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1.2.1任意角的三角函数.ppt 2


1.2.1

任意角的三角函数

锐角三角函数: 以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。

c

?

b sin ? ? _____;

a

cos ? ? _____; tan ? ? _____
如何在直角坐标系中以角的终边 上的点的坐标来表示锐角三角函数?

如何在直角坐标系中以角的终边上的点的 坐标来表示锐角三角函数? 令OP=r,(显然r= a 2 ? b 2 )

由相似三角形的知识,对于确定的角α,这 三个比值不会随点P在α 的终边上的位置的 改变而改变。

设α是一个任意角,已知它的终边经过点 于原点的 一点 P(x, y),则P与原点的距离为 P(x,y), 点)P 与原点的距离为 r, (r= x 2 ? y 2 ? 0), x y y 2 2 2 2 可以定义任意角的三角函数 , , r ? x ? y ? x ? y ? 0 ,比值: 只与 r r x 角α的大小有关. 正弦 : sin ? ? y y r P(x,y) x 余弦 : cos ? ? r r y o ( x ? 0) x 正切 : tan ? ? x

1. 设α是一个任意角,在α的终边上任取(异

如果r=1,结果会是怎样呢?

r=1

设α在直角坐标系中 是一个任意角 ,它的 ,我们称 以原点O为圆心,以单位长 终边与单位圆交与点 度为半径的圆为单位圆。 P(x,y), 则

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα tanα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 ?1 0 1 0 不存在 0

3? 2

2?

2.三角函数的定义域
y P(x,y)
o

y sin ? ? r
x

x cos? ? r

y tan? ? x

三角函数

sin ? cos? tan?







{? | ? ?

?
2

R R
? k? , k ? Z }

y

O

x

例.角?的终边经过点P (4a , ?3a )(a ? 0), 求 : sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:OP=r ? (4a )2 ? ( ?3a )2 ? 5 a ,( a ? 0) y ? 3a 3 (1)当a ? 0时, r ? 5a , sin ? ? ? ?? , r 5a 5 x 4a 4 y ? 3a 3 cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ?? , r 5a 5 x 4a 4 y ? 3a 3 (2)当a ? 0时, r ? ?5a , sin ? ? ? ? , r ?5a 5 x 4a 4 y ? 3a 3 cos ? ? ? ? ? , tan ? ? ? ?? , r ? 5a 5 x 4a 4 3 4 3 ?当a ? 0时,sin ? ? ? ,cos ? ? , tan ? ? ? , 5 5 4 3 4 3 当a ? 0时,sin ? ? ,cos ? ? ? , tan ? ? ? . 5 5 4

1.2.1

任意角的三角函数(2)

1.已知角θ的终边上有一点P(-4a, 3a)(a≠0),则 2sinθ+cosθ的值是 (
2 (A) 5
2 2 (C) 或 - 5 5

) C

2 (B) - 5

(D) 不确定

2.已知P(-2,y)是角θ终边上一点,且sinθ=

5 , 求 cos θ 的值 . 5

解:∵P(-2, y)是角θ终边上一点, r=
sin ? ? 5 ?? 5 4 ? y2 y

4 ? y2

解得y=-1.

2 5 所以cosθ= - . 5

3、三角函数在各象限内的符号
角α是“任意角”, 由三角函数定义可知, 由于P(x, y)点的坐标x, y的正负是随角α所在的 象限的变化而不同,所以三角函数的符号应 由角α所在的象限确定.

当角α在第一象限时,由于x>0,y>0,所以
sinα>0,cosα>0,tanα>0 当角α在第二象限时,由于x<0,y>0,所以 sinα>0,cosα<0,tanα<0

当角α在第三象限时,由于x<0,y<0,所以
sinα<0,cosα<0,tanα>0 当角α在第四象限时,由于x>0,y<0,所以 sinα<0,cosα>0,tanα<0

y

+ _
O

+ _

_
x

y

+
O

_
x

y

_

+

+

O

+ _

x

sinα的符号

cosα的符号

tanα的符号

sin?>0 cos?<0 tan?<0

sin?>0 cos?>0 tan?>0

记忆 口诀:

sin?<0 cos?<0 tan?>0

sin?<0 cos?>0 tan?<0

一全二正弦 三切四余弦

例4.设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几
象限的角。 解: 因为sinθ<0,所以θ可能是第三或第四象限的角,

也可能在y轴的非正半轴上。
又tanθ>0,θ可能是第一或第三象限的角, 综上所述,θ是第三象限的角。

例5. 确定下列三角函数值的符号:? ? (1)cos250? ; (2) sin(? 4 )
11? (3)tan(-672? );(4) tan( ) 3

解: (1)250? 在第三象限,所以cos250? <0.
? ? (2) - 4 在第四象限,所以sin(- 4 )<0.

(3) -672? 在第一象限,所以tan(-672? )>0.

(4)

11? 3

11? 在第四象限,所以tan( 3 )<0.

练 A.第一象限角 习: C.第三象限角

1.若 sin ? ? 0, 且 cot ? ? 0.则角? 是( B ) B.第二象限角 D.第四象限角

2.设角?的终边过点P (?6a, ?8a ) ? a ? 0 ? 则sin? -cos?的值为( D ) A.1/ 5 C. ? 1/ 5或 ? 7 / 5 B. ? 1/ 5 D. ? 1/ 5或1/ 5

3.若? 为第一象限角, 则 sin 2? , cos 2? sin ?? / 2 ? 和 cos ?? / 2 ?中必取正值的有 B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

sin x cos x tan x 4.函数y ? + + 的值域是( A) sin x cos x tan x A.??1,3? B.??1, ?3? C.??1,1,3? D.??3, ?1,3? 5.若 sin ? ?cos ? ? 0, 则? 在 ( B ) A.第一, 二象限角 B.第一, 三象限角 C.第一,四象限角 D.第二,四象限角 6.若角? 终边过点P (2t ,3t )(t ? 0),

+ 则 sin ? ? cos ?的符号为 __________ 3 3 13 2 13 sin ? ? ____, cos ? ? _____, tan ? ? ____ 2 13 13 t>0时, 3 3 13 2 13 ? t<0时, ? 13 2 13

练习
7.函数y= | sin x | + cos x + | tan x | 的值域是 ( C )
sin x
| cos x |
tan x

(A) {-1,1}
(C) {-1,3}

(B) {-1,1,3}
(D) {1,3}

8. sin2· cos3· tan4的值 ( B (A)大于0

)

(B)小于0

(C)等于0

(D)不确定
一、三 象限的角

9.若sinθ· cosθ>0, 则θ是第

备用题
1.若三角形的两内角?,?满足 sin?cos?<0,则此三角形必为( B ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能

2.若α是第三象限角,则下列各式中不

成立的是( B )
A. sin?+cos?<0 B. tan??sin?<0

C. cos??cot?<0

D. cot?csc?<0

2.

23 13 sin(- 6 π)+cos 7 π· tan4π

-cos

13 π= 3

.

A A 3. 设A是第三象限角,且|sin |= -sin ,则 2 2

A 是( D ) 2

(A)第一象限角
(C)第三象限角

(B) 第二象限角
(D) 第四象限角

?1? ? 1 ,则?为第几象限角? 4.已知 ? ? ? 2 ? sin 2? ?1? ?1 解:因为 ? ? ,所以sin2 ?>0, ?2?
则2kπ<2?<2kπ+π, kπ<?<kπ+
所以?是第一或第三象限角.
? 2

sin 2?

[探索]

三角函数线

三种三角函数能否找到一种几何表示呢?
y MP sin ? ? ? ? MP (正弦线) r OP x OM cos ? ? ? ? OM (余弦线) r OP

y AT tan ? ? ? ? AT (正切线) x OA

α的终边
P

y

y P

α的终边 T

M o

A
x T

o

M A x

(Ⅱ) y

y (Ⅰ)

T

M
P

o

A x

o

M A P x T α的终边

α的终边

(Ⅲ)

( Ⅳ)

例1 作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线.

? 2? ? (1) ;(2) . 3 3

探究:当0<α<π/2时,总有 sinα<α<tanα. S△POA<S扇形AOP<S△AOT

MP· OA/2 <α·OA ·OA /2
<OA · AT /2 MP<α<AT

sinα<α<tanα

例3 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 ⑴ sin ? ? ; ⑵ tan? ? ?2. 2
?角的终边
y 1

P
-1
O -1

1 y? 2
x

M1

y P 1

A
-1 O -1 P 1 x

?角的终边

T

1 变题: 写出满足条件 ? ≤cosα< 2 2? 的集合. y

3 的角α 2

3

Q

1
P

?
6
x

-1

4? 3
?

O R -1

S1

11? 6

2? ?? |2k? ? <α≤ 2k? ? ,或 6 3 4? 11? 2k? ? ,k ? Z ≤α< 2k? ? 3 6

?

例4 利用单位圆中的三角函数线
⑴比较大小 : 4? 6? ① sin 40 与 sin 110 ; ② cos 与 cos ; 5 7 4? 6? ③ tan 与 tan . 5 7
0 0

⑵若 ? 3 ≤θ≤

?

5? ,试确定 sinθ 的取值范围 . 6

cosθ呢?

课堂小结
1、三角函数线的作法;

2、三角函数线的作用:
①利用三角函数线确定角的终边;

②利用三角函数线比较三角函数值的大小;
③利用三角函数线确定角的集合或范围.


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