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辽宁高考三年《参数方程与极坐标》专题


参数方程 与极坐标

环节与展示
课件设计 即,在本次PPT开始,首先明确一下整体的环节步骤,希望通过今天,对高考命题走向有个了解。

目录

教纲

真题

反思

建议

教纲要求
知识结构 2014考题

考纲要求

题型趋势

2015展望 命题趋势 总结反思

知识框架

考纲要求

1.坐标系 (1)理解坐标系的作用. (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. (3) 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直 角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

考纲要求

(4)能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方 程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程 表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2.参数方程 (1)了解参数方程,了解参数的意义. (2) 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.掌握直线 的参数方程及参数的几何意义.能用直线的参数方程解决简单的相关问题.

命题趋势

从2014年全国高考看,这部分内容难度属中低档.考查的重点:一是参 数方程、极坐标方程和曲线的关系;二是由曲线的参数方程、极坐标方程求 曲线的基本量.主要考查对方程中各量几何意义的理解,知识面不太广,重 在考查基础知识.

命题趋势

本单元内容是选修4—4坐标系与参数方程.共2讲,第1讲坐标系,第2 讲参数方程.这部分内容作为高考的选考内容,在考试中所占的分值为7分, 但在培养综合应用基础知识的能力,扩大解题思路,灵活解题上作用很 大.特别是参数方程中体现的参数思想,常要渗透到高考综合题的解题过 程.为此,在复习中建议注意以下几点: 1.高度重视基础知识 以课本知识为主,不要刻意加大难度.本单元的重点是极坐标系和利用 参数求轨迹的参数方程.极坐标应重点

命题趋势
放在极坐标化为直角坐标,并熟练掌握直线、圆的极坐标方程与曲线之间 的对应关系.参数方程的重点是普通方程与参数方程的互化,尤其是参数 方程化为普通方程. 2.注意参数思想的应用 参数思想在本单元的体现是简化运算,减少未知量的个数,在轨迹问 题、最值、定值问题的解决中起到重要的作用. 3.注意本单元内容和三角函数及平面解析几何的交汇

命题趋势

由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇,又与解析几何的轨迹 方程的求解有关,因此必须加强参数法的应用意识,体会参数法的特点, 进一步体验参数法解决实际问题的高效.希望备考时引起足够重视.

三年真题
三年真题 可以通过设置不同的高考真题来区分不同的章节,这样更方便大家对今年高考命题走向的准确把握

目录

真题探究
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

2

2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程,并求出 圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程 圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? ,

【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心在原点的椭圆, 再通过伸缩变换化为中心在原点的单位圆.

真题研究
? 解析:
(1)圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? ,

? ? =2 ? ? ?? ? ?? 解? 得 ? =2,? = ? ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? , ? 2,- ? 3 ? 3? ? 3? ? ? =4cos ?
注:极坐标系下点的表示不唯一

? x=? cos? (2)由 ? ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1,- 3 ? y =? sin ?

? ??

?

真题研究

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标 系的组成. 本题要注意圆 C1 : x2 ? y2 ? 4 的圆心为 (0,0) 半径为 r1 ? 2 , 圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 4 的 圆心为 (2,0) 半径为 r2 ? 2 ,从而写出它们的极坐标方程;对于两圆的公共弦,可以先求出其代 数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考 查,主要集中在常见曲线的考查上,题目以中低档题为主.

真题研究
(2013 辽宁,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ =4sin θ , ? cos ? ? ?

? ?

π? ? =2 2 . 4?

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

? x ? t 3 ? a, ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 (t∈R 为参数), ? y ? t ?1 ? 2
求 a,b 的值.

【思路】利用极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐 标方程.

真题研究
23.解析:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
2 2

? x 2 ? ? y ? 2?2 ? 4, ? x1 ? 0, ? x2 ? 2, 解? 得? ? y ? 4, ? 1 ? y2 ? 2. ?x ? y ? 4 ? 0 π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? 4, ? , ? 2 2, ? . 4? ? 2? ?
注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.

?b ? 1, ? b ab ? ? 1 .所以 ? 2 由参数方程可得 y ? x ? 解得 a=-1,b=2. 2 2 ? ? ab ? 1 ? 2, ? ? 2

真题研究

【点评】

极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用: (1)

原点和极点重合; (2)x 轴正半轴与极轴重合; (3)两坐标系中长度单位相同.极坐标 和直角坐标的互化中,更要注意等价性,特别是两边同乘ρn时,方程增加了一个n重

解ρ=0,要判断它是否是方程的解,若不是要去掉该解.

真题研究
? 探究点3 2014年辽宁高考数学第23题
(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x 2 ? y 2 ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标 系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

【思路】利用极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐 标方程.

真题研究
解析: (1)设 ( x1 , y1 ) 为圆 x 2 ? y 2 ? 1上任意一点,按题中要求变换后的点 ( x, y ) 。

? x1 ? x 2 ? x ? x1 y ? 2 2 2 根据题意得 ? ,所以 ? ? 1 。故 C 的参数方程 y 。由 x1 ? y1 ? 1得 x ? 4 y1 ? ? y ? 2 y1 ? ? 2
为?

? x ? cos ? ( ? 为参数) 。 ? y ? 2sin ?

?4 x 2 ? y 2 ? 4 ?x ? 1 ?x ? 0 (2)由 ? 解得 ? 或? 。不妨设 P 1 (1, 0) , P 2 (0, 2) ,则线段中点 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 0 ?y ? 2
坐标 (

1 1 1 1 ,1) 。所求直线的斜率为 k ? ,于是所求直线方程为 y ? 1 ? ( x ? ) ,即 2 2 2 2 3 2x ? 4 y ? 3 ? 0 。 化为极坐标方程为 2? cos ? ? 4? sin ? ? 3 ? 0 , 即? ? 。 4sin ? ? 2 cos ?

真题研究

【点评】

极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用: (1)

原点和极点重合; (2)x 轴正半轴与极轴重合; (3)两坐标系中长度单位相同.极坐标 和直角坐标的互化中,更要注意等价性,特别是两边同乘ρn时,方程增加了一个n重

解ρ=0,要判断它是否是方程的解,若不是要去掉该解.

知识梳理

1.参数方程与普通方程:一般地,在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 ? ?x=f(t), ? ①,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确 ? ?y=g(t), 定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线 的 参数方程 ,联系变数 x,y 的变数 t 叫做 参变数 , 简称 参数 .相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关 系的方程叫做 普通方程 .

知识梳理
2.经过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 L 的参数方程为
? ?x=x0+tcosα ? ? ?y=y0+tsinα

(t 为参数);
? ?x=rcosθ ? ? ?y=rsinθ

圆 x2+y2=r2 的参数方程为

(θ 为参数);
? ?x=acosφ ? ?y=bsinφ ?

x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个参数方程 a b (φ 为参数),φ∈[0,2π);

知识梳理
x2 y2 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个参数方程为 a b
? ?x=asecφ ? ? ?y=btanφ

π 3π (φ 为参数),φ∈[0,2π)且 φ≠ ,φ≠ ; 2 2 (t 为参数).

抛物线

2 ? x = 2 pt ? y2=2px(p>0)的一个参数方程为? ? ?y=2pt

规律总结
1. 参数方程化为普通方程即为解方程组, 常用代入法、 加减消元法、三角恒等式消元法等,但要注意保持同解变 形. 2.求曲线参数方程的一般步骤:①画图,设点;②选 参数;③建方程,关键是选取适当的参数.选参数时,一 是曲线上每一点的坐标 x,y 与参数的关系比较明显,容易 列出方程;二是 x,y 的值可以由参数唯一确定.选取的参 数不同,其方程是不一样的.参数可以是一个有物理意义 或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.

使用建议 规律总结
3.应用直线参数方程时,需先判断是否为标准形式, 再考虑参数 t 的几何意义. 其参数 t 的几何意义是: |t|表示 参数 t 对应的点 M 到点 M0 的距离.当 与 e 同向时, t 取正数; 当 与 e 反向时, t 取负数(直线 L 的方向 向量是 e=(cosα,sinα)).直线参数方程的标准形式主要用 来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的距离问题,它可 以避免求交点时解方程的繁琐运算, 简化运算量. 4.圆锥曲线的参数方程的应用主要在于通过参数可以 简明地表示曲线上任意点的坐标,将解析几何中的计算问 题转化为三角问题,从而运用三角性质及变换公式帮助求 解最值、参数范围等问题.

2015展望
1. 参数方程化为普通方程即为解方程组, 常用代入法、 加减消元法、三角恒等式消元法等,但要注意保持同解变 形. 2.求曲线参数方程的一般步骤:①画图,设点;②选 参数;③建方程,关键是选取适当的参数.选参数时,一 是曲线上每一点的坐标 x,y 与参数的关系比较明显,容易 列出方程;二是 x,y 的值可以由参数唯一确定.选取的参 数不同,其方程是不一样的.参数可以是一个有物理意义 或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.

对学生讲注意点:
注意时间

请思考
此时已经是考试时间的末尾了。。。。。。

难度不大,加强自信

教学建议

多做多练,考练结合

夯实基础

掌握规律

着重理解

注重 数形结合

注重 转化思想

注意时间

? ? ?

?

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