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2016版优化方案高考数学(山东专用·理科)二轮复习课件第一部分高考热点追踪(二)_图文

专题二 三角函数与平面向量 高考热点追踪(二) 三角函数与平面向量的创新 一、三角函数定义中的创新 如图,已知 l1⊥ l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t= 0 时与 l2 相切于点 A, 圆O沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x, 令 y= cos x,则 y 与时 间 t(0≤ t≤1,单位: s)的函数 y=f(t)的图象大 致为( B ) [解析 ] 圆半径为 1,设弧长 x 所对的圆心角 α 为 α,则 α=x,如图所示, cos = 1- t,即 2 x 2x cos =1- t,则 y= cos x=2cos - 1= 2(1- 2 2 t)2-1=2(t- 1)2-1(0≤ t≤ 1).其图象为开口向上,在 [0, 1] 上的一段抛物线. [名师点评 ] (1)本题巧妙地把三角函数与圆的知识相结合, 弧长 x 因圆动而变,变中关系式不变,见证了数学中的“以 静制动”, 求解此类问题的关键是充分利用图形的几何性质, 建立三角函数关系式, 熟练运用二次函数关系式判断其图象, 求解时应注意 t 的范围. (2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引 导.一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式,运用 三角知识考查学生分析问题、解决问题的能力. 二、以平面向量为背景的新定义 (2015· 长沙模拟 )称 d(a,b)= |a-b|为两个向量 a, b 间 的“距离”.若向量 a, b 满足:① |b|= 1;② a≠ b;③对任 意的 t∈ R,恒有 d(a, tb)≥ d(a, b),则 ( B ) A. a⊥ b C. a⊥ (a-b) B.b⊥(a- b) D. (a+b)⊥ (a- b) [解析 ] 由于 d(a, b)= |a-b|,因此对任意的 t∈ R, 恒有 d(a, tb)≥d(a, b), 即 |a- tb|≥ |a-b|, 即(a- tb)2≥(a- b)2, t2- 2ta· b + (2a· b- 1)≥ 0 对任意的 t∈ R 都成立,因此有(-2a· b)2 - 4(2a· b-1)≤ 0,即(a· b-1)2≤0,得 a· b- 1= 0,故 a· b- b2 = b· (a-b)= 0,故 b⊥(a- b). [名师点评 ] (1)解决此类问题,首先需要分析新定义的特点, 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,通过转化思想解决, 这是破解新定义信息题难点的关键所在. (2)解答本题的关键是由 d(a, tb)≥d(a,b)转化为 |a- tb|≥ |a- b|. 一题多解 (法 )秀求模 已知点 A, B, C 在圆 x2+ y2 = 1 上运动,且 AB⊥ BC.若点 P 的坐 → → → 标为(2, 0),则 |PA+ PB+PC|的最大 值为( B ) A. 6 C. 8 B .7 D. 9 [解析 ] 法一:连接 AC, AC 为 Rt△ ABC 的斜边,则 AC 为 → 圆 x2+ y2= 1 的一条直径,故 AC 必经过原点,如图,则PA+ → → → → → → → → → PC= 2PO, |PA+PB+PC|= |2PO+PB|≤ 2|PO|+ |PB|,当 P, → → O, B 三点共线时取等号, 即当 B 落在点 (-1, 0)处时 |PA+ PB → → → +PC|取得最大值,此时, PO= (- 2, 0),PB=(-3,0), → → → → → 2|PO|+ |PB|= 2×2+3= 7,故 |PA+PB+PC|的最大值为 7. 法二:连接 AC,因为 A, B, C 均在单位圆上, AC 为直径,故 → → → → → → → → → PA+PC= 2PO= (- 4, 0), |PA+ PB+PC|= |2PO+ PB|≤ 2|PO| → → → → → → + |PB|,又 |PB|≤ |PO|+ 1=3,所以 |PA+PB+PC|≤ 4+ 3=7,故 其最大值为 7. 法三:连接 AC,因为 A, B, C 均在单位圆上, AC 为直径,不 妨设 A(cos x, sin x), B(cos(x+ α), sin(x+ α))(α≠ kπ , k∈ Z), → → → C(- cos x,- sin x),PA+PB+PC= (cos(x+ α)-6,sin(x+ α)), → → → |PA+ PB+PC|= [cos( x+ α)- 6]2+ sin2( x+ α)= 37- 12cos(x+ α)≤ 7. → → → → → 法四:同法一,得 |PA+PB+PC|= |2PO+PB|.设 B(cos α , → → sin α ), 则 |2PO+ PB|= |2(- 2, 0)+ (cos α - 2, sin α )|= |(- 6+ cos α , sin α )|= (-6+ cos α ) 2+ sin2α = 37- 12cos α ≤ 37+ 12= 7(当 cos α =-1, 即 B 落在点(- 1,0)处时取等号). → → → 故 |PA+PB+PC|的最大值为 7. → → → → → 法五:同法一,得 |PA+PB+PC|= |2PO+PB|. → → → 又PB= OB-OP, → → → → → → → → 所以 |PA+PB+ PC|= |2PO+ OB-OP|= |OB- 3OP| = → → → → OB2+ 9OP 2- 6OB· OP = 12+9× 22- 6×1×2cos∠ POB = 37- 12cos∠ POB≤ 37+ 12=7, → → → 当且仅当∠ POB= 180°时取“等号”, 故 |PA+PB+PC|的最 大值为 7. [名师点评] 本题有五种常见解法, 但对比可知利用数形结合 法是比较快捷的方法,不过利用基本不等式

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