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版高中数学第一章统计案例12回归分析二学案新人教B版选修1 2(数学教案)


1.2 回归分析(二) 明目标、知重点 1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析,判断几种不 同模型的拟合程度. 1.常见的非线性回归模型有 幂函数曲线 y=ax ,指数曲线 y=ae . b b bx 倒指数曲线 ae x ,对数曲线 y=a+bln x. 2.非线性函数可以通过变换转化成线性函数,得到线性回归方程,再通过相应变换得到非线 性回归方程. 探究点一 非线性回归模型 思考 1 有些变量间的关系并不是线性相关,怎样确定回归模型? 答 首先要作出散点图,如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内,则两个变量 不呈现线性相关关系,不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系,这时可以根据已 有的函数知识,观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系,选定适当的回归模型. 思考 2 如果两个变量呈现非线性相关关系,怎样求出回归方程? 答 可以通过对解释变量进行变换,如对数变换或平方变换,先得到另外两个变量间的回归 方程,再得到所求两个变量的回归方程. 例 1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高 x/cm 体重 y/kg 身高 x/cm 体重 y/kg 60 6.13 120 20.9 2 70 7.90 130 26.8 6 80 9.99 140 31.1 1 90 12.1 5 150 38.8 5 100 15.0 2 160 47.2 5 110 17.5 0 170 55.0 5 试建立 y 与 x 之间的回归方程. 解 根据上表中数据画出散点图如图所示. 1 由图看出,样本点分布在某条指数函数曲线 y= c1e 2 的周围,于是令 z=ln y. c x x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 画出散点图如图所示. 由表中数据可得 z 与 x 之间的线性回归方程: ^ ^ z =0.663+0.020x,则有y =e0.663+0.020x. 反思与感悟 根据已有的函数知识, 可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线 y= c1e 2 的 周围,其中 c1 和 c2 是待定参数;可以通过对 x 进行对数变换,转化为线性相关关系. 跟踪训练 1 在彩色显影中, 由经验知: 形成染料光学密度 y 与析出银的光学密度 x 由公式 y b c x = Ae x (b<0)表示.现测得试验数据如下: x i 0.0 5 0.1 0 0.0 6 0.1 4 0.2 5 1.0 0 0.3 1 1.1 2 0.0 7 0.2 3 0.1 0 0.3 7 y i x i 0.3 8 1.1 9 0.4 3 1.2 5 0.1 4 0.5 9 0.2 0 0.7 9 0.4 7 1.2 9 y i 试求 y 对 x 的回归方程. b 解 由题给的公式 y= Ae x ,两边取自然对数,便得 ln y=ln A+ ,与线性回归方程相对 1 照,只要取 u= ,v=ln y,a=ln A.就有 v=a+bu. b x x 2 1 题给数据经变量置换 u= ,v=ln y 变成如下表所示的数据: x ui vi 20.000 -2.303 16.667 -1.966 4.000 0 3.226 0.113 1

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