设函数 F(x)=f(x)+x2﹣kx,证明:当 x∈(0,+∞)时,F(x)>0. 19.(13 分)如图,已知椭圆 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),直线 AB 与直线 l:x=4 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3,求证:k1,k3,k2 成等 差数列. 经过点 ,离心率

20.(14 分)已知数列{an}对任意的 n∈N*满足:an+2+an>2an+1,则称数列{an} 为“T 数列”. (Ⅰ)求证:数列{2n}是“T 数列”; (Ⅱ)若 ,试判断数列{an}是否是“T 数列”,并说明理由; .

(Ⅲ)若数列{an}是各项均为正的“T 数列”,求证:

2016-2017 学年北京市通州区高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.) 1.已知集合 M={﹣1,0,1,2},N={x||x|>1},则 M∩N 等于.( A.{0} B.{2} C.{1,2} D.{﹣1,0,1} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 N 中绝对值不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 【解答】解:由 N 中不等式解得:x<﹣1 或 x>1,即 N={x|x<﹣1 或 x>1}, ∵M={﹣1,0,1,2}, ∴M∩N={2}, 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. )

2.执行如图所示的程序框图,输出的 A 值为(



A.7

B.15 C.31 D.63

【考点】程序框图.

【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 A,i 的值,可得当 i=7 时满 足条件 i>6,退出循环,输出 A 的值为 63. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 A=0,i=1 A=1,i=2 不满足条件 i>6,执行循环体,A=3,i=3 不满足条件 i>6,执行循环体,A=7,i=4 不满足条件 i>6,执行循环体,A=15,i=5 不满足条件 i>6,执行循环体,A=31,i=6 不满足条件 i>6,执行循环体,A=63,i=7 满足条件 i>6,退出循环,输出 A 的值为 63. 故选:D. 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,当循环的次数不多或有规 律时,常采用模拟执行程序的方法解决,属于基础题.

3.若变量 x,y 满足条件

则 z=x+y 的最大值为(



A.

B.2

C.

D.0

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,令 z=x+y,化此目标函数为直线方程的斜截式, 由图得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数求得 x+y 的最大值. 【 解 答 】 解 : 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 ,



可知,A( ,

).

化目标函数 z=x+y 为 y=﹣x+z, 由图可知,当直线 y=﹣x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 . 故选:A. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档 题.

4.“m>1”是“方程

表示双曲线”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据双曲线方程的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:若 0, 则“m>1”是“方程 故选:A 表示双曲线”的充分不必要条件, 表示双曲线,则 m(m﹣1)>0,得 m>1 或 m<

【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据双曲线的标准方程求出 m 的取值范围是解决本题的关键.

5.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( A.y=x3 B.y=2|x| C.y=cosx D.



【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可. 【解答】解:A.y=x3 是奇函数,在区间(0,1)内单调递增,不满足条件. B.y=2|x|是偶函数,在区间(0,1)内单调递增,不满足条件. C.y=cosx 是偶函数,在区间(0,1)内单调递减,满足条件. D. 故选:C. 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇 偶性和单调性的性质. lnx 是非奇非偶函数,在区间(0,1)内单调递增,不满足条件.

6.在△ABC 中,a=2, A. B.1 C.

,△ABC 的面积等于 D.2

,则 b 等于(



【考点】余弦定理. 【分析】由已知利用三角形面积公式可求 c,进而利用余弦定理可求 b 的值. 【解答】解:∵a=2, ∴解得:c=1, ∴由余弦定理可得:b= 故选:C. 【点评】本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查 了转化思想,属于基础题. = = . ,△ABC 的面积等于 = acsinB= 2× ,

7.如图,某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形,俯视图是边长

为 2 的正方形,那么它的体积为(



A.

B.4

C.

D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积. 【分析】 由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直角三 角形为底面的三棱锥,代入棱锥体积公式,构造方程,解得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直 角三角形为底面的三棱锥, 底面面积 S= ×2×2=2, 高 h=2, 故体积 V= 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积,棱锥的体积和表面积,简单 几何体的三视图,难度中档. = ,

8.设集合 Sn={1,2,3,…2n﹣1},若 X 是 Sn 的子集,把 X 的所有元素的乘积叫 做 X 的容量(规定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集.其中 Sn 的奇子集的个数为( A. B.2n﹣1 C.2n D.22n﹣1﹣2n+1 )

【考点】子集与真子集. 【分析】根据题意,分析可得 n=1、n=2、n=3 时,Sn 的所有奇子集个数,从而归 纳可得集合 Sn 的奇子集个数. 【解答】解:根据题意,n=1 时,S1={1},S1 的所有奇子集为{1},有 1 个;

n=2 时,S2={1,2,3},S2 的所有奇子集为{1}、{3}、{1,3},共有 3 个; n=3 时,S3={1,2,3,4,5},S3 的所有奇子集为: {1}、{3}、{5}、{1,3}、{1,5}、{3、5},{1,3,5}共有 7 个; …, 归纳可得集合 Sn={1,2,3,…2n﹣1},Sn 的奇子集的个数为 2n﹣1 个. 故选:B. 【点评】本题考查集合的子集,是新定义的题型,关键是正确理解奇、偶子集与 容量的概念,是易错题.

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.复数 z 满足(1+i)?z=1﹣i,则 z= 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由(1+i)?z=1﹣i,得 可得答案. 【解答】解:由(1+i)?z=1﹣i, 得 = , ,再利用复数代数形式的乘除运算化简即 ﹣i .

故答案为:﹣i. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.

10.

展开式中的常数项是

24



【考点】二项式定理的应用. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可 求得常数项. 【解答】解: 展开式的通项公式为 Tr+1= ?24﹣r?(﹣1)r?x4﹣2r,

令 4﹣2r=0,求得 r=2,可得常数项是 24, 故答案为:24. 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 属于基础题.

11.已知直线

(t 是参数),曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,那么直 2 .

线 l 与曲线 C 的公共点的个数是

【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 【分析】求出直线和圆的普通方程,分析直线与圆的位置关系,进而可判断出直 线 l 与曲线 C 的公共点的个数. 【解答】解:直线 即 x+y﹣1=0, 曲线 C 的普通方程为:x2+y2=1, 圆心(0,0)到直线 x+y﹣1=0 的距离 d= 故直线与圆相交, 故直线 l 与曲线 C 的公共点的个数是 2 个, 故答案为:2 【点评】 本题考查的知识点是直线的参数方程与圆的极坐标方程,直线与圆的位 置关系,难度中档. = <1, (t 是参数)的平面直角坐标系方程为:x+y=1,

12.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,S7﹣S5=24,则 S6= 【考点】等差数列的前 n 项和.

36



【分析】由等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组,求出首项和公差,由 此能求出 S6. 【解答】解:∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a1=1,S7﹣S5=24, ∴ ,

解得 a1=1,d=2, ∴S6=6×1+ 故答案为:36. =36.

【点评】本题考查数列的前 6 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意 等差数列的性质的合理运用.

13.如图,在正方形 ABCD 中,P 为 DC 边上的动点,设向量 λ+μ 的最大值为 3

,则

【考点】向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】建立直角坐标系,把向量用坐标表示出来,根据 P 的坐标表示出 λ+μ 的表达式,求其最大值即可. 【解答】解:以 A 为原点,以 AB、AD 分别为 x,y 轴建立直角坐标系,设正方 形的边长为 2, 则 C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),x∈[0,2] ∴ ∵ ∴ =(2,2), , , =(2,﹣2), =(x,2),





∴λ+μ= 令 f(x)=

, ,(0≤x≤2)

∵f(x)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)max=f(0)=3. 故答案为:3 【点评】本题主要考查向量在几何中的应用,向量的运算,建立坐标系,将问题 转化为坐标运算,是解答的关键.

14.已知函数 零点,则实数 k 的取值范围是

若函数 g(x)=f(x)﹣k(x﹣1)有且只有一个 k<﹣1 或 k=4 .

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】若函数 g(x)=f(x)﹣k(x﹣1)有且只有一个零点,则函数 y=f(x) 与函数 y=k(x﹣1)的图象有且只有一个交点,画出函数 y=f(x)与函数 y=k(x ﹣1)的图象,数形结合,可得答案. 【解答】解:若函数 g(x)=f(x)﹣k(x﹣1)有且只有一个零点, 则函数 y=f(x)与函数 y=k(x﹣1)的图象有且只有一个交点, 函数 y=f(x)与函数 y=k(x﹣1)的图象如下图所示:

函数 y=k(x﹣1)的图象恒过(1,0)点, 当直线经过(0,1)点时,k=﹣1, 当直线与 y=x2,的图象相切时, k(x﹣1)=x2 的△=k2﹣4k=0, 解得:k=4,或 k=0(舍去), 由图可得:k<﹣1 或 k=4. 故答案为:k<﹣1 或 k=4 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,数形结合思想,函数 的图象,难度中档.

三、 解答题 (共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. )

15.(13 分)(2016 秋?通州区期末)已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x. (Ⅰ)求 f(x)最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 【分析】(Ⅰ)化函数 f(x)为正弦型函数,即可求出 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)由 0≤x≤ 求出 2x+ 的取值范围,再根据正弦函数的图象与性质即可

求出 f(x)的最值. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x =sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x = sin(2x+ )+2,…

所以 f(x)的最小正周期为 T=π;… (Ⅱ)由 0≤x≤ 0≤2x≤π, 所以 ≤2 x+ ≤ ;…(8 分) 得,

根据正弦函数 y=sinx 的图象可知 当 当 时,f(x)有最大值为 2+ ,…(11 分)

时,f(x)有最小值为 1.…(13 分)

【点评】 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题,是 基础题目.

16. (13 分) (2016 秋?通州区期末) 某小组共 10 人, 利用假期参加义工活动. 已 知参加义工活动的次数与相对应的人数的对应关系如表: 次数 人数 1 1 2 4 3 4 4 1

现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表在活动总结会上发言. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 6”,求事件 A 发生的概

率; (Ⅱ) 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之和, 求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(Ⅰ)从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件个数为: .设选出的 2

人参加义工活动次数之和为事件 A, 选出的 2 人中 1 人参加 2 次另一人参加 4 次 为事件 M, 选出的 2 人均参加 3 次为事件 N. 事件 M 所含基本事件的个数为 个,事件 N 所含基本事件的个数为 式即可得出. (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6,利用相互定理与互斥事件概率计 算公式及其数学期望计算公式即可得出. 【解答】解:(Ⅰ)从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件个数为: 个. 个,利用古典概率与互斥事件概率计算公

设选出的 2 人参加义工活动次数之和为事件 A, 选出的 2 人中 1 人参加 2 次另一 人参加 4 次为事件 M,选出的 2 人均参加 3 次为事件 N. 事件 M 所含基本事件的个数为 事件 N 所含基本事件的个数为 根据古典概型可知, , 个, 个, ,

因为 M 和 N 互斥事件,且 A=M+N 所以 …. ,

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6,7





, 所以 X 的分布列如下: X 3 4 5 6 7



P EX= + + + + =5.….(13 分)

【点评】 本题考查了古典概率计算公式、相互定理与互斥事件概率计算公式及其 数学期望计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

17.(14 分)(2016 秋?通州区期末)在四棱锥 P﹣ABCD 中,△PAB 为正三角 形,四边形 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,AB=2AD,M,N 分别为 PB, PC 中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 B﹣AM﹣C 的大小; (Ⅲ)在 BC 上是否存在点 E,使得 EN⊥平面 AMN?若存在,求 存在,请说明理由. 的值;若不

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】(Ⅰ)推导出 MN∥BC∥AD,由此能证明 MN∥平面 PAD. (Ⅱ)过点 P 作 PO 垂直于 AB,交 AB 于点 O,建立空间直角坐标系,利用向量 法能求出二面角 B﹣AM﹣C 的大小. (Ⅲ)设 E(1,λ,0),则 在 BC 存在点 E,使得 EN⊥平面 AMN,此时 【解答】(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)∵M,N 分别是 PB,PC 中点 ∴MN 是△ABC 的中位线 ∴MN∥BC∥AD . ,由此利用向量法能求出

又∵AD? 平面 PAD,MN?平面 PAD 所以 MN∥平面 PAD.…. 解:(Ⅱ)过点 P 作 PO 垂直于 AB,交 AB 于点 O, 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD, 如图建立空间直角坐标系, 设 AB=2,则 A(﹣1,0,0),C(1,1,0), M( ,0, ), ),

B(1,0,0),N( , , 则 ,

设平面 CAM 法向量为





,得



令 x1=1,则 平面 ABM 法向量

,即

所以,二面角 B﹣AM﹣C 的余弦值 因为二面角 B﹣AM﹣C 是锐二面角, 所以二面角 B﹣AM﹣C 等于 45°….(10 分) (Ⅲ)存在点 E,使得 EN⊥平面 AMN….(11 分) 设 E(1,λ,0),则 由 可得 , ,

所以在 BC 存在点 E,使得 EN⊥平面 AMN, 此时 .….(14 分)

【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的求法,考查满足条件的点是否 存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

18.(13 分)(2016 秋?通州区期末)设函数 f(x)=ekx﹣1(k∈R). (Ⅰ)当 k=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)设函数 F(x)=f(x)+x2﹣kx,证明:当 x∈(0,+∞)时,F(x)>0. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)求出 f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可 得到所求; (Ⅱ)求出 F'(x),令 g(x)=kekx+2x﹣k,求得导数,判断单调性,即可得证. 【解答】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)f′(x)=ex,….(1 分) 将 x=0 分别代入 f(x)和 f′(x)得,f′(0)=1,f(0)=0…. 所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为:y=x.…. (Ⅱ)证明:F'(x)=kekx+2x﹣k…. 令 g(x)=kekx+2x﹣k,则 g'(x)=k2ekx+2….(8 分) ∵ekx>0,k2≥0,∴g'(x)=k2ekx+2>0….(10 分) ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=0 即 F'(x)>0,….(11 分) ∴F(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴F(x)>F(0)=0….(13 分) 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间,考查不等式的证明,注

意运用单调性,属于中档题.

19. (13 分) (2016 秋?通州区期末)如图,已知椭圆 过点 ,离心率 .



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),直线 AB 与直线 l:x=4 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3,求证:k1,k3,k2 成等 差数列.

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】(Ⅰ)运用离心率公式和点满足椭圆方程,以及 a,b,c 的关系,解方 程即可得到所求椭圆方程; (Ⅱ) 求得椭圆右焦点坐标, 设 AB 的斜率为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k (x﹣1) , 代入椭圆方程, 运用韦达定理和直线的斜率公式, 结合等差数列中项, 即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)由点 ② 由①②得 c2=1,a2=4,b2=3, 故椭圆 C 的标准方程为 …. 在椭圆上得, ①

(Ⅱ)证明:椭圆右焦点坐标 F(1,0),显然直线 AB 斜率存在, 设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)③…. 代入椭圆方程 ,

整理得(4k2+3)x2﹣8k2x+4(k2﹣3)=0…. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 ④….(7 分)

在 方 程 ③ 中 , 令 x=4 得 , M ( 4 , 3k ) , 从 而



,….(9 分) 又因为 A、F、B 共线,则有 k=kAF=kBF, 即有 ,

所以 k1+k2=

=

=2k﹣



将④代入⑤得 k1+k2=

,…(12 分)





所以 k1+k2=2k3,即 k1,k3,k2 成等差数列.….(13 分) 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质, 考查直线和椭圆方程联立, 运用韦达定理, 直线的斜率公式和等差数列中项性质,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

20. (14 分) (2016 秋?通州区期末)已知数列{an}对任意的 n∈N*满足:an+2+an >2an+1,则称数列{an}为“T 数列”. (Ⅰ)求证:数列{2n}是“T 数列”; (Ⅱ)若 ,试判断数列{an}是否是“T 数列”,并说明理由; .

(Ⅲ)若数列{an}是各项均为正的“T 数列”,求证:

【考点】数列的求和. 【分析】(Ⅰ)根据新定义证明即可, (Ⅱ)根据新定义判断即可, (Ⅲ)原不等式等价于只需证 n(a1+a3+…+a2n+1)>(n+1)a2+a4+…+a2n.利用数 学归纳法证明即可 【解答】解:(Ⅰ)∵2n+2n+2=5?2n,2?2n+1=4?2n, ∴an+2+an﹣2an+1= ∴an+2+an>2an+1, ∴数列{2n}是“T 数列”; (Ⅱ) = = ,

解得,n>4,n∈N*,故数列{an}不是 T 数列. (Ⅲ)要证 只需证 n(a1+a3+…+a2n+1)>(n+1)a2+a4+…+a2n. 下面运用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n=1 时,a1+a3>2a2 成立. (ⅱ)假设当 n=k 时,不等式成立, 即 k(a1+a3+…+a2k+1)>(k+1)a2+a4+…+a2k 那么当 n=k+1 时,

∵{an}是 T 数列,∴an+2+an>2an+1,∴an+2﹣an+1>an+1﹣an∴an+2﹣an+1>an+1﹣an> an﹣an﹣1>…>a2﹣a, ∴(a2k+3﹣a2k+2)>(a2k+2﹣a2k+1),(a2k+3﹣a2k+2)>(a2k﹣a2k﹣1),

依此类推(a2k+3﹣a2k+2)>(a2﹣a1), 将上述式子相加, 得 (k+1) (a2k+3﹣a2k+2) + (a1+a3+…+a2k+1) ﹣ (a2+a4+…+a2k+a2k+2) >0, ∴当 n=k+1 时不等式成立, 根据(ⅰ)和(ⅱ)可知, 对于任意 n∈N*不等式 均成立.

【点评】 本题考查了新定义的问题和数学归纳法,考查了学生的运算能力解决问 题的能力,属于中档题.


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