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科学素养(数学)2013保送

2013 年霞浦一中保送生综合能力测试

科学素养(数学)
(考试时间:60 分钟;
学校 准考证号

满分:100 分)
姓名

一、选择题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 1.已知 y= ?

1 ,则在直角坐标系中,点 P(x,y)所在的象限为( x?2
B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限



A.第一象限

2.已知关于 x 的方程 mx+2=2x 的解满足|x- A.6 或

2 3

B.6 或-

2 3

1 |-1=0,则 m 的值是( ) 2 2 2 C.-6 或 D.-6 或 ? 3 3

3. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球,其中白球 1 个,黄球 1 个, 红球 2 个,摸出一个球不放回,再摸出一个球,两次都摸到红球的概率是( ) A. 1 2 B. 1 3
4

C.
8

1 6
256

D.

1 8 ) D.一个整数的立方

2 4.记 x ? ?1 ? 2 ? 1 ? 2

?

??1 ? 2 ??1 ? 2 ? ??? ?1 ? 2 ?,则x ? 1是 (
C.一个整数的平方

A.一个奇数

B.一个质数

5.甲、乙、丙三种货物,若购甲 3 件、乙 9 件共需 63 元;若购甲 4 件、乙 10 件、丙 1 件 共需 84 元;现在购甲、乙、丙各 1 件共需( ) A.21 元 B.23 元 C.25 元 D.27 元

6.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,∠B=90°,AD=1, AB ?

3 ,BC=2,P 是 BC 边上的一 2

个动点(点 P 与点 B 不重合,可以与点 C 重合) ,DE⊥AP 于点 E。设 AP=x,DE=y。在下列 图象中,能正确反映 y 与 x 的函数关系的是( )

科学素养(数学) 第 1 页 共 4 页

7.把几个数用大括号围起来,中间用逗号断开,如: ? ,2,3?、 ?? 2,7,8,19? ,我们称之为 1 集合,其中的数称其为集合的元素。如果一个集合满足:当实数 a 是集合的元素时,实数 8 ? a 也必是这个集合的元素,这样的集合我们称为好的集合。请判断下列集合哪个是好 的集合( ) A. ? ,2? 1 B. ?3,5,7? C.

?2,3,4?

D. ? ,4,7? 1

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 8.已知 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,那么代数式 x ? 2 x ? 1的值是
3

9.已知点 A ? x1 ,5? , B ? x2 ,5? 是函数 y ? x2 ? 2x ? 3 上两点,则当 x ? x1 ? x2 时, 函数值 y =___________. 10.半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0,-4) ,N(0,-10) , 函数 y ?

y
A O M

x

k ( x ? 0) 的图像过点 P,则 k = x

P . N

11.有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重,另外两个球都轻 1 克,为了找出这两 个轻球,用天平称了三次,结果如下:第一次①+②比③+④重,第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻, 第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重.那么,两个轻球的编号是_________.
A F R S

12.在 Rt ?ABC 中, ?A ? 90 , AB ? 3cm, AC ? 4cm ,以斜 边 BC 上距离 B 点 3cm 的点 P 为中心,把这个三角形按逆时针 方向旋转 90 到 Rt ?DEF ,则旋转前后两个直角三角形重叠 部分的面积为_____ cm .
2 ?

?

Q B D P C

E

13.如图,在△ABC 中 AB=AC= 5 ,BC=2,在 BC 上有 50 个不同的 点 P1,P2,…, 50, P 过这 50 个点分别作△ABC 的内接矩形 P1E1F1G1, P2E2F2G2,……,P50E50F50G50,每个内接矩形的周 长分别为 L1,L2,…,L50,则 L1+L2+…+L50= 。

科学素养(数学) 第 2 页 共 4 页

三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分) 14.(本小题 6 分) 先化简 (1 ?

3 a ?1 )? 2 , 然后请你给 a 选取一个合适的值, 再求此时原式的值. a?2 a ?4

15.(本小题 8 分)已知以 Rt ?ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O,与斜边 AC 交于点 D,E 为 BC 边的中点,连结 DE. (1) 如图,求证:DE 是圆 O 的切线 (2) 连结 OE,AE,当 ?CAB 为何值时,四边形 AOED 是平行四边形,并在此条件下,求 Sin?CAE 的值. C

E D

A

B O

第 15 题图 16.(本小题 9 分)某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的住房共 80 套,该公司所筹 资金不少于 2090 万元,但不超过 2096 万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房 成本和售价如下表: A 成本(万元/套) 售价(万元/套) 25 30 B 28 34

(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查,每套 B 型住房的售价不会改变,每套 A 型住房的售价将会提高 a 万元(a>0),且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大?(注:利 润=售价-成本) 科学素养(数学) 第 3 页 共 4 页

17. (本小题 13 分)如图,一个直角三角形纸片的顶点 A 在∠MON 的边 OM 上移动,移动过 程中始终保持 AB⊥ON 于点 B,AC⊥OM 于点 A.∠MON 的角平分线 OP 分别交 AB、AC 于 D、E 两点. (1)点 A 在移动的过程中,线段 AD 和 AE 有怎样的数量关系,并说明理由. (2)点 A 在移动的过程中,若射线 ON 上始终存在一点 F 与点 A 关于 OP 所在的直线对称, 判断并说明以 A、D、F、E 为顶点的四边形是怎样特殊的四边形? (3)若∠MON=45°,猜想线段 AC、AD、OC 之间有怎样的数量关系,并证明你的猜想. (4)在(3)的条件下,若 OC=2,请直接写出 CE 的长。
M A

P E D

O

B

C

N

第 17 题图 18.(本小题 12 分)已知抛物线 y=ax +bx+c(a>0)经过点 B(12,0)和 C(0,-6),对 称轴为 x=2. (1)求该抛物线的解析式. (2)点 D 在线段 AB 上且 AD=AC,若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度 匀速运动,同时另一个动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动,问是否存在某一 时刻,使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间 t(秒)和点 Q 的运动速 度;若存在,请说明理由. (3)在(2)的结论下,直线 x=1 上是否存在点 M,使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出 所有点 M 的坐标;若存在,请说明理由. P A Q C 科学素养(数学) 第 4 页 共 4 页 y O D B x
2


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