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2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2课件:第二章 2.2直接证明与间接证明——第1课时 综合法和分析法_图文

第 1 课时 综合法和分析法 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P36~P41 的内容,回答下 列问题. (1)阅读教材 P36“已知 a,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2 +a2)≥4abc”的证明过程,思考下列问题: ①该题的条件和结论各是什么? 提示: 条件: a, b>0; 结论: a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. ②本题的证明过程是从“已知条件”出发,还是从 “要证明的结论”出发?即证明该题的顺序是什么? 提示:本题是从已知条件 a,b>0 出发,借助基本 不等式证明待证结论的. a+b (2) 阅读教材中证明基本不等式“ ≥ ab (a>0 , 2 b>0)”的过程,回答下列问题: ①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明 的? 提示:从结论开始证明的. ②该证明过程是综合法吗? 提示:不是. ③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件? 提示:充分条件. 2.归纳总结,核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义 利用已知条件 和某些数学 定义、定理、公理 等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方 法叫做综合法. ②综合法的框图表示 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q 公理 等,Q 表 (P 表示已知条件、已有的定义 、定理、 示所要证明的结论) (2)分析法 ①分析法的定义 从 要证明的结论 出发,逐步寻求使它成立 的充分条件 ,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件( 已知条件、 定理、 定义、公理 等),这种 证明的方法叫做分析法. ②分析法的框图表示 得到一个明显 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 成立的条件 [问题思考] (1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎 推理? 提示:综合法与分析法的推理过程是演绎推理,它们 的每一步推理都是严密的逻辑推理, 从而得到的每一个结 论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”. (2)综合法与分析法有什么区别? 提示:综合法是从已知条件出发,逐步寻找的是必要条 件,即由因导果;分析法是从待求结论出发,逐步寻找的是 充分条件,即执果索因. (3)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,求证: ?1 ??1 ??1 ? ? ?? ?? ? - 1 - 1 - 1 ?a ??b ??c ?≥8. ? ?? ?? ? 证明过程如下: ∵a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1. b+c a+c a+b 1 1 1 ∴ -1= >0, -1= >0, -1= >0, a a b b c c ∴ ?1 ? ? ? - 1 ?a ? ? ? ?1 ? ? ? - 1 ?b ? ? ? ?1 ? ? ? - 1 ?c ? ? ? b+c a+c a+b = · · a b c 2 bc· 2 ac· 2 ab ≥ =8, abc 当且仅当 a=b=c 时取等号, ∴不等式成立. 这种证明方法是综合法还是分析法? 提示:综合法. [课前反思] (1) 综合法的定义是什么?如何用框图表示 综合法? (2) 分析法的定义是什么?如何用框图表示 分析法? 讲一讲 1.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: 1 (1)ab+bc+ac≤ ; 3 a 2 b 2 c2 (2) + + ≥1. b c a [尝试解答] (1)由 a2+b2≥2ab, b2+c2 ≥2bc, c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 a2 b2 c2 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, b c a a 2 b 2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), b c a a 2 b 2 c2 a 2 b 2 c2 即 + + ≥a+b+c.所以 + + ≥1. b c a b c a 利用综合法证明问题的步骤 (1)分析条件选择方向: 仔细分析题目的已知条件(包括 隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关 的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程:把题目的已知条件,转化成解 题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间 的相互转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言, 清晰的思路. (3)适当调整回顾反思:解题后回顾解题过程,可对部 分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总 结解题方法的选取. 练一练 2 m 1.已知 x+y+z=m.求证:x2+y2+z2≥ . 3 证明:∵x+y+z=m, ∴(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=m2. 又∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz, ∴2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+zx), 即 x2+y2+z2≥xy+yz+zx, ∴m2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)≤3(x2+y2+z2). 2 m ∴x2+y2+z2≥ . 3 [思考 1] 分析法的证明过程是什么? 名师指津 : 从 “ 未知 ” 看 “需知 ” ,逐步靠拢 “已知”,其逐步推理的过程,实际上是寻找使结论 成立的充分条件. [思考 2] 分析法的书写格式是什么? 名师指津:分析法的书写格式是: “要证……, 只需证……, 只需证……, … 由于…显然成立(已知,已证…), 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略. 讲一讲 2.已知 a>0,求证: 1 1 a + 2- 2≥a+ -2. a a 2 [尝试解答] 要证 只需证 因为 2 1 1 a + 2- 2≥a+

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