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2014肇庆二模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】


肇庆市中小学教学质量评估 2014 届高中毕业班第二次模拟考试 数学(文科)
参考公式: 2 ? 2 列联表随机变量 K 2 ?

n(ad ? bc) 2 . P( K 2 ? k ) 与 k 对应值表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k
一、选择题:

0.10 2.706

1.已知 i 是虚数单位, x 是实数,若复数 (1 ? xi )(2 ? i ) 是纯虚数,则 x ? ( A.2 B.



1 2

C. ?

1 2

D. ?2

2.若函数 y ?| x | 的定义域为 M ? ??2,0, 2? ,值域为 N ,则 M A. ??2,0, 2? 3.已知 sin( B. ?0, 2? C. ?2?

N ?(
D. ?0?



3 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(? ? ? ) ? ( ) 2 5 2 3 3 4 4 A. B. ? C. D. ? 5 5 5 5 4.已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x, y) ,则“ x ? ?2 且 y ? ?4 ”是“ a / / b ”的( ??) ?

?

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若如图 1 所示的程序框图输出的 S 是 62,则在判断框中 M 表示的“条件”应该是( ) A. n ? 3 B. n ? 4 C. n ? 5 D. n ? 6 6.已知圆锥的正视图和侧视图都是边长为 4 的等边三角形,则此圆锥的表面积是( ) A. 4? B. 8? C.

8? 3

D. 12? )

2 2 7.已知直线 l : y ? x ? b ,圆 x ? y ? 4 上恰有 3 个点到直线 l 的距离都等于 1,则 b ? (

A. 2

B. ? 2
2

C. ? 2

D. ?2 )

8.若函数 f ( x) ? 1 ? 2 sin ( x ?

?
4

)(x? R) ,则 f ( x) 是(

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

? 的偶函数 2

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2


9.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? A. ?

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为( ? x ? 2 a , x ? 1 ?
C. ?

3 4

B.

3 4

3 5

D.

3 5
B的

10.定义集合运算: A

B ? ? z z ? xy ? x ? y ? , x ? A, y ? B? ,设集合 A ? ?0,1? , B ? ?2,3? ,则集合 A
1

所有元素之和为( ) A.0 B.6 C.12 D.18 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 4,a2 ? a3 ? 8 ,则 a5 ? 12.函数 f ( x) ? xe x 的最小值为 . .

?x ? 0 ? 13. 设不等式组 ? x ? y ? 4 所表示的平面区域为 D, 若直线 y ? k ( x ? 3) 与 D 有公共点, 则 k 的取值范围是 ?y ? 2 ?
(二)选做题(14~15 题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知 C 的参数方程为 ?

.

? x ? 3cos t ( t 为参数),C 在点(0,3)处的切线为 l, ? y ? 3sin t
C D O B

若以直角坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, . 则 l 的极坐标方程为 15.(几何证明选讲选做题)如图 2,在 ?ABC 中,AB=BC,圆 O 是 ?ABC 的外接圆, 过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D, BD=4, CD ? 2 7 ,则 AC 的长等于 . A

图2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随机 抽取 200 名学生,得到如下 2 ? 2 列联表:

喜欢数学课 男 女 合计 30 20 50

不喜欢数学课 60 90 150

合计 90 110 200

(1)根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”? (2)若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取 5 人,则男生和女生抽取的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从中随机抽取 2 人,求恰有一男一女的概率.

2

17. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且 b1 ? 2a1 ? 2 , b4 ? 16 ,

a1 ? a2 ? a11 ? b1 ? b2 ? b3 . (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;
(2)数列 {cn } 满足 cn ? (2an ?1)bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 13 分)如图 3,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,且?DAB=60?. 侧面 PAD 为正三角形,其所在的平面垂直于底面 ABCD,G 为 AD 边的中点. (1)求证:BG?平面 PAD; (2)求三棱锥 G—CDP 的体积; (3)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF?平面 ABCD,并证明你的结论.

3

19. (本小题满分 14 分)在?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 sin B ? 数列.(1)求

5 ,且 a、b、c 成等比 13

1 1 ? 的值; (2)若 ac cos B ? 12 ,求 a ? c 的值. tan A tan C

20. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F 双曲线 C 上一点 P 到 F1 , F2 距 1 (?2,0), F 2 (2,0) , 离差的绝对值等于 2.(1)求双曲线 C 的标准方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程. (3)已知定点 G(1,2) ,点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求 DF 1 ? DG 的最小值.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ln x , a ? R . (1)若 a=1,判断函数 f ( x) 是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)设函数 g ( x ) ? ?

1 x

a .若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. x

4

肇庆市 2014 届高中毕业班第二次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题:11. 1 A 2 B 12. ? 3 D 4 A 13.[ 5 C 6 D 7 C 8 B 9 A 15. 10 D

64 3

1 e

2 4 , ] 5 3

14. ? sin ? ? 3

3 7 2

三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵K 2 ?
200(30 ? 90 ? 60 ? 20)2 ? 6.061 ? 5.024 , 90 ?110 ? 50 ?150
30 ? 5 ? 3 (人) 30 ? 20

(2 分) (4 分)
20 ? 5 ? 2 (人) 30 ? 20

∴ 约有 97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. (2)男生抽取的人数有:

(5 分) ,女生抽取的人数有:

(6 分)

(3)由(2)可知,男生抽取的人数为 3 人,设为 a,b,c,女生抽取的人数为 2 人,设为 d,e,则所有基本事 件有: (a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (b, c), (b, d ), (b, e), (c, d ), (c, e), (d , e) 共 10 种.(8 分) 其中满足条件的基本事件有: (a, d ), (a, e), (b, d ), (b, e), (c, d ), (c, e) 共 6 种, (10 分) 所以,恰有一男一女的概率为 p ? 17.(本小题满分 13 分) 解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,由 b4 ? b1q3 ,得 q ?
3

6 3 ? . 10 5

(12 分)

b4 16 ? ? 8 ,从而 q ? 2 , b1 2
(4 分)

(2 分)

因此 bn ? b1qn?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,即 bn ? 2 n . 由?

?a1 ? a2 ? a11 ? b1 ? b2 ? b3 ?3a1 ? 11d ? 14 ,得 ? , ?a1 ? 1 ?a1 ? 1

(6 分)

所以 d ? 1 ,

(7 分) ,故 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ,即 a n ? n . (9 分) (10 分)

(8 分)

(2) cn ? (2an ?1)bn ? (2n ?1) ? 2n 所以 Sn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ?

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n

两边同乘以 2,得 2S n ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2 n?1 (11 分) 两式相减得 ?Sn ? 2 ? 23 ? 24 ?

?2 n?1 ?(2 n ? 1) ? 2 n?1

(12 分)

? 2?

23 ? (1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? (3 ? 2n) ? 2n?1 ? 6 ,所以 Sn ? (2n ?3) ?2 n?1 ?6 . 1? 2

(13 分)

18.(本小题满分 13 分) (1)证明:连结 BD. 因为 ABCD 为棱形,且∠ DAB=60° ,所以?ABD 为正三角形. (1 分) 又 G 为 AD 的中点,所以 BG⊥ AD. (2 分) ,又面 PAD⊥ 面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, (3 分) ∴ BG⊥ 平面 PAD. (4 分) (2)因为 G 为正三角形 PAD 的边 AD 的中点,所以 PG?AD,又面 PAD⊥ 面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD,

5

所以 PG⊥ 平面 ABCD. (5 分) ,因为正三角形 PAD 的边长为 2,所以 PG ? 3 . 在?CDG 中,CD=2,DG=1,∠ CDG=120° ,所以 S ?CDG ?

(6 分)

1 3 3 . ?1? 2 ? ? 2 2 2
(8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

(7 分)

故 VG ?CDP ? VP ?CDG ?

1 3 1 ? 3? ? . 3 2 2

(3)当 F 为 PC 的中点时,平面 DEF⊥ 平面 ABCD. 取 PC 的中点 F,连结 DE,EF,DF,CG,且 DE 与 CG 相交于 H. 因为 E、G 分别为 BC、AD 的中点,所以四边形 CDGE 为平行四边形. 故 H 为 CG 的中点. 又 F 为 CP 的中点,所以 FH//PG. 由(2) ,得 PG?平面 ABCD,所以 FH?平面 ABCD. 又 FH?平面 DEF,所以平面 DEF⊥ 平面 ABCD. 19.(本小题满分 14 分)
2

解: (1)由 a、b、c 成等比数列,得 b ? ac .(1 分) ,由正弦定理,得 sin B ? sin A sin C . (3 分)
2

1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 13 ? ? ? ? ? ? . (7 分) tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B 5 (2)由 ac cos B ? 12 ,得 cos B ? 0 . (8 分) 5 12 12 2 2 ? 13 . (10 分) 又 sin B ? ,所以 cos B ? 1 ? sin B ? . (9 分) ,所以 b ? ac ? 13 cos B 13
所以 由余弦定理,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B , (13 分) 代入数值,得 13 ? (a ? c ) ? 2 ? 13(1 ?
2

12 ) ,解得 a ? c ? 3 7 . 13

(14 分)

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长为 a=1,焦半距为 c=2, 所以其虚半轴长 b ? c 2 ? a 2 ? 3 , 又其焦点在 x 轴上,所以双曲线 C 的标准方程为 x ?
2

(2 分) (3 分)

y2 ? 1. 3

(4 分)

(2)设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则 ?

2 2 ? ?3 x1 ? y1 ? 3 2 2 ? ?3 x 2 ? y 2 ? 3

(5 分)

两式相减,得 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 因为 M(2,1)为 AB 的中点,所以 ?

(6 分)

? x1 ? x2 ? 4 , ? y1 ? y 2 ? 2
y1 ? y 2 ? 6. x1 ? x 2

(7 分)

所以 12( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y 2 ) ? 0 ,即 k AB ?

(8 分)

故 AB 所在直线 l 的方程为 y ? 1 ? 6( x ? 2) ,即 6 x ? y ? 11 ? 0 . (3)由已知,得 DF 1 ? DF 2 ? 2 ,即 DF 1 ? DF 2 ? 2,
6

(9 分) (10 分)

所以 DF 1 ? DG ? DF 2 ? DG ? 2 ? GF 2 ? 2 ,当且仅当 G, D, F2 三点共线时取等号.(11 分) 因为 GF2 ?

?1 ? 2?

2

,所以 DF2 ? DG ? 2 ? GF2 ? 2 ? 5 ? 2 , (13 分) ? 22 ? 5 , (12 分) (14 分)

故 DF 1 ? DG 的最小值为 5 ? 2 . 21.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 因为 f ?( x) ? 1 ?

1 ? 2 ln x ,其定义域为(0,+?). x
(2 分)

1 2 x ?1 2 ? ?( ) ? 0 , (1 分) ,所以 f ( x ) 在(0,+?)上单调递增, 2 x x x
(3 分)

所以函数 f ( x) 不存在极值.

(2)函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ln x 的定义域为 (0, ??) . f ?( x) ? a(1 ?

1 x

1 2 ax2 ? 2 x ? a ) ? ? x x2 x2

当 a ? 0 时,因为 f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,所以 f ( x ) 在(0,+?)上单调递减. (4 分)
2 当 a ? 0 时,当 x ? (0,??) 时,方程 f ?( x) ? 0 与方程 ax ? 2 x ? a ? 0 有相同的实根.

(5 分)

? ? 4 ? 4a 2 ? 4(1 ? a 2 ) ,①当 0 ? a ? 1 时,?>0,可得 x1 ?

1? 1? a2 1? 1? a2 , x2 ? ,且 0 ? x1 ? x2 a a
(6 分) (7 分) (8 分) (9 分)

因为 x ? (0, x1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, x1 ) 上单调递增; 因为 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( x1 , x 2 ) 上单调递减; 因为 x ? ( x2 ,??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( x2 ,??) 上单调递增;

② 当 a ? 1 时, ? ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,故 f ( x ) 在(0,+?)上单调递增.

综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调减区间为(0,+?) ;当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0,

1? 1? a2 )与 a

1? 1? a2 1? 1? a2 1? 1? a2 ( ,??) ;单调减区间为 ( , ) ;当 a ? 1 时, f ( x) 单调增区间为(0,+?). (10 分) a a a
(3)由存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,得 ax0 ? 2ln x0 ,即 a ?

2 ln x0 . x0

(11 分)

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? [1, e] 时, a ? F ( x) min ”. x

(12 分)

因为 F ?( x ) ?

2(1 ? ln x) ,且当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x ) 在 [1, e] 上单调递增, (13 分) x2
(14 分)

故 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 .

7


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