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2018版高中数学北师大版必修四课件:第二章 6 平面向量数量积的坐标表示_图文

第二章 平面向量 §6 平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标 表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量. 思考1 i· i,j· j,i· j分别是多少? 答案 i· i=1×1×cos 0=1,j· j=1×1×cos 0=1,i· j=0. 答案 思考2 取i,j为坐标平面内的一组基底,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),试 将a,b用i,j表示,并计算a· b. 答案 ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i· j+y1y2j2=x1x2+ y1y2. 答案 梳理 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= x1x2+y1y2 .这就是说,两个向量的数 量积等于相应坐标乘积的和. 知识点二 向量模的坐标表示 思考 若a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a=xi+yj,x,y∈R, ∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xy i· j+(yj)2 =x2i2+2xy i· j+y2j2. 又∵i2=1,j2=1,i· j=0, ∴a2=x2+y2,∴|a|2=x2+y2, ∴|a|= x2+y2 . 答案 梳理 设a=(x,y),则|a|2= x2+y2 ,或|a|= x2+y2 . 知识点三 向量夹角的坐标表示 思考 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角, 那么cos θ如何用坐标表示? 答案 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 答案 梳理 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 x1x2+y1y2 (1)cos θ= 2 2 2 2. x1+y1· x2+y2 (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 知识点四 直线的方向向量 思考1 什么是直线的方向向量? 答案 与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. 答案 思考2 直线的方向向量唯一吗? 答案 不唯一.因为与直线l共线的非零向量有无数个,所以直线l 的方向向量也有无数个. 答案 梳理 (1) 给定斜率为 k 的直线 l ,则向量 m = (1 , k) 与直线 l 共线,我们把与 直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. A (2)对于直线l:Ax+By+C=0,可取直线l的方向向量为m=(1,- ) B (B≠0),或取直线l的方向向量为m=(B,-A). 题型探究 类型一 平面向量数量积的坐标表示 例1 已知a与b同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求a的坐标; 解 设a=λb=(λ,2λ)(λ>0), 则有a· b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4). (2)若c=(2,-1),求a(b· c)及(a· b)c. 解 ∵b· c=1×2-2×1=0,a· b=10, ∴a(b· c)=0a=0, (a· b)c=10(2,-1)=(20,-10). 解答 反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设 向量一般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设 向量,还可以验证一般情况下(a· b)· c≠a· (b· c),即向量运算结合律一般不 成立. 跟踪训练 1 A.-1 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a等于 B.0 C.1 D.2 解析 因为a=(1,-1),b=(-1,2), 所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0), 则(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1,故选C. 解析 答案 类型二 向量的模、夹角问题 例2 在平面直角坐标系xOy中,O是原点(如图). 已知点A(16,12),B(-5,15). → → (1)求|OA|,|AB|; → 解 由OA=(16,12), → AB=(-5-16,15-12)=(-21,3), → 得|OA|= 162+122=20, → |AB|= ?-21?2+32=15 2. 解答 (2)求∠OAB. → → AB → → = AO· 解 cos ∠OAB=cos?AO,AB? → → . |AO||AB| → → → → 其中AO· AB=-OA· AB =- (16 , 12)· ( - 21 , 3) =- [16×( - 21) + 12×3] = 300 , 300 2 故 cos ∠OAB= =2. 20×15 2 ∴∠OAB=45°. 解答 反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= x2+y2 求两向量的模. (3)代入夹角公式求cos θ,并根据θ的范围确定θ的值. 跟踪训练2 取值范围. 解 已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求λ的 ∵a=(1,-1),b=(λ,1), ∴|a|= 2,|b|= 1+λ2,a· b=λ-1. 又∵a,b的夹角α为钝角, ? ? ?λ-1<0, ?λ<1, ∴? 即? 2 2 ? ? ?λ +2λ+1≠0. ? 2· 1+λ ≠1-λ, ∴λ<1且λ≠-1. ∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 解答 类型三 向量垂直的坐标形式 例3 (1)已知a=(-3,2),b=(-1

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