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山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? x x ? 7 x ? 10 ? 0 ,则 ? ( A ? B) ? U
2

?

?

?

?

A. ?? ?,3? ? ?5,?? ?

B. ?? ?,3? ? ?5,???

C. ?? ?,3? ? ?5,???

D. ?? ?,3? ? ?5,???

2.在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ tan A ? tan B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.给出下列三个结论: (1)若命题 p 为真命题,命题 ?q 为真命题,则命题“ p ? q ”为真命题; (2) 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”; (3)命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2 ? 0 ”.则以上结论正确的个数为
x x

A. 3 个

B. 2 个

C. 1 个
n ?1

D. 0 个

4.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3 A. ?3

? a , n ? N* ,则实数 a 的值是

B. 3 C. ?1 D. 1 ? ? ? ? ? ? 2 5.已知非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? (ax ? b) (x ? R) 是 A. 既是奇函数又是偶函数 C. 偶函数 6.已知函数 f ( x) ? A. ? B. 非奇非偶函数 D. 奇函数

2

?

1 ? cos x ,则 f (? ) ? f ?( ) ? x 2 3 1 B. C. ? ? ?

D. ?

3

?

7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S10 ? A.

?

3 0

(1 ? 2 x)dx ,则 a5 ? a6 ?
D.

12 5

B. 12

C. 6

8.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 为 A. f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

6 5

)的图象如图所示,则函数 f ( x) 的解析式

?
3

)

B. f ( x) ? sin(2 x ?
·1·

?
6

)

C. f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)

D. f ( x) ? sin(4 x ?

?
6

)

9. 已知 O 是 △ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点, 2OA ? OB ? OC ? 0 , A.AO ? 2OD 且 则 B. AO ? OD

??? ??? ??? ? ? ?

?

????

????

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

????

10.若函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 A. a ?

1 5

B. a ?
2

1 或 a ? ?1 5

C. ? 1 ? a ?

1 5

D. a ? ?1

11.已知函数 f (n) ? n cos(n? ) ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? A. 0 B. ?100 C. 100 D. 10200

12.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且 x ? ? 0, 2? 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) , 甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲: f ? 3? ? 1 ;乙:函数 f ( x) 在 ? ?6, ?2 ? 上是减函数;丙: 函数 f ( x) 关于直线 x ? 4 对称;丁:若 m ? ? 0,1? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? ?8,8? 上所有根 之和为 ?8 ,其中正确的是 A.甲、乙、丁 B.乙、丙

C.甲、乙、丙

D.甲、丙

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. tan

15? ? 4



? 1 x ?( ) , x ? 4 14.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 2 5) 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 4 ?



15.设正项等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 3, S 9 ? S 6 ? 12 ,则 S 6 ?



16.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,若存在常数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 f ( x) ? m x ,则称函数

f ( x) 为 F ? 函数.给出下列函数:① f ( x) ? x 2 ;② f ( x) ?
其中是 F ? 函数的序号为 .

x x ;③ f ( x) ? 2 ;④ f ( x) ? sin 2 x . x ?1
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
·2·

17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 3(b ? c ) ? 3a ? 2bc .
2 2 2

(Ⅰ)若 sin B ?

2 cosC ,求 tan C 的大小;
2 ,且 b ? c ,求 b, c . 2

(Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积 S ? 18. (本小题满分 12 分)

设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 10 .
2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是以函数 y ? 4sin (? x ? ) ? 1 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列
2

1 2

?an ? bn ? 的前 n 项和 S n .
19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? x ? sin ? x,sin ? x) , b ? ( 3, 2 cos ? x) ,
2 2

?

?

设函数 f ( x) ? a ? b ( x ? R) 的图象关于直线 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式;

? ?

?
2

对称,其中 ? 为常数,且 ? ? (0,1) .

(Ⅱ)若将 y ? f ( x) 图象上各点的横坐标变为原来的

1 ? ,再将所得图象向右平移 个单位,纵坐标 6 3

不变,得到 y ? h( x) 的图象, 若关于 x 的方程 h( x) ? k ? 0 在区间 [0, 求实数 k 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

?

2

] 上有且只有一个实数解,

( x ? 1)( x ? a) 为偶函数. x2

(Ⅰ)求实数 a 的值;
2 (Ⅱ)记集合 E ? { y y ? f ( x), x ?{?1,1, 2}} , ? ? lg 2 ? lg 2lg 5 ? lg 5 ?

1 ,判断 ? 与 E 的关系; 4

(Ⅲ)当 x? [

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n
*

21. (本小题满分 13 分)

a a ) ? 已知函数 f ( x) ? ln x 的图象是曲线 C , An ( n , f ( n)( n N ) 点

点 An (an , f (an )) 处 的 切 线 与 y 轴 交 于 点 Bn (0, bn ) . 若 数 列 ?bn ? 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 且
·3·

是曲线 C 上的一系列点, 曲线 C 在

(Ⅰ)分别求出数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式;

f (a1 ) ? 3 .

(Ⅱ)设 O 为坐标原点, S n 表示 ?OAn Bn 的面积,求数列 ?an Sn ? 的前 n 项和 Tn . 22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 ?a ln x, x ? 1

,当 x ?

2 4 . 时,函数 f ( x) 有极大值 3 27

(Ⅰ)求实数 b 、 c 的值; (Ⅱ)若存在 x0 ? [?1, 2] ,使得 f ( x0 ) ? 3a ? 7 成立,求实数 a 的取值范围.

·4·

即 2 ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

1 3

·5·

由直线

x?

?
2

是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 2sin(?? ?

?
3

) ? ?2 ,

1 (k ? z ) ,即 ? ? k ? (k ? z ) . 6 3 2 1 又 ? ? (0,1) , k ? z ,所以 k ? 0 ,故 ? ? . 6
所以 ?? ?

?

? k? ?

?

·6·

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f (x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ?

( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? x2 x2

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,?a ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x ) ?

………………………………………4 分

x2 ?1 x2

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

3 4

? 3? ? E ? ?0, ? , ……………………………………………………………………………6 分 ? 4?

·7·

21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? f ? ? x ? ?

1 , x
1 ? x ? an ? an

?曲线 C 在点 An ? an , f ? an ? ? 处的切线方程: y ? ln an ?
令 x ? 0 ? y ? ln an ? 1 ,

?该切线与 y 轴交于点 Bn ? 0, bn ? ,? bn ? ln an ? 1………………………………………3 分

·8·





2 2 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? ?3x( x ? ) ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0或x ? 3 3
当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)

(?1,0)
-

0
0

2 (0, ) 3
+

2 3

2 ( ,1) 3
-

0

·9·

f (x)

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

根据表格,又 f (?1) ? 2 , f ( ) ?

2 3

4 , f (0) ? 0 27

·10·