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3.1.2空间向量基本定理【2014年】_图文

3.1.2空间向量基本定理

回顾复习
一、共线向量: 1.共线向量:

如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2、共线向量定理对平面任意两个向量a,b(a ≠ 0),
b与a共线的充要条件是存在实数λ , 使b= λa.

3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

AP ? t AB
OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

中点公式:

1 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2
B
P A O

?

?

平面向量基本定理:

如果是 e1?, ?e2 同一平面内两个不共线的 向量,那么对于这一平面内的任一向 量 a ,有且只有一对实数?1,?2,使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2
思考1:空间任意向 量 p 与两个不共线 的向量 a?, ?b 共面时, 它们之间存在怎样 的关系呢?
b

a

b
A

C

P

a B

二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O

a

A

?

a

注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了

2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb .
b
C

p

P

请证明

A

a B

思考2:有平面ABC, 若P点在此面内,须 满足什么条件?
O

A a B

b

C

p

P

结论:空间四点P、A、B、C共面
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP ? x AB ? y AC 2.对空间任一点O,有 OP ? OA ? x AB ? y AC 3.能转化为都以O为起点的向量吗? OP ? ( 1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC
OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

可证明或判断四点共面

练 习:

B 1.下列命题中正确的有: (1) p ? xa ? yb  ? p与 a 、 b 共面 ;
(2) p 与 a 、 b 共面 ? p ? xa ? yb  ;
(3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

(4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,

若AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.

3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点
O, OM ? xOA + 1 OB + 1 OC ,则x的值为: D
3 3

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

2 1 2 (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

(2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

例1.如图三棱柱, 设 AB ? a, AC ? b, AA1 ? c, AM ? k AC1 , BN ? k BC , 求证 : MN与向量a和c共面.
追问:求证 : MN 平面. AA1 B1 B

A1
B1

C1

c
A

M

b

C N

a
B

在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 平面向量基本定理
如 果e1, e 2是 同 一 平 面 内 的 两 个 共 不线 向 量 , 那 么 对 于 这 一 平 面 内任 的一 向 量 a, 有 且 只 有 一对实数λ a= λ 1 e1+ λ 2 e 2。 1, λ 2, 使

问题 情境

(e1、 e 2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 有 所向 量 的 一 组 基 底 )

这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示. 能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基 本定理呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?

猜想:
如果三个向量 e1、 e2、 e 3不 共 面 , 那 么 空 间 任 一 ? 向 量p, 存 在 一 个 唯 一 的 有 实 序 数 组 x, y, z, ? 使p ? xe1 ? ye2 ? ze3。

三、空间向量基本定理(又称空间向量分解定理):

如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组

? x, y, z?

使

p ? xa ? yb ? zc .

b E

p
O C B

A

D

对向量 p 进行分解,

c

a
注:空间任意三个不共面向量都可以构成空

间的一个基底.如: a , b, c

?

?

看书P84

空间向量基本定理:(又称空间向量分解定理) 如果三个向量 e1, e2 , e3 不共面,那么对空间任一向 ? 量 p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得 p ? xe1 ? ye2 ? ze3

证明:(1)先证存在性
设e1, e2, e3是 三 个 不 共 面 的 向 量 过 ,空 间 一 点 O作OA ? e1, OB ? e2, OC ? e3, OP ? p, P 过点P作直线PP’∥OC,交平面 C OAB于点P’; O B B’ 在平面OAB内,过点P’作直线 A P’A’∥OB,P’B’∥OA,分别 A’ P’ 交直线OA,OB于点A’,B’. 存在实数则(x,y,z),使 OA, ? xOA ? xe1 OB , ? yOB ? ye2 OC , ? zOC ? ze3 p ? xe1 ? ye2 ? ze3



(2)再证惟一性 用反证法
2.假设存在实数组 ( x2 , y2 , z2 ) ,

x ? x2

使

p = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 , ye2 + ze3 = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 x2 )e1 + ( y - y2 )e2 + ( z - z2 )e3 = 0 x ? x2 y - y2 z - z2 e1 = e2 e3 x - x2 x - x2

所以 xe1 + 即 (x 因

从而 e1 , e2 , e3 共面, 这与 e , e , e 不共面矛盾, 1 2 3 所以有序实数组(x,y,z)惟一.

建构数学
空间向量基本定理:

? 如果三个向量 e1 , e2 , e3不 共 面 ,那 么 对 空 间 任 一 向 量 p,存 在 唯 一 ? 的有序实数组 ( x, y, z ), 使 p ? xe1 ? y e2 ? z e3

{e1 , e2 , e3}—-基底

e1 , e2 , e3 --基向量

强调:对于基底 {e1, e2 , e3}
(1)e1, e2 , e3不共面
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底.

(3)e1, e2 , e3中能否有0 ?
(4) 基底指一个向量组,基向量是指基底中的某一个向 量,二者是相关联的不同概念。

如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底.
特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单 位向量时,称为单位正交基底,通常用 {i, j, k }

空间向量基本定理的推论:
空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共 面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的 有序实数组x、y、z,使 p=xa+yb+zc.
推论:设点O、A、B、C是不共面的四点,则对空间 任一点P,都存在唯一的有序实数对 x、y、z使

O

OP ? xOA ? yOB ? zOC
C

A P
B

数学运用

例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 , a 从 , b, c 中 选 哪 个 向 量 , 一 定以 可 与 向 量p ? a ? b, q ? a ? b 构 成 空 间 的 另 一 个 基? 底

?

?

练习
1、如果a, b与任何向量都不能构成空间的一个基底, 则a与b 有什么关系? 共线
2、 判 断 : O, A, B, C为 空 间 四 点 , 且 向 量 OA, OB, OC不 构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有 什 么 关 系 ?

共面

3.已知平行六面体OABC-O’A’B’C’,且
OO? ? c ,用a , b , c 表示如下 OC ? b, OA ? a ,

? 向量:(1) OB? , BA? , CA;

(2)OG (点G是侧面BB’C’C的中心) O/ C/ ' OB ? a ?b ?c / / B A

A

? a
O

? c?
b
B

BA ? c ? b
' '

G

CA ? a ? b ? c

C OG ? 1 a ? b ? 1 c 2 2

4:已知空间四边形OABC,对角线OB、AC,M 和N分别是OA、BC的中点,点G在MN上,且使 MG=2GN,试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG

?

?

解:在△OMG中,
O
M A
G

OG ? OM ? MG
1 2 ? OA ? MN 2 3 1 2 ? OA ? (ON ? OM ) 2 3
1 1 1 ? OA ? OB ? OC 6 3 3

C N

B

小结:
1. 共线向量定理. 2.共面向量定理. 3.空间向量基本定理及推论. (1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理,即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和; (2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面

的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量, 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。

4.共线向量定理是在一维空间中利用向量 平移得到的,而平面向量基本定理是在 二维空间中借助与向量加法的平行四边 形法则推导的,空间向量基本定理是在 三维空间中研究的。


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