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版高中数学第一章统计案例12回归分析二学案新人教B版选修1 2(数学教案)

1.2 回归分析(二) 明目标、知重点 1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析,判断几种不 同模型的拟合程度. 1.常见的非线性回归模型有 幂函数曲线 y=ax ,指数曲线 y=ae . b b bx 倒指数曲线 ae x ,对数曲线 y=a+bln x. 2.非线性函数可以通过变换转化成线性函数,得到线性回归方程,再通过相应变换得到非线 性回归方程. 探究点一 非线性回归模型 思考 1 有些变量间的关系并不是线性相关,怎样确定回归模型? 答 首先要作出散点图,如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内,则两个变量 不呈现线性相关关系,不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系,这时可以根据已 有的函数知识,观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系,选定适当的回归模型. 思考 2 如果两个变量呈现非线性相关关系,怎样求出回归方程? 答 可以通过对解释变量进行变换,如对数变换或平方变换,先得到另外两个变量间的回归 方程,再得到所求两个变量的回归方程. 例 1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高 x/cm 体重 y/kg 身高 x/cm 体重 y/kg 60 6.13 120 20.9 2 70 7.90 130 26.8 6 80 9.99 140 31.1 1 90 12.1 5 150 38.8 5 100 15.0 2 160 47.2 5 110 17.5 0 170 55.0 5 试建立 y 与 x 之间的回归方程. 解 根据上表中数据画出散点图如图所示. 1 由图看出,样本点分布在某条指数函数曲线 y= c1e 2 的周围,于是令 z=ln y. c x x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 画出散点图如图所示. 由表中数据可得 z 与 x 之间的线性回归方程: ^ ^ z =0.663+0.020x,则有y =e0.663+0.020x. 反思与感悟 根据已有的函数知识, 可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线 y= c1e 2 的 周围,其中 c1 和 c2 是待定参数;可以通过对 x 进行对数变换,转化为线性相关关系. 跟踪训练 1 在彩色显影中, 由经验知: 形成染料光学密度 y 与析出银的光学密度 x 由公式 y b c x = Ae x (b<0)表示.现测得试验数据如下: x i 0.0 5 0.1 0 0.0 6 0.1 4 0.2 5 1.0 0 0.3 1 1.1 2 0.0 7 0.2 3 0.1 0 0.3 7 y i x i 0.3 8 1.1 9 0.4 3 1.2 5 0.1 4 0.5 9 0.2 0 0.7 9 0.4 7 1.2 9 y i 试求 y 对 x 的回归方程. b 解 由题给的公式 y= Ae x ,两边取自然对数,便得 ln y=ln A+ ,与线性回归方程相对 1 照,只要取 u= ,v=ln y,a=ln A.就有 v=a+bu. b x x 2 1 题给数据经变量置换 u= ,v=ln y 变成如下表所示的数据: x ui vi 20.000 -2.303 16.667 -1.966 4.000 0 3.226 0.113 14.286 -1.470 10.000 -0.994 ui vi 2.632 0.174 2.326 0.223 7.143 -0.528 5.000 -0.236 2.128 0.255 ^ 0.146 可得 ln y =0.548- , x ^ 即y =e 0.146 0.548- x =e 0.548 ·e 0.146 - x ≈1.73e 0.146 - x , 这就是 y 对 x 的回归方程. 探究点二 非线性回归分析 思考 对于两个变量间的相关关系,是否只有唯一一种回归模型来拟合它们间的相关关系? 答 不一定.我们可以根据已知数据的散点图,把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函 数图象进行比较,挑选一种拟合比较好的函数,作为回归模型. 例 2 对两个变量 x,y 取得 4 组数据(1,1),(2,1.2),(3,1.3),(4,1.37),甲、乙、丙三 人分别求得数学模型如下: 甲 y=0.1x+1, 乙 y=-0.05x +0.35x+0.7, 丙 y=-0.8·(0.5) +1.4,试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际. 解 甲模型,当 x=1 时,y=1.1; 当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.4. 乙模型,当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.3. 丙模型,当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=1.2; 当 x=3 时,y=1.3;当 x=4 时,y=1.35. 观察 4 组数据并对照知, 丙的数学模型更接近于客观实际. 跟踪训练 2 根据统计资料,我国能源生产自 1986 年以来发展很快.下面是我国能源生产总 量(单位:亿吨标准煤)的几个统计数据: 年份 产量 1986 8.6 1991 10.4 1996 12.9 2001 16.1 x 2 根据有关专家预测,到 2010 年我国能源生产总量将达到 21.7 亿吨左右,则专家所选择的回 3 归模型是下列四种模型中的哪一种 2 .(填序号) x ①y=ax+b(a≠0); ②y=ax +bx+c(a≠0); ③y=a (a>0 且 a≠1); ④y=logax(a>0 且 a≠1). 答案 ① 1.散点图在回归分

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