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高三理科附加题2(5)


高三数学附加题练习 2
1.已知矩阵 M ? ?

班级

姓名

4.已知 f ( x) ? (2 ?
3

x )n , (n ? N* ). s ? s ?1 (s ? N * ) 的形式.

(1)若展开式中含 x 项的系数为 14, 求 n 的值;

?1 2 ? 的一个特征值为 3, 求 M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量. 2 x? ? ?

(2)当 x ? 3 时, 求证:f (x)必可表示成

2.在极坐标系中, A 为曲线 ? 2 ? 2 ? cos? ? 3 ? 0上的动点, B 为直线 ? cos? ? ? sin? ? 7 ? 0上的 动点, 求 AB 的最小值.

3.某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为 P ? 1

2 , 乙的命中率为 P , 在射击比武活动中每 2 3

人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该 射击小组为“先进和谐组”. (1)若 P2 ?

(2) 计划在 2013 年每月进行 1 次检测, 设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为 ? , 如 果 E? ? 5 , 求 P 的取值范围. 2

1 , 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率; 2

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高三数学附加题练习 2
f (? ) ?
1.解:矩阵 M 的特征多项式为

n n ∵ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? (2 ? 3) ? (2 ? 3) ? 1 ,

? ?1
?2

?2

? ? x = (? ? 1)(? ? x) ? 4 ……………1 分

∴令 a ? s, s ? N ,则必有 b ? s ? 1 ……………………………………………………9 分
n ? ∴ (2 ? 3) 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ……………………………10 分

?

因为 ?1 ? 3 方程 f (? ) ? 0 的一根,所以 x ? 1 ……………………………………3 分 由 (? ? 1)(? ? 1) ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? ?1 ………………………………………… 5 分

注:用数学归纳法证明的,证明正确的也给相应的分数.

? ?? ? ? ? y ? ,则 ?? 2 x ? 2 y ? 0 ,得 x ? ? y ……………8 分 设 ? 2 ? ?1 对应的一个特征向量为

?x ?

?? 2 x ? 2 y ? 0

? ?? ? x ? 1, 则y ? ?1 ,所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 ?? 1? ……10 分 令
2.解:圆的方程可化为 ?
x ? 1? ? y 2 ? 4
2

?1 ?

,所以圆心为

? ?1,0 ? ,半径为 2…………………3 分

又直线方程可化为 x ? y ? 7 ? 0 …………………………………………… 5 分
d? ?1 ? 7 2 ?4 2

所以圆心到直线的距离

,故 ( AB)min ? 4 2 ? 2 …………………………10 分

2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 P ? (C 2 ? ? )(C 2 ? ? ) ? ( ? )( ? ) ? 3 3 2 2 3 3 2 2 3 ……………………4 分 3 解: (1)可得
(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为

2 2 2 8 4 2 1 2 1 1 P ? (C 2 ? ? )[C 2 ? P2 ? (1 ? P2 )] ? ( ? ) P2 ? P2 ? P2 3 3 3 3 9 9 ,而 ? ~ B (12, P ) ,所以 E? ? 12 P , 8 4 2 3 ( P2 ? P2 ) ? 12 ? 5 ? P2 ? 1 9 由 E? ? 5 ,知 9 ,解得 4 ………………10 分
4.解: (1)因为 分 (2)由二项式定理可知, 设
0 (2 ? 3) n ? Cn 2n

Tr ?1 ? C 2
r 8

8? r

x

r 2

3 C ?2 ,所以 r ? 6 ,故 x 项的系数为 n

6

n ?6

? 14

,解得 n ? 7 ………5

? 3?

0

1 ? Cn 2n ?1

? 3? ? C 2 ? 3?
1 2 n n?2

2

n ? ? ? Cn 2 0

? 3? ,
n

(2 ? 3) n ? x ? 3 y ? x 2 ? 3 y 2

n ? ,而若有 (2 ? 3) ? a ? b , a, b ? N ,

n ? 则 (2 ? 3) ? a ? b , a, b ? N …………………………………………………………7 分

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